§1　基本立體圖形1．1　構(gòu)成空間幾何體的基本元素1．2　簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺(tái)學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))2．能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來判斷、描述現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物模型．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過對(duì)多面體結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)．2．借助于多面體側(cè)面展開圖的相關(guān)計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)． 小學(xué)和初中我們學(xué)過平面上的一些幾何圖形，如直線、三角形、長方形、圓等．現(xiàn)實(shí)生活中，我們周圍還存在著很多不是平面上而是“空間”中的物體，它們占據(jù)著空間的一部分，如粉筆盒、足球、易拉罐等．如果只考慮這些物體的形狀和大小，那么它們有很多相同的特征．閱讀教材，結(jié)合上述情境回答下列問題：問題1：空間幾何體的定義是什么？問題2：常見的空間幾何體分為哪幾類？問題3：常見的多面體有哪些？知識(shí)點(diǎn)1　空間幾何體的基本元素(1)空間幾何體的基本元素：任意一個(gè)幾何體都是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．(2)平面：①平面的畫法：一般地，用平行四邊形表示平面，當(dāng)平面水平放置時(shí)，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊長畫成鄰邊長的兩倍當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，把被遮擋部分畫成虛線或不畫②平面的表示方法：用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.用表示平行四邊形頂點(diǎn)的字母表示，如平面ABCD.用表示平行四邊形頂點(diǎn)的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC.(3)多面體及相關(guān)概念由平面多邊形圍成的幾何體稱為多面體．這些多邊形稱為多面體的面，兩個(gè)相鄰面的公共邊稱為多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)稱為多面體的頂點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)2　棱柱定義有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體稱為棱柱圖形及表示如圖可記作：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1相關(guān)概念底面(底)：兩個(gè)互相平行的面側(cè)面：其余各面側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)對(duì)角線：既不在同一底面上也不在同一個(gè)側(cè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線高：過上底面上一點(diǎn)O1作下底面的垂線，這點(diǎn)和垂足O間的距離OO1稱為點(diǎn)O1到下底面的距離，也是兩底面間的距離，即棱柱的高性質(zhì)(1)側(cè)棱都相等(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形(3)過不相鄰兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形分類(1)按側(cè)面形狀分類：側(cè)面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱，其他的棱柱稱為斜棱柱，底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱(2)按底面形狀分類：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……特殊的四棱柱底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體稱為直平行六面體；底面是矩形的直平行六面體是長方體；棱長都相等的長方體是正方體1.關(guān)于棱柱，下列說法正確的有________(填序號(hào)).(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；(2)棱柱的側(cè)棱長相等，側(cè)面都是平行四邊形；(3)各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體．(2)　[(1)不正確，反例如圖所示．(2)正確，由棱柱定義可知，棱柱的側(cè)棱相互平行且相等，所以側(cè)面均為平行四邊形．(3)不正確，上、下底面是菱形，各側(cè)面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體．]知識(shí)點(diǎn)3　棱錐定義有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐圖形及表示如圖可記作：棱錐S-ABCDEF或棱錐S-AC相關(guān)概念底面(底)：多邊形ABCDEF 側(cè)面：其余各面頂點(diǎn)：各個(gè)側(cè)面的公共點(diǎn)側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊高：頂點(diǎn)到底面的距離性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似分類(1)分類：棱錐的底面可能是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐…….三棱錐也叫作四面體(2)正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上，那么這個(gè)棱錐稱為正棱錐．正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形．這些等腰三角形底邊上的高都相等，稱為正棱錐的斜高1.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體是棱錐嗎？[提示]　不一定是．只有當(dāng)這些三角形有公共的頂點(diǎn)時(shí)才是棱錐．2.下列棱錐有6個(gè)面的是(　　)A．三棱錐    B．四棱錐    C．五棱錐    D．