【學(xué)習(xí)目標】
1．理解直線、射線、線段的概念，掌握它們的區(qū)別和聯(lián)系；
2. 利用直線、線段的性質(zhì)解決相關(guān)實際問題；
3．利用線段的和差倍分解決相關(guān)計算問題．
【要點梳理】
要點一、直線
1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細線”、“一張紙的折痕”等實際事物進行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．
（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線 SKIPIF 1 < 0 ．
3.基本性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點確定一條直線．
要點詮釋：
直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸．
（2）直線沒有粗細．
（3）兩點確定一條直線．
（4）兩條直線相交有唯一一個交點．
4.點與直線的位置關(guān)系：
（1）點在直線上，如圖3所示，點A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點A．
（2）點在直線外，如圖4，點B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點B．
要點二、線段
1.概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段．
2.表示方法：
（1）線段可用表示它兩個端點的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．
（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．
3. “作一條線段等于已知線段”的兩種方法：
法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．
4.基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．
如圖6所示，在A，B兩點所連的線中，線段AB的長度是最短的．
圖6
要點詮釋：
（1）線段是直的，它有兩個端點，它的長度是有限的，可以度量，可以比較長短．
（2）連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離．
（3）線段的比較：
①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短．
②疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短．
5.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖7所示，點C是線段AB的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，或AB＝2AC＝2BC．
圖7
要點詮釋：
若點C是線段AB的中點，則點C一定在線段AB上．
要點三、射線
1.概念：直線上一點和它一側(cè)的部分叫射線，這個點叫射線的端點．
如圖8所示，直線l上點O和它一旁的部分是一條射線，點O是端點．
圖8
SKIPIF 1 < 0
2.特征：是直的，有一個端點，不可以度量，不可以比較長短，無限長．
3.表示方法：（1）可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點，另一個是射線上除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA．
（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l．
要點詮釋：
(1)端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖9中射線OA，射線OB是不同的射線．
圖9
(2)端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．
圖10
要點四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系
1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系
（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關(guān)系．在直線上任取一點，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點，則可將直線分為一條線段和四條射線．
（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．
2．三者的區(qū)別如下表
要點詮釋：
（1） 聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：
（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．
【典型例題】
類型一、相關(guān)概念
1.下列說法中，正確的是( )
A．射線OA與射線AO是同一條射線
B．線段AB與線段BA是同一條線段
C．過一點只能畫一條直線
D．三條直線兩兩相交，必有三個交點
【答案】B
【解析】射線OA的端點是O，射線AO的端點是A，所以射線OA與射線AO不是同一條射線，故A錯誤；過一點能畫無數(shù)條直線，所以C錯誤；三條直線兩兩相交，有三個交點或一個交點(三條直線相交于一點時)，所以D錯誤；線段AB與線段BA是同一條線段，所以B正確．
【總結(jié)升華】直線和線段用兩個大寫字母表示時，與字母的前后順序無關(guān)，但射線必須是表示端點的字母寫在前面，不能互換．
舉一反三：
【變式1】以下說法中正確的是 （ ）
A．延長線段AB到C B．延長射線AB
C．直線AB的端點之一是A D．延長射線OA到C
【答案】A
【變式2】如圖所示，請分別指出圖中的線段、射線和直線的條數(shù)，并把它們分別表示出來.
