專題09 利用對稱解決幾何圖形常考的三種題型題型一、幾何圖形最值問題例、如圖，等腰中，，，是等邊三角形，點是的角平分線上一動點，連接、，則的最小值為（    ）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】B【詳解】解：如圖，連接BP，∵點P是∠BAC的角平分線上一動點，AB=AC，∴AP垂直平分BC，∴CP=BP，∴PD+PC=PD+PB，∴當B，P，D在在同一直線上時，BP+PD的最小值為線段BD長，又∵△ABD是等邊三角形，AB=BD=10，∴PD+PC的最小值為10，故選：B．【變式訓練1】如圖，在邊長為1正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，3AE=EB，有一只螞蟻從E點出發(fā)，經(jīng)過F、G、H，最后回點E點，則螞蟻所走的最小路程是（       ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【詳解】解：延長DC到D'，使CD=CD'，G關(guān)于C對稱點為G'，則FG=FG'，同樣作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H對應的位置為H'，則G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的對應位置為E'，則H'E'=HE．容易看出，當E、F、G'、H'、E'在一條直線上時路程最小，最小路程為EE'==2．故選C．【變式訓練2】如圖，∠AOB＝30°，OC為∠AOB內(nèi)部一條射線，點P為射線OC上一點，OP＝6，點M、N分別為OA、OB邊上動點，則△MNP周長的最小值為（　?。?/span>A．3 B．6 C．3 D．6【答案】解：作點P關(guān)于OA的對稱點P1，點P關(guān)于OB的對稱點P2，連結(jié)P1P2與OA的交點即為點M，與OB的交點即為點N，△PMN的最小周長為PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即為線段P1P2的長，連結(jié)OP1、OP2，則OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等邊三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周長的最小值是6．故選：B．【變式訓練3】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（　?。?/span>A．2 B．4 C．6 D．8【答案】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．【變式訓練4】如圖，∠AOB＝30°，角內(nèi)有一點P，PO＝10cm，兩邊上各有一點Q，R(均不同于點O)，則△PQR的周長的最小值是多少？【答案】10cm【詳解】作出點P關(guān)于OA的對稱點E，作出點P關(guān)于OB的對稱點F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF，則PQ=EQ，PR=RF，則△PQR的周長=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF，∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，∴∠EOF=90°，又∵OE=OP，OF=OP，∴OE=OF=10，即△EOF是等邊三角形，∴EF=OP=10，所以△PQR的周長的最小值為10．題型二、幾何圖形的翻折問題例、如圖所示，把長方形沿折疊，若，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)折疊性質(zhì)得出，∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠2=70°，故選：B．【變式訓練1】如圖，長方形紙片，將沿對角線折疊得，和相交于點E，將沿折疊得，若，則度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)∠CBD＝β，則∠C'BD＝β，∵，∴∠A'BE＝β?α，由折疊可得，∠ABE＝∠A'BE＝β?α，∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，∴β?α＋β＋β＝90°∴β＝，故選C．【變式訓練2】如圖，已知長方形紙片ABCD，點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上，分別沿EF，GH折疊，使點B和點C都落在點P處，若∠FEH+∠EHG＝118°，則∠FPG的度數(shù)為（　?。?/span>A．54° B．55° C．56° D．57°【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折疊可知：EF，GH分別是∠BFP和∠CGP的角平分線，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．故選：C．【變式訓練3】如圖，將長方形的一角沿著翻折，使得點落在點的位置，再將長方形沿著折疊，使得經(jīng)過點，則的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，由可求解∠GEF．【詳解】解：由題意及折疊的性質(zhì)可得：，，∵，∴，故選B．【變式訓練4】如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點D與點B重合，點C落在點C′的位置上．（1）折疊后，DC的對應線段是　　，CF的對應線段是　　；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度數(shù)；（3）若AB=8，DE=10，求CF的長度．【答案】（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可得：折疊后，DC的對應線段是BC′，CF的對應線段是C′F；故答案為：BC′，C′F．（2）由折疊的性質(zhì)可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；故答案為：50°，80°（3）∵AB=8，DE=10，∴BE=10，∴AE==6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．故答案為：6題型三、等腰三角形綜合例、如圖，已知，，點為的外心，若，則____．【答案】140【詳解】∵，∴∠AED==70°如圖，延長BF，交AE于H點 ∵點為的外心∴F點在AE的垂直平分線上又∴BH是AE的垂直平分線，∴BH⊥AE，∴∠FBE=90°-∠AED=20°，同理可得∠FCD=90°-70=20°∴180°-∠FBE-∠FCD=140°故答案為：140．【變式訓練1】如圖，在中，，垂直平分．若，，垂足分別為點，，連接，則__________．【答案】45°【詳解】解：∵垂直平分，，∴，是等腰直角三角形；∵，，∴（等腰三角形底邊上的高也是頂角的角平分線），∵在直角和直角中，和都和互余，∴，∵（三線合一），∴點F是BC中點，EF是直角的中線，∴，∴，∴（等邊對等角），∴．故答案為：．【變式訓練2】如圖，等腰△ABC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．（1）在圖中找出與∠DAC相等的角，并加以證明；（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．【答案】解：（1）結(jié)論：∠BDE＝∠DAC．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，∴∠3＝∠1．（2）如圖，在DE上截取DG＝DF，連接AG，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，∴△ADG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠1＝∠2，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝AF＝6﹣m．【變式訓練3】在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如圖1，將AD、EB延長，延長線相交于點O：①求證：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；（2）如圖2，當α＝45°時，連接BD、AE，作CM⊥AE于M點，延長MC與BD交于點N，求證：N是BD的中點．【答案】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BOA＝2α；（2）如圖2，作BP⊥MN交MN的延長線于P，作DQ⊥MN于Q，∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，∴∠BCP＝∠CAM，在△CBP與△ACM中，，∴△CBP≌△ACM（AAS），∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP，在△BPN與△DQN中，，∴△BPN≌△DQN（AAS），∴BN＝ND，∴N是BD的中點．
 

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