六棱錐[答案]　C知識(shí)點(diǎn)4　棱臺(tái)定義用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái)圖形及表示如圖可記作：棱臺(tái)ABC- A1B1C1或棱臺(tái)AC1相關(guān)概念底面：原棱錐的底面和截面分別稱為棱臺(tái)的下底面和上底面側(cè)面：其余各面側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊高：上下兩底面之間的距離分類(1)分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺(tái)，分別稱為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……(2)正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái)．正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形．這些等腰梯形的高稱為正棱臺(tái)的斜高2.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長線一定相交于一點(diǎn)嗎？[提示]　因?yàn)槔馀_(tái)是由棱錐截得的，所以棱臺(tái)的各側(cè)棱延長線一定相交于一點(diǎn)．3.有兩個(gè)面平行的多面體不可能是(　　)A．棱柱     B．棱錐C．棱臺(tái)     D．以上都錯(cuò)B　[棱柱、棱臺(tái)的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行．所以有兩個(gè)面平行的多面體不可能是棱錐．] 類型1　棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】　下列命題中，正確的是(　　)A．棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫作棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形D　[A選項(xiàng)不符合棱柱的側(cè)棱平行的特點(diǎn)；對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖(1)，構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但這兩個(gè)面不能作為棱柱的底面；選項(xiàng)C中，如下圖(2)，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項(xiàng)說明了棱柱的特點(diǎn)，故選D.](1)　　　　　　　(2)有關(guān)棱柱的結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略(1)緊扣棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行有關(guān)概念辨析①兩個(gè)面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征．(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除．1．下列關(guān)于棱柱的說法中，錯(cuò)誤的是(　　)A．三棱柱的底面為三角形B．一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面C．若棱柱的底面邊長相等，則它的各個(gè)側(cè)面全等D．五棱柱有5條側(cè)棱、5個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C　[顯然A正確；底面邊數(shù)最少的棱柱是三棱柱，它有五個(gè)面，故B正確；底面是正方形的四棱柱，有一對(duì)側(cè)面與底面垂直，另一對(duì)側(cè)面不垂直于底面，此時(shí)側(cè)面并不全等，所以C錯(cuò)誤；D正確，所以選C.] 類型2　棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【例2】　(教材北師版P198練習(xí)1改編)(1)下列說法正確的有(　　)①由五個(gè)面圍成的多面體只能是四棱錐；②僅有兩個(gè)面互相平行的五面體是棱臺(tái)；③兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；④有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．A．0個(gè)    B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)(2)下列說法正確的有________個(gè)．①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；②正棱錐的側(cè)面是等邊三角形；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．(1)A　(2)0　[由五個(gè)面圍成的多面體還可能是三棱臺(tái)、三棱柱等，故①錯(cuò)；三棱柱是只有兩個(gè)面平行的五面體，故②錯(cuò)．如圖，可知③④錯(cuò)誤．(2)①不正確．棱錐的定義是：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．而“其余各面都是三角形”并不等價(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”，故此說法是錯(cuò)誤的．如圖所示的幾何體滿足此說法，但它不是棱錐，理由是△ADE和△BCF無公共頂點(diǎn)．②錯(cuò)誤．正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形．③錯(cuò)誤．由已知條件知，此三棱錐的三個(gè)側(cè)面未必全等，所以不一定是正三棱錐．如圖所示的三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.滿足底面△BCD為等邊三角形．三個(gè)側(cè)面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定，三個(gè)側(cè)面不一定全等．]判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法： 棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)2．一個(gè)棱錐的各棱長都相等，那么這個(gè)棱錐一定不是(　　)A.三棱錐     B．四棱錐C.五棱錐     D．六棱錐D　[由題意可知，每個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，每個(gè)側(cè)面的頂角均為60°，如果是六棱錐，因?yàn)?/span>6×60°＝360°，所以頂點(diǎn)會(huì)在底面上，因此一定不是六棱錐．] 類型3　多面體的平面展開圖問題【例3】　長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，求螞蟻爬行的最短路線長．1.如何把一個(gè)多面體的側(cè)面展開？