【答案】
解：如下圖所示，在直線上點A左側(cè)和點C右側(cè)分別任取點X和Y.
圖中有6條射線：射線AX、射線AY、射線BX、射線BY、射線CX、射線CY.
有3條線段：線段AB(或BA)、線段BC(或CB)、線段AC(或CA)
有1條直線：直線AC(或AB，BC).
類型二、有關(guān)作圖
2．如圖所示，線段a，b，且a＞b．
用圓規(guī)和直尺畫線段：(1)a+b；(2)a-b．
【答案與解析】
解：(1) 畫法如圖(1)，畫直線AF，在直線AF上畫線段AB＝a，再在AB的延長線上畫線段BC＝b，線段AC就是a與b的和，記作AC＝a+b．
(2) 畫法如圖(2)，畫直線AF，在直線AF上畫線段AB＝a，再在線段AB上畫線段BD＝b，線段AD就是a與b的差，記作AD＝a-b．
【總結(jié)升華】在畫線段時，為使結(jié)果更準確，一般用直尺畫直線，用圓規(guī)量取線段的長度．
舉一反三：
【變式1】（2014秋?商丘期末）如圖，C是線段AB外一點，按要求畫圖：
（1）畫射線CB；
（2）反向延長線段AB；
（3）連接AC，并延長AC至點D，使CD=AC．
【答案】
解：
【變式2】用直尺作圖：P是直線a外一點，過點P有一條線段b與直線a不相交.
【答案】
解：
類型三、有關(guān)條數(shù)及長度的計算
3.如圖，A、B、C、D為平面內(nèi)任意三點都不在同一條直線上的四點，那么過其中兩點，可畫出 條直線.
【思路點撥】根據(jù)兩點確定一條直線即可計算出直線的條數(shù)．
【答案】6條直線
【解析】由兩點確定一條直線知，點A與B,C,D三點各確定一條直線，同理點B與C、D各確定一條直線，C與D確定一條直線，綜上：共有直線：3+2+1=6（條）.
【總結(jié)升華】平面上有 SKIPIF 1 < 0 個點，其中任意三點不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為： SKIPIF 1 < 0 ．
舉一反三：
【變式1】如圖所示，已知線段AB上有三個定點C、D、E．
(1)圖中共有幾條線段？
(2)如果在線段CD上增加一點，則增加了幾條線段？你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？
【答案】
解：(1)線段的條數(shù)：4＋3＋2＋1＝10(條)；
(2)如果在線段CD上增加一點P，則P與其它五個點各組成一條線段，因此，增加了5條線段.
（注解：若在線段AB上增加一點，則增加2條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2；若再增加一點，則又增加了3條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2＋3；…；當線段AB上增加到n個點(即增加n－2個點)時，線段的總條數(shù)為1＋2＋……＋(n－1)＝ SKIPIF 1 < 0 n(n－1) .）
【變式2】)如圖直線m上有4個點A、B、C、D，則圖中共有________條射線．
【答案】8
4. 如圖所示，AB＝40，點C為AB的中點，點D為CB上的一點，點E是BD的中點，且EB＝5，求CD的長．
【思路點撥】顯然CD＝CB－BD，要求CD的長，應(yīng)先確定CB和BD的長．
【答案與解析】
解：因為AB＝40，點C為AB的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因為點E為BD的中點，EB＝5，
所以BD＝2EB＝10．所以CD＝CB-BD＝20-10＝10．
【總結(jié)升華】求線段的長度，注意圍繞線段的和、差、倍、分展開，若每一條線段長度均已確定，所求問題便可迎刃而解．
舉一反三：
【變式】在直線l上按指定方向依次取點A、B、C、D，且使AB：BC：CD=2：3：4，如圖所示，若AB的中點M與CD的中點N的距離是15cm，求AB的長.
【答案】
解：依題意，設(shè)AB＝2x cm，那么BC＝3x cm，CD＝4x cm．則有：
MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15
解得： SKIPIF 1 < 0
所以AB=2x = SKIPIF 1 < 0 cm.
類型四、最短問題
5. （2020?新疆）如圖所示，某同學(xué)的家在A處，星期日他到書店去買書，想盡快趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線（ ）
A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B
【答案】B．
【解析】
根據(jù)兩點之間的線段最短，
可得C、B兩點之間的最短距離是線段CB的長度，
所以想盡快趕到書店，一條最近的路線是：A→C→F→B．
【總結(jié)升華】“兩點之間線段最短”在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，此類問題要與線段的性質(zhì)聯(lián)系起來，這里線段最短是指線段的長度最短，連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離，線段是圖形，線段長度是數(shù)值．
舉一反三：
【變式】 (1)如圖1所示，把原來彎曲的河道改直，A、B兩地間的河道長度有什么變化?
(2)如圖2，公園里設(shè)計了曲折迂回的橋，這樣做對游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響?與修一座直的橋相比，這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程?說出上述問題中的道理．
【答案】
解：(1)河道的長度變小了．
(2)由于“兩點之間，線段最短”，這樣做增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞湖面風(fēng)光，起到“休閑”的作用．

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4.2 直線、射線、線段

版本： 人教版

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