2022-2023學年廣西玉林市北流市實驗中學高二上學期9月月考數(shù)學試題 一、單選題1．直線在軸上的截距是（   ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)截距的概念運算求解.【詳解】令，則，解得∴直線在軸上的截距是故選：A.2．過點且平行于直線的直線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行設直線方程為，代入點計算得到答案.【詳解】設直線方程為，將點代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.3．“”是“直線：與直線：垂直”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，則，解得或.所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．已知直線的方向向量，平面的法向量，則直線與平面的位置關系是（    ）A． B． C． D．以上選項都不對【答案】D【分析】計算得到，得到，即直線與平面的位置關系是或，得到答案.【詳解】，，則，故，故直線與平面的位置關系是或.故選：D.5．已知平面，的法向量分別為和（其中），若，則的值為（    ）A． B．-5 C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)平面平行得到，故，計算得到答案.【詳解】，則，故，即，解得.故.故選：.【點睛】本題考查了法向量的平行問題，意在考查學生的計算能力.6．直線關于軸對稱的直線方程是（    ）A．3x-4y-6=0 B．4x-3y-6=0C．3x-4y+6=0 D．4x-3y+6=0【答案】C【分析】求出直線與軸的交點，并求出直線的斜率，由此可得出所求直線的方程.【詳解】直線交軸于點，且直線的斜率為，故所求直線的斜率為，故所求直線的方程為，即.故選：C.7．在空間中，已知，，則的大小為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合向量夾角公式計算出的大小.【詳解】，，由于，所以.故選：A8．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D 二、多選題9．在以下命題中，不正確的命題有（    ）A．是共線的充要條件B．若，則存在唯一的實數(shù)，使C．對空間任意一點和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面D．若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底【答案】AB【分析】利用等號成立的條件可判斷A；利用與任意向量共線可判斷B；利用共面定理可判斷C；利用基底的概念可判斷D【詳解】對于A：向量同向時，，故A錯誤；對于B：需要強調(diào)，故B錯誤；對于C：因為，則由共面定理知P，A，B，C四點共面，故C正確；對于D：為空間的一個基底，則不共面，故也不共面，所以構成空間的另一個基底，故D正確；故選：AB10．已知直線和直線，則（       ）A．始終過定點 B．若在x軸和y軸上的截距相等，則C．若，則或2 D．若，則或【答案】AC【分析】結合直線所過定點的求法、直線的截距、直線平行和垂直等知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】化為，由且解得，即直線恒過定點，故A正確；若在x軸和y軸上截距相等，則過原點或其斜率為，則或，故B錯誤；若，則解得或2，故C正確；若，則先由解得或，再檢驗當時重合，故D錯誤.故選：AC11．下列各命題正確的是（    ）A．點關于平面的對稱點為B．點關于y的對稱點為C．點到平面的距離為1D．設是空間向量單位正交基底且以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立了一個空間直角坐標系，若，則【答案】ABD【分析】利用空間直角坐標系中的點的對稱關系、距離、坐標分析判斷【詳解】對于A，點關于平面的對稱點為，所以A正確，對于B，點關于y的對稱點為，所以B正確，對于C，點到平面的距離為2，所以C錯誤，對于D，由于是空間向量單位正交基底且以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立了一個空間直角坐標系，且，所以，所以D正確，故選：ABD12．已知正方體的棱長為，下列四個結論中正確的是（    ）A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成角的余弦值為C．平面D．點到平面的距離為【答案】ABC【分析】如圖建立空間直角坐標系，求出和的坐標，由可判斷A；證明，可得，，由線面垂直的判定定理可判斷C；計算的值可得線面角的正弦值，再由同角三角函數(shù)基本關系求出夾角的余弦值可判斷B；利用向量求出點到平面的距離可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則， ，，，對于A：，，因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；對于C：因為 ，，，所以，，所以，，因為，所以平面，故選項C正確；對于B：由選項C知：平面，所以平面的一個法向量，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B正確；對于D：因為，平面的一個法向量，所以點到平面的距離為，故選項D不正確故選：ABC. 三、填空題13．