[提示]　在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖．2.如圖是三個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？,①　　　　②　　　　　③[提示]　圖①中，有5個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；圖②中，有5個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；圖③中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn)．把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)．3.→→→[解]　沿長方體的一條棱剪開，使A和C1展開在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4.(2)若將AD剪開，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.(3)若將CC1剪開，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝＝.相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為.把例3的條件換為：如圖所示，棱長為2 cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱CC1的中點(diǎn)為M，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)M，求螞蟻爬行的最短路線長．[解]　由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2 cm，3 cm，故兩點(diǎn)之間的距離是 cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1 cm，4 cm，故兩點(diǎn)之間的距離是 cm.故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是 cm.求幾何體表面上兩點(diǎn)間的距離的方法：求從幾何體的表面上一點(diǎn)，沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，所走過的最短距離，常將幾何體沿某條棱剪開，使兩點(diǎn)展開在一個(gè)平面上，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題．3.如圖為某幾何體的平面展開圖．(1)沿圖中虛線折疊起來，是哪一種幾何體？試用文字描述并畫出該幾何體；(2)需要多少個(gè)(1)中的幾何體才能拼成一個(gè)棱長為6的正方體？[解]　(1)能折疊成一個(gè)有一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，如圖①所示．圖①　　　　　　圖②(2)需要3個(gè)圖①中的幾何體，如圖②所示，分別為四棱錐A1-CDD1C1，四棱錐A1-ABCD，四棱錐A1-BCC1B1.1．下列說法正確的是(　　)A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)B．棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D　[A錯(cuò)誤．只有用平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分才是棱臺(tái)．B錯(cuò)誤．反例：長方體的相對(duì)的側(cè)面也相互平行．C錯(cuò)誤．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的多邊形，不一定是正方形．D正確．因?yàn)槔馀_(tái)是由棱錐用平行于底面的平面截得的，所以棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)．]2．(多選題)下面圖形中，為棱錐的是(　　)A　 　　B　　　C　　　　DABD　[根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，AB是棱錐，C不是棱錐，D是棱錐．故選ABD.]3．下列說法中正確的是(　　)A．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行B．棱柱中任意兩個(gè)側(cè)面都不可能互相平行C．棱柱的側(cè)棱就是棱柱的高D．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形A　[棱柱的兩底面互相平行，故A正確；棱柱的側(cè)面也可能有平行的面(如正方體)，故B錯(cuò)；立在一起的一摞書可以看成一個(gè)四棱柱，當(dāng)把這摞書推傾斜時(shí)，它的側(cè)棱就不是棱柱的高，故C錯(cuò)；由棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面可以是平行四邊形，也可以是其他多邊形，故D錯(cuò)．]4．下列圖形中，不能折成三棱柱的是(　　)A　　　　B　　　C　　　　DC　[C中，兩個(gè)底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．]5．用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀可能是________(填序號(hào)).①三角形；②四邊形；③五邊形；④不可能為四邊形．①②　[如圖①所示，用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；如圖②所示，用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形．圖①　　　　圖②]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1.在棱柱、棱錐的定義中應(yīng)注意哪些問題？[提示]　棱柱、棱錐定義的關(guān)注點(diǎn)(1)棱柱的定義有以下兩個(gè)要點(diǎn)，缺一不可：①有兩個(gè)平面(底面)互相平行；②其余各面(側(cè)面)每相鄰兩個(gè)面的公共邊(側(cè)棱)都互相平行．(2)棱錐的定義有以下兩個(gè)要點(diǎn)，缺一不可：①有一個(gè)面(底面)是多邊形；②其余各面(側(cè)面)是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)三者圖形之間有怎樣的關(guān)系？[提示]　棱柱、棱臺(tái)、棱錐關(guān)系圖  

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1.2 簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺(tái)

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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