第14講  導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算思維導(dǎo)圖知識梳理1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率＝為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln x (x>0)f′(x)＝3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)′＝(g(x)≠0)．4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積． 題型歸納題型1    導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1-1】（2020春?房山區(qū)期末）已知函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)等于　　A． B．  C． D．【分析】根據(jù)題意，有導(dǎo)數(shù)的計算公式可得數(shù)（1），化簡變形即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)（1）；故選：．【例1-2】（2020春?南陽期末）已知：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則的值為　　A． B．1 C． D．【分析】求出函數(shù)的解析式，計算的值即可．【解答】解：由題意設(shè)，則，符合題意，故，解得：，故，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若（1），則　 　．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)（1），求得的值．【解答】解：函數(shù)，，若（1），，則，故答案為：1．【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?金鳳區(qū)校級期末）已知（1），則（1）的值為　　．【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，可得（1）（1），變形解可得（1）的值．【解答】解：根據(jù)題意，（1），其導(dǎo)數(shù)（1），令，得（1）（1），所以（1），故答案為：【名師指導(dǎo)】1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)．2．常見形式及具體求導(dǎo)6種方法連乘形式先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)分式形式先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)對數(shù)形式先化為和、差形式，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元 題型2    求切線方程【例2-1】（2020春?藍(lán)田縣期末）曲線在點(diǎn)處的切線方程為　　A． B． C． D．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．【解答】解：由，得，．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．即．故選：．【例2-2】已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為________．【解析】因為點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，所以設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又因為f′(x)＝1＋ln x，所以直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由解得x0＝1，y0＝0.所以直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?海東市模擬）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為　　         ．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．【解答】解：由，得，，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練2-2】(2020·江西吉安一模)過點(diǎn)P(1,1)且與曲線y＝x3相切的直線的條數(shù)為(　　)A．0　　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3【解析】　當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，則曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.當(dāng)點(diǎn)P不是切點(diǎn)時，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)(x0，y0)(x0≠1)，則k＝＝＝x＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3x，∴2x－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－，∴過點(diǎn)P(1,1)與曲線y＝x3相切的直線方程為3x－4y＋1＝0.綜上，過點(diǎn)P的切線有2條，故選C.【名師指導(dǎo)】求曲線過點(diǎn)P的切線方程的方法(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時，可分以下幾步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫出過點(diǎn)P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程． 題型3    求切點(diǎn)坐標(biāo)【例3-1】（2020春?大興區(qū)期末）過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為　　A． B． C． D．【分析】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得切點(diǎn)．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，又切線過，可得，解得，則切點(diǎn)為．故選：．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?沈陽三模）過點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為　　   ．【分析】由已知結(jié)合直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．【解答】解：因為，所以，設(shè)切點(diǎn)為，，，根據(jù)題意可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)．故答案為：．【名師指導(dǎo)】求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 題型4   由曲線的切線（斜率）求參數(shù)取值范圍【例4-1】（2020春?海淀區(qū)校級期末）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為8，則實(shí)數(shù)的值為　　A． B．6 C．12 D．【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，解方程可得的值．【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)處的切線斜率為，解得．故選：．【例4-2】（2020春?渭濱區(qū)期末）函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A．， B．， C．，， D．，，【分析】易知切線斜率為1，由題意可知，只需的值域中含有1即可．由此構(gòu)造的不等式，解出的范圍．【解答】解：，．由題意，只需，有解，則只需的值域中包含1即可．當(dāng)時，，顯然不符合題意；當(dāng)時，的開口向下，在對稱軸處取得最大值，故，即，結(jié)合得，即為所求．故選：．【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020春?未央?yún)^(qū)校級期末）直線與曲線相切，則的值為　　．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)直線與曲線相切于，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由題意列關(guān)于與的方程組求解．【解答】解：由，得，設(shè)直線與曲線相切于，則．，解得．的值為2．故答案為：2．【名師指導(dǎo)】1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．2．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．  題型5    兩曲線的公切線問題【例5-1】（2020?上饒三模）已知與有相同的公切線，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，，則的值為　　A．1 B．0 C． D．【分析】分別設(shè)出切點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，再利用是公切線，列出方程，求出切點(diǎn)，問題即可獲解．【解答】解：對于，設(shè)切點(diǎn)為，因為，故．故切線方程為：．即；對于，設(shè)切點(diǎn)為，．，．故切線為：，即．根據(jù)為公切線得：，解得．故切線為．令得．故選：．【跟蹤訓(xùn)練5-1】（2020?遂寧模擬）若存在，使得函數(shù)與在這兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)處的切線相同，則的最大值為　　A． B． C． D．【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，然后根據(jù)公共點(diǎn)處函數(shù)值相等、導(dǎo)數(shù)值相等，列出關(guān)于公共點(diǎn)滿足的方程組，將消去，得到關(guān)于，的等量關(guān)系式，整理成（a）的形式，求函數(shù)的最值即可．【解答】解：設(shè)公共點(diǎn)為，，且．所以，由②得，解得或（舍．將代入①式整理得：，令（a），，，令（a）得，，且時，（a）．故（a）在上遞增，在上遞減．故（a）．故的最大值為．故選：．【名師指導(dǎo)】解決此類問題通常有兩種方法：一是利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；二是設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝. 

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