知識梳理
1．導數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)
一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)導數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)
稱函數(shù)f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導函數(shù)．
2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
3.導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
4．復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．
題型歸納
題型1 導數(shù)的運算
【例1-1】（2020春?房山區(qū)期末）已知函數(shù)，則它的導函數(shù)等于
A．B． C．D．
【例1-2】（2020春?南陽期末）已知：函數(shù)，其導函數(shù)．若函數(shù)的導函數(shù)，且，則的值為
A．B．1C．D．
【跟蹤訓練1-1】（2020?新課標Ⅲ）設函數(shù)，若（1），則 ．
【跟蹤訓練1-2】（2020春?金鳳區(qū)校級期末）已知（1），則（1）的值為 ．
【名師指導】
1．求函數(shù)導數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導．
2．常見形式及具體求導6種方法
題型2 求切線方程
【例2-1】（2020春?藍田縣期末）曲線在點處的切線方程為
A．B．C．D．
【例2-2】已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為________．
【跟蹤訓練2-1】（2020?海東市模擬）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線的方程為 ．
【跟蹤訓練2-2】(2020·江西吉安一模)過點P(1,1)且與曲線y＝x3相切的直線的條數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【名師指導】
求曲線過點P的切線方程的方法
(1)當點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)當點P(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：
第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))；
第二步：寫出過點P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．
題型3 求切點坐標
【例3-1】（2020春?大興區(qū)期末）過點作曲線的切線，則切點坐標為
A．B．C．D．
【跟蹤訓練3-1】（2020?沈陽三模）過點作曲線的切線，則切點坐標為 ．
【名師指導】
求切點坐標的思路
已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，再讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標．
題型4 由曲線的切線（斜率）求參數(shù)取值范圍
【例4-1】（2020春?海淀區(qū)校級期末）曲線在點處的切線斜率為8，則實數(shù)的值為
A．B．6C．12D．
【例4-2】（2020春?渭濱區(qū)期末）函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，則實數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，，D．，，
【跟蹤訓練4-1】（2020春?未央?yún)^(qū)校級期末）直線與曲線相切，則的值為 ．
【名師指導】
1．利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．
2．求解與導數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
題型5 兩曲線的公切線問題
【例5-1】（2020?上饒三模）已知與有相同的公切線，設直線與軸交于點，，則的值為
A．1B．0C．D．
【跟蹤訓練5-1】（2020?遂寧模擬）若存在，使得函數(shù)與在這兩函數(shù)圖象的公共點處的切線相同，則的最大值為
A．B．C．D．
【名師指導】
解決此類問題通常有兩種方法：一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；二是設公切線l在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(f?x1?－g?x2?,x1－x2).
原函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
連乘形式
先展開化為多項式形式，再求導
三角形式
先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導
分式形式
先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導
根式形式
先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導
對數(shù)形式
先化為和、差形式，再求導
復合函數(shù)
先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元

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