第十九講 直角三角形與勾股定理
考點一 直角三角形的判定 2
考點二 勾股定理的應(yīng)用--最短路徑 3
考點三 勾股定理的應(yīng)用二--翻折問題 6
考點四 直角三角形的性質(zhì)--斜中半 11
考點五 直角三角形有關(guān)幾何證明 16
















考點一 直角三角形的判定

1．下列各組數(shù)中，能作為直角三角形的三邊長的是（　?。?br /> A．2，3，4 B．6，8，10 C．1，， D．，，
【解答】解：A、因為22+32≠42，故不能作為直角三角形三邊長；
B、因為62+82＝102，故能作為直角三角形三邊長；
C、因為12+（）2≠（）2，故不能作為直角三角形三邊長；
D、因為（）2+（）2≠（）2，故不能作為直角三角形三邊長．
故選：B．
2．滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（　?。?br /> A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，AB＝
【解答】解：A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴設(shè)∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴∠A+∠B+∠C＝3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠C＝5x＝5×15°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合題意．
B．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，12+22＝（）2，
∴BC2+AC2＝AB2，
滿足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合題意．
C．∵BC：AC：AB＝3：4：5，
∴設(shè)BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，
∴（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴滿足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合題意．
D．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，12+（）2＝22，
∴BC2+AB2＝AC2，
滿足勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合題意．
故選：A．
3．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長度的是（　?。?br /> A． B．3，4，5 C． D．9，12，15
【解答】解：A．∵（）2+22≠（）2，
∴以，2，為邊不能組成直角三角形，故本選項符合題意；
B．∵32+42＝52，
∴以6，8，10為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；
C．∵12+12＝（）2，
∴以1，1，為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意；
D．∵92+122＝152，
∴以9，12，15為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意．
故選：A．



考點二 勾股定理的應(yīng)用--最短路徑

4．如圖，長方體的長為8，寬為10，高為6，點B離點C的距離為2，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：如圖1：（1）AB＝＝＝6；

（2）AB＝＝＝2；

（3）AB＝＝2．

所以需要爬行的最短距離是2，
故選：A．
5．如圖，圓柱形玻璃杯高為11cm，底面周長為30cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的爬行最短路線長為（杯壁厚度不計）（　?。?br />
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
【解答】解：如圖：

將杯子側(cè)面展開，
作A關(guān)于EF的對稱點A′，
則AF+BF為螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離，即A′B的長度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為17cm，
故選：B．
6．如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m．小明要在AB上選取一點E，能夠使他從點D滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（　?。é腥?）m．

A．30 B．28 C．25 D．22
【解答】解：其側(cè)面展開圖如圖：作點C關(guān)于AB的對稱點F，連接DF，

∵中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，
∴BC＝πR＝2.5π≈7.5m，AB＝CD＝20m，
∴CF＝15m，
在Rt△CDF中，DF＝＝＝25（m），
故他滑行的最短距離約為25m．
故選：C．

考點三 勾股定理的應(yīng)用二--翻折問題

7．如圖，三角形紙片ABC，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面積為2，則點F到BC的距離為（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴?（AF+DF）?BF＝4，
∴?（3+DF）?2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
設(shè)點F到BD的距離為h，則有?BD?h＝?BF?DF，
∴h＝，
故選：B．
8．如圖，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．點D和點E分別是BC邊和AB邊上兩點，連接DE．將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，點B恰好落在AC的中點處設(shè)DE與BB交于點F，則EF＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
過B′作B′H⊥AB與H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′H＝AB′，
∵AB′＝AC＝，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′＝＝＝，
∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，
∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
故答案為：．
故選：C．

9．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點F，連接BE，則點E到BC的距離為（　?。?br />
A． B．3 C．2 D．
【解答】解：過點A作AG⊥BC,垂足為G，過點B作BH⊥AC，垂足為H,
∵AB＝BC＝5,
∴AH＝CH＝＝,
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2,
BH2+()2＝52,
解得BH＝，
S△ABC＝,
,
解得：AG＝3,
在Rt△ACG中，
CG2+AG2＝AC2,
CG2+33＝(2,
解得:CG＝1,
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG,
∵DE⊥AB,
∴∠AGD＝∠AFD＝90°,
∴△AGD≌△AFD(AAS),
∴AF＝AG＝3,BF＝AB﹣AF＝2,
設(shè)GD＝x，
則DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2,
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝CD＝,BD＝BC﹣CD＝,
設(shè)點E到BC的距離為d，
S，
，
解得d＝2．
所以點E到BC的距離為2．
故選：C．

10．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD邊上的一點，AM：MD＝1：2．將△BMA沿BM對折至△BMN，連接DN，則DN的長是（　?。?br />
A． B． C．3 D．
【解答】解：連接AN交BM于點O，作NH⊥AD于點H．如圖：

∵AB＝6，AM：MD＝1：2．
∴AM＝2，MD＝4．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴BM＝．
根據(jù)折疊性質(zhì)，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．
∴．
∴＝．
∴AN＝．
∵NH⊥AD．
∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴DN＝．
故選：D．