直線l：的傾斜角是______【答案】【分析】將一般式方程整理為斜截式方程可得直線斜率，由斜率和傾斜角關系求得傾斜角.【詳解】由得：，所以直線的斜率為，直線的傾斜角為.故答案為：.14．過原點且方向向量為的直線方程為______．【答案】【分析】利用直線的方向向量可得直線的斜率，進而得出直線的方程．【詳解】解：過原點且方向向量為的直線的斜率為，故方程為：，即.故答案為：．15．函數(shù)的最小值為________．【答案】【解析】根據(jù)題意，其幾何意義為點到點，兩點的距離之和，故，再根據(jù)距離公式求解即可.【詳解】解：因為，幾何意義為點到點，兩點的距離之和，關于軸的對稱點，，當且僅當三點共線時的值最小為故答案為：【點睛】本題考查兩點之間距離公式的妙用，涉及函數(shù)最值的求解，屬基礎題.16．如圖所示，正方體的棱長為是底面的中心，則到平面的距離為______．【答案】【解析】以為原點，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離即可.【詳解】以為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得,,設平面的法向量為,,令,則，,到平面的距離,故答案為：.【點睛】本題考查點到平面的距離的求法，常用的方法有等體積法，垂線法，空間向量方法，利用空間向量方法求解是比較方便的方法. 四、解答題17．已知點.(1)求直線的傾斜角(2)過點的直線與過兩點的線段有公共點，求直線斜率的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用兩點式得到直線斜率，從而可得直線的傾斜角；（2）求出直線與直線的斜率，從而可得結果.【詳解】(1)由已知得：直線的斜率又(2)直線的斜率直線的斜率過點直線與過兩點的線段有公共點，直線斜率的取值范圍為18．已知直線與直線垂直，垂足為，求過點H，且斜率為的直線方程.【答案】【分析】根據(jù)垂直關系得到，結合垂足在直線上得到H(1，-2)及，從而可得直線方程.【詳解】解：∵∴解得，∴直線l1的方程為.又∵點在直線l1上，∴，即H(1，-2).又∵點H(1，-2)在直線l2上，.解得，∴所求直線的斜率為，其方程為，即19．已知點和，P為直線上的動點.(1)求關于直線的對稱點，，(2)求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)點的中點在直線上，直線和直線垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2），當且僅當三點共線時，取等號，即可求出的最小值為，代入即可得出答案.【詳解】(1)關于直線的對稱點設為，，則，解得，，所以的坐標為.(2)由（1）及已知得：，當且僅當三點共線時，取等號，則的最小值為：．20．已知，，，，.（1）求實數(shù)，，的值；（2）求與夾角的余弦值.【答案】（1）x=2，y=-4，z=2；（2）.【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出，，的值；（2）先求出 利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）因為，，，，.所以，解得：x=2，y=-4，z=2.（2）由（1）知：，，，所以 .設與夾角為，則即與夾角的余弦值為.21．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點C到平面的距離，得到結果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點    為的中位線且又為中點，且 且 四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點，所以，根據(jù)題意有，，因為棱柱為直棱柱，所以有平面，所以，所以，設點C到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點C到平面的距離為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生?？嫉膬?nèi)容.22．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M是棱PB的中點.(1)證明：平面平面PCD；(2)求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理先證明平面PAD，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面平面PCD；（2）建立空間直角坐標系，求出相關各點的坐標，繼而求得相關向量的坐標，再求出相關平面AMC和平面BMC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案【詳解】(1)∵底面ABCD，底面ABCD，∴,又由題設知，且直線PA與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，∴平面PAD.又平面PCD，∴平面平面PCD.(2)∵，，，∴以A為坐標原點，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，,，,,設平面AMC的法向量為，則由，得，得，令，得為平面AMC的一個法向量.由，,設平面BMC的一個法向量為，則,即 ，令 ,可得平面BMC的一個法向量為.∴,故所求平面AMC與平面BMC的夾角的余弦值為. 

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