第五章　立體幾何初步5．1　基本立體圖形新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.了解構(gòu)成空間幾何體的基本元素．2．利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．3．能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).1.結(jié)合身邊的實(shí)例了解構(gòu)成空間幾何體的基本元素．(直觀想象)2．結(jié)合身邊的實(shí)物模型，認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．(數(shù)學(xué)抽象)3．理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別．(直觀想象)4．能將棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面展開成平面圖形，并解決相關(guān)問題．(直觀想象、邏輯推理)5.1.1　構(gòu)成空間幾何體的基本元素課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1．構(gòu)成空間幾何體的基本元素(1)構(gòu)成空間幾何體的基本元素①如圖所示②________是構(gòu)成幾何體的基本元素．③在立體幾何中，平面是________，通常畫一個(gè)________表示一個(gè)平面；平面一般用希臘字母α，β，γ，…來命名，還可以用表示它的平行四邊形的________的字母來命名．(2)線動(dòng)成面直線平行移動(dòng)，  可以形成________．固定射線的端點(diǎn)，讓其繞著一個(gè)圓弧轉(zhuǎn)動(dòng)，可以形成________．2．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的關(guān)系①直線與平面平行：直線與平面________公共點(diǎn)．②直線與平面相交：直線與平面有且僅有________公共點(diǎn)．(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系①兩個(gè)平面相交：兩個(gè)平面有一條公共直線．特別地，如果兩個(gè)平面相交，并且其中一個(gè)平面通過一個(gè)平面的一條垂線，我們說這兩個(gè)平面________．②兩個(gè)平面平行：兩個(gè)平面________公共點(diǎn)．答案：1.(1)①各個(gè)矩形　相鄰兩個(gè)面　棱和棱　②點(diǎn)、線、面　③無限延展的　平行四邊形　對(duì)角頂點(diǎn)(2)平面或曲面　錐面2．(1)①沒有　②一個(gè)(2)①垂直　②沒有課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1  平面概念的理解[典例1]　下列命題：①書桌面是平面；② 8個(gè)平面重疊起來，要比2個(gè)平面重疊起來厚；③一個(gè)平面的長(zhǎng)是20 cm，寬是10 cm；④平面是絕對(duì)的平、無厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中錯(cuò)誤命題的是(　　)A．①    B．②C．③    D．④[自主記][分析]　根據(jù)平面的概念判斷．[答案]　ABC[解析]　平面有無限延伸性，故①錯(cuò)，③錯(cuò)，平面是一個(gè)抽象的概念，沒有厚度，故②錯(cuò)誤．[巧歸納]　立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形是有區(qū)別的．平面圖形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的；而立體幾何中所說的平面是無大小、厚薄之分的，它類似于以前我們學(xué)過的直線，它可以無限延伸，它是不可度量的．[練習(xí)1]　判斷下列說法是否正確？并說明理由．(1)平行四邊形是一個(gè)平面；(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面；(3)空間圖形中先畫的線是實(shí)線，后畫的線是虛線．解：(1)不正確．平行四邊形是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，它是不能無限延展的．(2)不正確．平面和平面圖形是完全不同的兩個(gè)概念，平面圖形是有大小的，它是不能無限延展的．(3)不正確．在空間圖形中，為了增強(qiáng)圖形的立體感，都是把能夠看得見的線畫成實(shí)線，把被平面遮住的線畫成虛線(無論是圖形中原有的，還是后來引入的輔助線).研習(xí)2  構(gòu)成幾何體的基本元素[典例2]　(1)(多項(xiàng)選擇題)下列屬于構(gòu)成幾何體的基本元素的是(　　)A．點(diǎn)        B．線段C．曲面    D．多邊形(不含內(nèi)部的點(diǎn))(2)如圖所示，請(qǐng)畫出①②③中線段AB繞著直線l旋轉(zhuǎn)一周形成的空間圖形？[自主記](1)[答案]　ABC[解析]　空間幾何體的基本元素是點(diǎn)、線、面，而非多邊形．(2)[分析]　線的運(yùn)動(dòng)可以形成平面或曲面，觀察AB和l的位置關(guān)系及旋轉(zhuǎn)的方式和方向，可以嘗試畫出形成的圖形．[解]　如圖所示．[巧歸納]　1.點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素，任何一個(gè)幾何體都是由這些基本元素組成的，而其他圖形有時(shí)也能構(gòu)成另外復(fù)雜的幾何體，但是不能稱之為“基本元素”．2．點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)形成怎樣的圖形與其運(yùn)動(dòng)的形式和方向有關(guān)，如果直線與旋轉(zhuǎn)軸平行，那么形成圓柱面，如果與旋轉(zhuǎn)軸斜交，那么形成圓錐面．3．在判斷點(diǎn)、線、面按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的幾何體的形狀時(shí)，可以借助身邊的實(shí)物來模擬．[練習(xí)2]　以下結(jié)論中不正確的是(　　)A．平面上一定有直線B．平面上一定有曲線C．曲面上一定無直線D．曲面上一定有曲線答案：C研習(xí)3  長(zhǎng)方體中基本元素間的位置關(guān)系[典例3]　如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，如果把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延伸為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中，回答下列問題：(1)與直線B′C′平行的平面有哪幾個(gè)？(2)與直線B′C′垂直的平面有哪幾個(gè)？(3)與平面BC′平行的平面有哪幾個(gè)？(4)與平面BC′垂直的平面有哪幾個(gè)？