數(shù)學(xué)必修第二冊2 直觀圖學(xué)案設(shè)計-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

5.2　直觀圖新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.掌握斜二測畫法的步驟．2．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.1.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖(直觀想象)2．會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖．(直觀想象)3．會根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運算．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.斜二測畫法的步驟(1)畫軸：_________________________________________________________________.(2)畫線：_________________________________________________________________.(3)取長度：_______________________________________________________________.斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為：___________________________________.2.空間幾何體直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：_________________________________________________________________.(2)畫平面：_______________________________________________________________.(3)取長度：_______________________________________________________________.(4)成圖處理：_____________________________________________________________.答案：1.(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半橫不變，縱折半，平行位置不改變2.(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸(2)平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示豎直平面(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1 　平面圖形直觀圖的畫法[典例1]　(1)(2020·冀州高一檢測)利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論中正確的是(　　)A．①② 　　　　　　　　　B．① C．③④ D．①②③④(2)斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是M′，則點M′的坐標(biāo)為________．(3)用斜二測畫法畫出如圖所示的正五邊形的直觀圖．[自主記](1)[答案]　A(2)[答案]　(4,2)[解析]　在坐標(biāo)系x′O′y′中，過點(4,0)和y′軸平行的直線與過點(0,2)和x′軸平行的直線的交點即是點M′，即(4,2).(3)[解]　第一步：如圖①所示，在已知正五邊形ABCDE中，取中心O為原點，對稱軸FA為y軸，過點O與y軸垂直的是x軸，分別過B，E作BG∥y軸，EH∥y軸，與x軸分別交于點G，H.畫對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.第二步：如圖②所示，以點O′為中點，在x′軸上取G′H′＝GH，分別過G′，H′在x′軸的上方作G′B′∥y′軸使G′B′＝GB，作H′E′∥y′軸使H′E′＝HE，在y′軸的點O′上方取O′A′＝OA，在y′軸的點O′下方取O′F′＝OF，并且以點F′為中點，畫C′D′∥x′軸，且使C′D′＝CD.第三步：連接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，所得五邊形A′B′C′D′E′就是五邊形ABCDE的直觀圖，如圖③所示．　　 ①　　　　　　②　　　　　③[巧歸納]　直觀圖中應(yīng)遵循的基本原則(1)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸的線段．(2)平行于x軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼?/span>.研習(xí)2　空間圖形直觀圖的畫法[典例2]　畫出一個上、下底面邊長分別為1,2，高為2的正三棱臺的直觀圖．[自主記][解]　(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．以O為線段中點，在x軸上取線段AB，使AB＝2，在y軸上取線段OC，使OC＝.連接BC，CA，則△ABC為正三棱臺的下底面的直觀圖．(3)畫上底面．在z軸上取OO′，使OO′＝2，過點O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐標(biāo)系x′O′y′.在x′O′y′中，類似步驟(2)的畫法得上底面的直觀圖△A′B′C′.(4)連線成圖．連接AA′，BB′，CC′，去掉輔助線，將被遮住的部分畫成虛線，則三棱臺ABC－A′B′C′即為要求畫的正三棱臺的直觀圖，如圖②. ① ②[巧歸納]　畫空間幾何體的直觀圖的三個原則(1)坐標(biāo)系的建立要充分利用幾何體的對稱性，一般坐標(biāo)原點建在圖形的對稱中心處．(2)要先畫出底面的直觀圖，然后再畫出其余各面．(3)與z軸平行的線段在直觀圖中應(yīng)與z′軸平行且長度保持不變．研習(xí)3 直觀圖的還原與計算問題[典例3]　如圖是四邊形的直觀圖，該直觀圖為腰和上底長均為1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°，求原四邊形的面積.[解]　取B′C′所在直線為x′軸，因為∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直線為y′軸，過點D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，則B′E′＝A′D′＝1，又因為梯形為等腰梯形，所以△E′D′C′為等腰直角三角形，所以E′C′＝.