知識(shí)梳理
1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
稱函數(shù)f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
題型歸納
題型1 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
【例1-1】（2020春?房山區(qū)期末）已知函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)等于
A．B． C．D．
【分析】根據(jù)題意，有導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可得數(shù)（1），化簡(jiǎn)變形即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)（1）；
故選：．
【例1-2】（2020春?南陽(yáng)期末）已知：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則的值為
A．B．1C．D．
【分析】求出函數(shù)的解析式，計(jì)算的值即可．
【解答】解：由題意設(shè)，
則，符合題意，
故，解得：，
故，
，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若（1），則 ．
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)（1），求得的值．
【解答】解：函數(shù)，，
若（1），，則，
故答案為：1．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?金鳳區(qū)校級(jí)期末）已知（1），則（1）的值為 ．
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，可得（1）（1），變形解可得（1）的值．
【解答】解：根據(jù)題意，（1），
其導(dǎo)數(shù)（1），
令，得（1）（1），
所以（1），
故答案為：
【名師指導(dǎo)】
1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．
2．常見(jiàn)形式及具體求導(dǎo)6種方法
題型2 求切線方程
【例2-1】（2020春?藍(lán)田縣期末）曲線在點(diǎn)處的切線方程為
A．B．C．D．
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得，
．
曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
即．
故選：．
【例2-2】已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為_(kāi)_______．
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，所以設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又因?yàn)閒′(x)＝1＋ln x，所以直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝（1＋ln x0）x0，))解得x0＝1，y0＝0.
所以直線l的方程為y＝x－1，
即x－y－1＝0.
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?海東市模擬）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為 ．
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得，
，
則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．
故答案為：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】(2020·江西吉安一模)過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與曲線y＝x3相切的直線的條數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)，∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，則曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.當(dāng)點(diǎn)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)(x0，y0)(x0≠1)，則k＝eq \f(y0－1,x0－1)＝eq \f(x\\al(3,0)－1,x0－1)＝xeq \\al(2,0)＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)，∴2xeq \\al(2,0)－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－eq \f(1,2)，∴過(guò)點(diǎn)P(1,1)與曲線y＝x3相切的直線方程為3x－4y＋1＝0.綜上，過(guò)點(diǎn)P的切線有2條，故選C.
【名師指導(dǎo)】
求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程的方法
(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下幾步完成：
第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；
第二步：寫出過(guò)點(diǎn)P′(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．
題型3 求切點(diǎn)坐標(biāo)
【例3-1】（2020春?大興區(qū)期末）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【分析】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得切點(diǎn)．
【解答】解：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
的導(dǎo)數(shù)為，
可得切線的斜率為，
又切線過(guò)，可得，
解得，
則切點(diǎn)為．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?沈陽(yáng)三模）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【分析】由已知結(jié)合直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，設(shè)切點(diǎn)為，，
，根據(jù)題意可得，
，即切點(diǎn)坐標(biāo)．
故答案為：．
【名師指導(dǎo)】
求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路
已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
題型4 由曲線的切線（斜率）求參數(shù)取值范圍
【例4-1】（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期末）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為8，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．6C．12D．
【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，解方程可得的值．
【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，
可得在點(diǎn)處的切線斜率為，
解得．
故選：．
【例4-2】（2020春?渭濱區(qū)期末）函數(shù)的圖象存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，
C．，，D．，，
【分析】易知切線斜率為1，由題意可知，只需的值域中含有1即可．由此構(gòu)造的不等式，解出的范圍．
【解答】解：，．
由題意，只需，有解，則只需的值域中包含1即可．
當(dāng)時(shí)，，顯然不符合題意；
當(dāng)時(shí)，的開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸處取得最大值，
故，即，結(jié)合得，即為所求．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020春?未央?yún)^(qū)校級(jí)期末）直線與曲線相切，則的值為 ．
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)直線與曲線相切于，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由題意列關(guān)于與的方程組求解．
【解答】解：由，得，
設(shè)直線與曲線相切于，
則．
，解得．
的值為2．
故答案為：2．
【名師指導(dǎo)】
1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法
利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．
2．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)
(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；
(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．
題型5 兩曲線的公切線問(wèn)題
【例5-1】（2020?上饒三模）已知與有相同的公切線，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，，則的值為
A．1B．0C．D．
【分析】分別設(shè)出切點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，再利用是公切線，列出方程，求出切點(diǎn)，問(wèn)題即可獲解．
【解答】解：對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋剩?br>故切線方程為：．
即；
對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，．
，．
故切線為：，
即．
根據(jù)為公切線得：，
解得．
故切線為．
令得．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練5-1】（2020?遂寧模擬）若存在，使得函數(shù)與在這兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)處的切線相同，則的最大值為
A．B．C．D．
【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，然后根據(jù)公共點(diǎn)處函數(shù)值相等、導(dǎo)數(shù)值相等，列出關(guān)于公共點(diǎn)滿足的方程組，將消去，得到關(guān)于，的等量關(guān)系式，整理成（a）的形式，求函數(shù)的最值即可．
【解答】解：設(shè)公共點(diǎn)為，，且．
所以，由②得，
解得或（舍．
將代入①式整理得：，
令（a），，
，
令（a）得，，且時(shí)，（a）．
故（a）在上遞增，在上遞減．
故（a）．故的最大值為．
故選：．
【名師指導(dǎo)】
解決此類問(wèn)題通常有兩種方法：一是利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；二是設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
連乘形式
先展開(kāi)化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)
三角形式
先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)
分式形式
先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)
根式形式
先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)
對(duì)數(shù)形式
先化為和、差形式，再求導(dǎo)
復(fù)合函數(shù)
先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元

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