[自主記][分析]　細(xì)心觀察圖形，判定與B′C′平行、垂直的平面、與面BC′平行、垂直的平面．[解]　(1)與直線B′C′平行的平面有：平面AD′，平面AC．(2)與直線B′C′垂直的平面有：平面AB′，平面CD′.(3)與平面BC′平行的平面有：平面AD′.(4)與平面BC′垂直的平面有：平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC．[巧歸納]　1.解決此類問題的關(guān)鍵在于識(shí)圖，根據(jù)圖形識(shí)別直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直．2．長(zhǎng)方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體，對(duì)其認(rèn)識(shí)有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體幾何中的點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系．[練習(xí)3]　下列關(guān)于長(zhǎng)方體的敘述不正確的是(　　)A．將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個(gè)長(zhǎng)方體B．長(zhǎng)方體中相對(duì)的面都互相平行C．長(zhǎng)方體中某一底面上的高的長(zhǎng)度就是兩平行底面間的距離D．兩底面之間的棱互相平行且相等答案：A達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)1．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有(　　)①曲面上可以存在直線；②平面上可以存在曲線；③曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成平面；④直線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成曲面；⑤曲面上不能畫出直線．A．3個(gè)    B．4個(gè)C．5個(gè)    D．2個(gè)答案：B2．下列關(guān)于長(zhǎng)方體的說法中，正確的是________．(填寫正確命題的序號(hào))．①長(zhǎng)方體有六個(gè)面；②長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)小于長(zhǎng)方體的棱的條數(shù)；③將一個(gè)水平放置的矩形ABCD(包括其內(nèi)部)各點(diǎn)沿一定方向移動(dòng)相同的距離得到矩形A′B′C′D′，所形成的幾何體是長(zhǎng)方體．答案：①②　解析：由長(zhǎng)方體的有關(guān)概念知①②正確；③中當(dāng)把矩形ABCD(包括其內(nèi)部)各點(diǎn)沿豎直方向移動(dòng)相同的距離時(shí)，形成的幾何體才是長(zhǎng)方體，故③是錯(cuò)誤的．3．線段AB長(zhǎng)為5 cm，在水平面上向右移動(dòng)4 cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3 cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動(dòng)4 cm后記為A′B′，依次連接構(gòu)成長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′.(1)該長(zhǎng)方體的高為________；(2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為________；(3)點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為________．答案：(1)3 cm　(2)4 cm　(3)5 cm　解析：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴長(zhǎng)方體的高為3 cm；平面A′B′BA與平面CDD′C′之間的距離為4 cm；點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為5 cm.4．試指出圖中各幾何體是由哪些基本元素組成的．　　解：①中幾何體由6個(gè)頂點(diǎn)、12條棱和8個(gè)面組成；②中幾何體由12個(gè)頂點(diǎn)、18條棱和8個(gè)面組成；③中幾何體由6個(gè)頂點(diǎn)、10條棱和6個(gè)面組成．[誤區(qū)警示]　忽視幾何中的線線、線面關(guān)系致誤[典例]　下列關(guān)于長(zhǎng)方體的說法中，正確的是________．①長(zhǎng)方體中有3組對(duì)面互相平行：②在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，與AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③長(zhǎng)方體可看成是由一個(gè)矩形平移形成的；④長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．[錯(cuò)誤解答]　根據(jù)長(zhǎng)方體中六個(gè)面，十二條棱間的相互關(guān)系可以判斷①②③④都正確．[錯(cuò)誤原因分析]　在對(duì)長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中的棱AB進(jìn)行分析時(shí)，由于長(zhǎng)方體中的棱比較多，忽視了另外的五條棱B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1也與AB是垂直關(guān)系．[正解]　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正確；與AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，還有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②錯(cuò)誤；這個(gè)長(zhǎng)方體可看成由它的一個(gè)面ABCD上各點(diǎn)沿豎直方向向上移動(dòng)相同距離AA1所形成的幾何體，故③正確；棱AA1, BB1，CC1，DD1的長(zhǎng)度是長(zhǎng)方體中面ABCD和面A1B1C1D1的距離，因此它們平行且相等，故答案是①③④.[答案]　①③④[防范措施]　在研究空間幾何中點(diǎn)線面的位置關(guān)系時(shí)，由于幾何體中的點(diǎn)線面比較多，一定要養(yǎng)成認(rèn)真分析、仔細(xì)觀察的習(xí)慣，特別是畫出圖形分析對(duì)正確解題更為必要． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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