2.4　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2．4.1　平面向量基本定理新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求理解平面向量基本定理及其意義.1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基的含義．(數(shù)學(xué)抽象)2．在平面內(nèi)，當(dāng)一組基選定后，會(huì)用這組基來表示其他向量．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．(邏輯推理) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量a，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝________.2．基：把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基，記為{e1，e2}．3．正交基：若基中的兩個(gè)向量互相垂直，則稱這組基為正交基．4．正交分解：在正交基下向量的線性表示稱為正交分解．5．標(biāo)準(zhǔn)正交基：若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基．答案：1.λ1e1＋λ2e2 課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研習(xí)1  基底概念的理解[典例1]　如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(　　)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①② B．②③  C．③④ D．②④[自主記][分析]　應(yīng)用平面向量基本定理解題時(shí)，要抓住基向量e1與e2不共線和平面內(nèi)向量a用基底e1，e2表示的唯一性求解．[答案]　B[解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的．對(duì)于③，當(dāng)兩向量均為零向量時(shí)，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，這樣的λ有無數(shù)個(gè)．故選B.[巧歸納]　對(duì)基底的理解(1)基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底．(3)關(guān)于基底的一個(gè)結(jié)論：設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當(dāng)λ1e1＋λ2e2＝0時(shí)，恒有λ1＝λ2＝0.[練習(xí)1]　設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________．(寫出所有滿足條件的序號(hào))答案：③　解析：①設(shè)e1＋e2＝λe1，無解，∴e1＋e2與e1不共線，即e1與e1＋e2可作為一組基底；②設(shè)e1－2e2＝λ(e2－2e1)，則(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，則無解，∴e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2與e2－2e1可作為一組基底；③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2與4e2－2e1不可作為一組基底；④設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，∴無解，∴e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2與e1－e2可作為一組基底.研習(xí)2  平面向量基本定理及應(yīng)用[典例2]　已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°.設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，求的值．[自主記][分析]　根據(jù)已知條件，以，為基底表示，此時(shí)的m，n具有唯一性，進(jìn)而可求解．[解]　如圖所示．∵⊥，不妨設(shè)||＝2，過C作⊥于D，⊥于E，則四邊形ODCE是矩形，＝＋＝＋.∵||＝2，∠COD＝30°，∴||＝1，||＝.又∵||＝，||＝1，故＝ ，＝ ，∴＝ ＋，此時(shí)m＝，n＝，∴＝＝3.[巧歸納]　1.平面向量基本定理及應(yīng)用(1)用基底表示向量；(2)證明點(diǎn)共線問題；(3)解決平面幾何問題．2．用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基底．(2)將相關(guān)的向量用基底向量表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(3)利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算，得出向量問題的解．(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解．[練習(xí)2]　已知△OAB中，延長BA到C，使AB＝AC，D是將分成2∶1的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，；(2)若＝λ，求實(shí)數(shù)λ的值．解：(1)∵A為BC中點(diǎn)，∴＝(＋)，∴＝2a－b，＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.(2)∵＝λ，∴＝－＝λ－＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)m，使得＝m，即(λ－2)a＋b＝m，即(λ＋2m－2)a＋b＝0.∵a，b不共線，∴解得λ＝.達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)1．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，則a與b的夾角大小為(　　)A.   B.πC.   D.π答案：D　解析：如圖，∵c＝a＋b，c⊥a，∴a，b，c的模構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且θ＝，所以可推知a與b的夾角為.故選D.2．如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于F，設(shè)＝a，＝b，＝xa＋yb，則(x，y)為(　　)A.    B.C.    D.答案：C　解析：設(shè)＝λ，∵E，D分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴＝＋＝－a＋b，＝＋＝(b－a)＋λ＝a＋(1－λ)b，∵與共線，∴＝，∴λ＝，∴＝＋＝b＋＝b＋＝a＋b，故x＝，y＝.3．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．答案：λ≠4　解析：若a與b共線，則存在m使得a＝mb，即e1＋2e2＝2me1＋mλe2，∴m＝，λ＝4，故λ≠4.4．如圖，已知D，E為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，延長CD到M，使DM＝CD，延長BE至N，使BE＝EN，求證：M，A，N三點(diǎn)共線．證明：設(shè)＝a，＝b，則＝－＝a－b.∵MD＝DC，M，D，C三點(diǎn)共線，∴＝，＝＋＝a－b＋a＝a－b.∵＝＋＝＋＝－a＋b，∴＝＋＝b＋＝b＋b－a＝b－a.∴＝－，即∥.又∵AM∩AN＝A，∴M，N，A三點(diǎn)共線．[誤區(qū)警示]　對(duì)基底概念理解不清致誤[示例]　已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為(　　)A.λ＝0　　　　　　　 B．e2＝0C.e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0[錯(cuò)解]　A[錯(cuò)因分析]　在應(yīng)用平面向量基本定理時(shí)，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共線這個(gè)條件．若沒有指明，則應(yīng)對(duì)e1，e2共線的情況加以考慮.[思路分析]　當(dāng)e1∥e2時(shí)，a∥e1，又因?yàn)?/span>b＝2e1，所以b∥e1.又e1≠0，故a與b共線；當(dāng)λ＝0時(shí)，則a∥e1.又因?yàn)?/span>b＝2e1，所以b∥e1.又因?yàn)?/span>e1≠0，故a與b共線．[正解]　D[方法總結(jié)]　作為基底而言，必須要明確同一平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量才能作為一組基底，當(dāng)題目條件中沒有明確時(shí)，一定要分情況討論． 

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人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案：

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

4.1 平面向量基本定理

版本： 北師大版 (2019)

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