再建立一個直角坐標(biāo)系xBy，如圖所示．　　在x軸上截取線段BC＝B′C′＝1＋，在y軸上截取線段BA＝2B′A′＝2，過A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.連接CD，則四邊形ABCD就是四邊形A′B′C′D′的實際圖形．四邊形ABCD為直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以四邊形ABCD的面積S＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.[延伸探究]1.(變換條件)若本例條件“直觀圖”改為“實際圖形”，其他條件不變，求直觀圖的面積．2.(變換條件)若將本例條件“該直觀圖為腰和上底長均為1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°”改為“該直觀圖中A′B′＝A′D′＝1，且A′B′⊥B′C′，∠C′＝45°”，求原四邊形的周長．[自主記]1.解：以B′C′為x軸，點B′為原點建立如圖①所示的坐標(biāo)系．　①　　　　　　　　　②因為上底及腰長均為1，且∠B′＝∠C′＝45°.作A′E′⊥B′C′，D′F′⊥B′C′，則B′E′＝F′C′＝＝A′E′＝D′F′.又E′F′＝1，所以B′C′＝＋1.作出其直觀圖，如圖②所示．則AE＝DF＝，∠AEF＝45°，過A作AG⊥BC于G.則AG＝，所以四邊形ABCD的面積S＝AG·(AD＋BC)＝××(1＋1＋)＝×(2＋)＝＋.2.解：因為A′B′⊥B′C′且A′B′＝A′D′＝1，連接B′D′，則∠D′B′C＝45°，如圖①所示，取B′D′為y′軸，B′C′為x′軸，作D′E′⊥B′C′，又∠C′＝45°，故B′E′＝E′C′＝D′E′＝1，B′D′＝. ① ②作出實際圖形ABCD，如圖②所示．則在原四邊形中，BD＝2，BC＝2，AD＝1，在Rt△BCD和Rt△ABD中，由勾股定理，得DC＝2，AB＝3，所以原四邊形的周長為1＋3＋2＋2＝6＋2.達(dá)標(biāo)篇·課堂速測演習(xí)1.若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成(　　)A．平行于z′軸且大小為10 cmB．平行于z′軸且大小為5 cmC．與z′軸成45°且大小為10 cmD.與z′軸成45°且大小為5 cm答案：A　解析：平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.2. 如圖是四邊形ABCD的水平放置的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積為(　　)A．14 B．10C．28 D．14答案：C　解析：∵A′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原圖形是一個直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分別是2,5,8，故其面積為S＝×(2＋5)×8＝28.3.利用斜二測畫法畫邊長為1 cm的正方形的直觀圖，可能是下面的(　　)　答案：C　解析：正方形的直觀圖是平行四邊形，且邊長不相等，故選C．4.已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么等邊三角形ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)A．a2 B．a2C．a2 D．a2答案：D　解析：S′＝S＝a2.5.如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為________．答案：36　解析：在直觀圖中，設(shè)B′C′與y軸的交點為D′，則易得O′D′＝3，所以原平面圖形為一邊長為6，高為6的平行四邊形，所以其面積為6×6＝36.6.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則原平面圖形的面積為________．答案：2＋　解析：過A作AE⊥BC，垂足為E.∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1.由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面圖形是梯形且上、下兩底邊長分別為1和1＋，高為2，∴原平面圖形的面積為××2＝2＋.7.如圖為一幾何體的展開圖，沿圖中虛線將它們折疊起來，請畫出其直觀圖．解：由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為2，其直觀圖如圖②所示．①　　　　　　　　　②[誤區(qū)警示]　直觀圖還原平面圖形時易發(fā)生的錯誤[示例]　已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積．[錯解]　如圖①(正解中)，解法一：S△ABC＝B′C′·A′O′＝a2.解法二：∵O′A′＝a，∠A′M′B′＝45°，∴A′M′＝a，∴ S△ABC＝a×a＝a2.[錯因分析]　錯解中的解法一，誤把A′O′作為△ABC的高，屬于不理解畫法，思維混亂．錯解中的解法二，雖然計算出了A′M′，但忽略△ABC的高AM＝2A′M′，屬不能正確變換或粗心馬虎所致.[正解]　平面直觀圖及實際圖形分別如圖①和②.取B′C′所在直線為x′軸，以過B′C′的中點O′且與x′軸正方向成45°角的直線為y′軸．過點A′作A′N′∥O′x′，交y′軸于點N′，過點A′作A′M′∥O′y′，交x′軸于M′點，連接O′A′.在Rt△A′O′M′中，∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，∴M′O′＝O′A′＝a，故A′M′＝a.∴O′N′＝a.在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上點O左、右兩側(cè)分別取點B，C，使OB＝OC＝，在x軸上點O左側(cè)取點M，使OM＝a，在y軸上點O上方取點N，使ON＝a，分別過M，N作y軸、x軸的平行線相交于點A，連接AB，AC，則△ABC即為原圖形．顯然S△ABC＝a·a＝a2.[防范措施]　1.理解平面圖形直觀圖的畫法，能正確地進(jìn)行平面圖形與直觀圖的相互轉(zhuǎn)換，特別是y′軸上或與y′軸平行的線段還原到平面圖形時才與x軸垂直，但長度需加倍．2.S直觀圖＝S平面圖形.

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