考點四 直角三角形的性質(zhì)--斜中半

11．如圖，在△ABC中，tan∠ACB＝，D為AC的中點，點E在BC上，連接DE，將△CDE沿著DE翻折，得到△FDE，點C的對應(yīng)點是點F，EF交AC于點G，當(dāng)EF⊥EC時，△DGF的面積，連接AF，則AF的長度為（　?。?br />
A．2 B． C． D．
【解答】解：由題意得，△EDC≌△EDF，
∴∠CED＝∠FED，
∵EF⊥EC，
∴∠FED＝∠CED＝45°，
作DM⊥EF于M，AN⊥EF于N，

設(shè)DM＝x，則EM＝x，
∵∠EFD＝∠ACB，
∴，
∵∠GDM＝∠ACB，
∴DM∥BC，
∴GM＝tan∠GDM?DM＝，
∴FG＝FM﹣GM＝，
∴，
解得：x＝，
∴FD＝，GD＝，AD＝CD＝FD＝5，
∴G是AD的中點，
即AG＝DG，
∵∠ANG＝∠DMG＝90°，∠AGM＝∠DGM，
∴△ANG≌△DMG（AAS），
∴GN＝GM＝，
∴FN＝FM﹣NM＝2，
∴AN＝DM＝，
∴AF＝．
故選：D．
12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D為AB上一動點（不與點A重合），△AED為等邊三角形，過D點作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任一點，G為EF的中點，則線段BG長的最小值是（　?。?br />
A．6 B．9 C．3 D．6
【解答】解：如圖，連接DG，AG，設(shè)AG交DE于點H，

∵DE⊥DF，G為EF的中點，
∴DG＝GE，
∴點G在線段DE的垂直平分線上，
∵△AED為等邊三角形，
∴AD＝AE，
∴點A在線段DE的垂直平分線上，
∴AG為線段DE的垂直平分線，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴點G在射線AH上，當(dāng)BG⊥AH時，BG的值最小，如圖所示，設(shè)點G'為垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
則在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC＝6，
故選：D．
13．如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：連接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，
連接OM，交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P′位置時，OP′取得最小值，
過點M作MQ⊥x軸于點Q，

則OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵M(jìn)P′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故選：D．
二．填空題（共2小題）
14．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點，AE＝CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，F(xiàn)C＝2，則AB的長為　6　．

【解答】解：如圖，連接BO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO＝BC，
在Rt△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等邊三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故答案為6．

15．如圖，在△ABC中，AB＝6，D、E分別是AB、AC的中點，點F在DE上，且DF＝3FE，當(dāng)AF⊥BF時，BC的長是　8?。?br />
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，又D是AB的中點，
∴DF＝AB＝3，
∵DF＝3FE，
∴EF＝1，
∴DE＝4，
∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴BC＝2DE＝8，
故答案為：8．


考點五 直角三角形有關(guān)幾何證明

16．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點．
（1）求證：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）連接EF，若AC＝10，求EF的長．

【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點，
∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，
∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC＝10，
∴DE＝DF＝5，
由勾股定理得，EF＝＝5．
17．正方形ABCD中，點P是邊CD上的任意一點，連接BP，O為BP的中點，作PE⊥BD于E，連接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?br /> （2）用等式表示線段AE與BP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【解答】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O為BP的中點，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；
（2）BP＝．證明如下：
連接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
設(shè)∠PBC＝α，
在Rt△BPC中，O為BP的中點，
∴CO＝BO＝，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2 α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
∴EC＝OC＝，
即BP＝，
∴BP＝．

18．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且AE＝EF，點O，M分別為AF，CE的中點．求證：
（1）OM＝CE；
（2）OB＝OM．

【解答】證明（1）連接OE，
∵AE＝EF，O是AF的中點，
∴EO⊥AF，又點M為CE的中點，
∴OM＝CE；
（2）連接BM，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵∠ABC＝90°，點M為CE的中點，
∴BM＝CE＝MC，
∴OM＝BM，∠OMB＝∠OME+∠BME＝2（∠ACE+∠BCE）＝90°，
∴OB＝OM．

19．如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰Rt△CMN中，∠CMN＝90°，CM＝MN，點M在CD邊上，連接AN，點E是AN的中點，連接BE．
（1）若CM＝2，AB＝6，求AE的值；
（2）求證：2BE＝AC+CN；
（3）當(dāng)?shù)妊黂t△CMN的點M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點E是AN的中點，連接BE，延長NM交AC于點F．請?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AB＝6，
∴AC＝6，
∵等腰Rt△CMN中，∠CMN＝90°，CM＝MN，CM＝2，
∴CN＝2，
∵∠ACN＝90°，
∴AN＝＝＝4，
∵點E是AN的中點，
∴AE＝2；
（2）如圖①，延長NC與AB的延長線交于一點G，
則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點，

∴AC＝CG
∴GN＝AC+CN，
∵點E是AN的中點，
∴BE＝GN
∴2BE＝AC+CN；
（3）BE＝（AC﹣CN）
如圖②，延長CN與AB的延長線交于一點G，
則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點，

∴AC＝CG，
∴GN＝AC﹣CN，
∵點E是AN的中點，
∴BE＝GN，
∴BE＝（AC﹣CN）．



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