5.1.3　簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)球、柱、錐、臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．了解柱體、錐體、臺(tái)體之間的關(guān)系.1.結(jié)合身邊已有的實(shí)物模型，認(rèn)識(shí)球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的聯(lián)系，理解共性和個(gè)性．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體．(直觀想象)3．會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案(一)球的結(jié)構(gòu)特征1.定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的幾何體稱為球體，簡(jiǎn)稱球．如圖所示，半圓的圓心稱為________，連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱為球的________，連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段稱為球的________．2.表示方法：用表示它球心的字母來表示，圖中的球可表示為球O.3.球的性質(zhì)：(1)球面上所有的點(diǎn)到球心的距離都等于球的________；(2)用任何一個(gè)平面去截球面，得到的截面都是________，其中過球心的平面截球面得到的________最大，等于球的半徑．(二)圓柱的結(jié)構(gòu)特征1.定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓柱．在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為圓柱的________；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓柱的________，平行于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓柱的________，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都稱為圓柱側(cè)面的母線．2.表示方法：用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示，如圓柱O1O.(三)圓錐的結(jié)構(gòu)特征1.定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓錐．在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為圓錐的________；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的________，不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓錐的________，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都稱為圓錐的母線．2.表示方法：用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示，如圓錐SO.(四)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.定義：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體稱為圓臺(tái)．在旋轉(zhuǎn)軸上的這條邊的長度稱為圓臺(tái)的________；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓臺(tái)的________，不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓臺(tái)的________，無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都稱為圓臺(tái)的母線．2.表示方法：用表示它的旋轉(zhuǎn)軸的字母來表示，如圓臺(tái)O1O.(五)圓柱、圓錐、圓臺(tái)具有的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)體定義1.性質(zhì)：(1)平行于圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面的截面都是圓；(2)過圓柱、圓錐、圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸的截面分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．2.旋轉(zhuǎn)體的定義一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體．這條定直線叫作旋轉(zhuǎn)體的軸．球面是旋轉(zhuǎn)面，球、圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體．答案：(一)1.球心　半徑　直徑3.(1)半徑　(2)圓　圓的半徑(二)1.高　底面　側(cè)面(三)1.高　底面　側(cè)面(四)1.高　底面　側(cè)面課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研習(xí)1  旋轉(zhuǎn)體的概念[典例1]　(多項(xiàng)選擇題)下列命題中錯(cuò)誤的是(　　)A．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓D.用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)[答案]　ABCD[解析]　根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念不難做出判斷．A．以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)才可以得到圓錐；B．以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉(zhuǎn)才可以得到圓臺(tái)；C．它們的底面為圓面；D.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，才可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．故4個(gè)均不正確.[延伸探究]若本例中(2)改為以直角梯形的各邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？[自主記]解：①以垂直于底邊的腰為軸旋轉(zhuǎn)得到圓臺(tái)；②以較長的底為軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為一圓柱加上一個(gè)圓錐；③以較短的底為軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為一圓柱挖去一個(gè)同底圓錐；④以斜腰為軸旋轉(zhuǎn)得的幾何體為圓錐加上一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)小圓錐．[巧歸納]　平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是由平面圖形繞著某條軸旋轉(zhuǎn)而成的，平面圖形不同，得到的旋轉(zhuǎn)體也不同，即使是同一平面圖形，所選軸不同，得到的旋轉(zhuǎn)體也不一樣．判斷旋轉(zhuǎn)體，要抓住定義，分清哪條線是軸，什么圖形，怎樣旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后生成什么樣的幾何體．研習(xí)2  　圓柱的結(jié)構(gòu)特征[典例2]　用長為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，此圓柱軸截面面積為(　　)A．8       B．  C．   D.[自主記][答案]　B[解析]　由題意可知，若圍成的圓柱底面周長為4，高為2，設(shè)圓柱底面圓的半徑為r1，則2πr1＝4，∴r1＝，∴截面為長是2，寬為的矩形，∴截面面積為；若圍成的圓柱底面周長為2，高為4，設(shè)圓柱底面圓的半徑為r2，則2πr2＝2，∴r2＝，∴截面為長是4，寬為的矩形，∴截面面積為.故選B．[巧歸納]　圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，理解矩形中一條邊長對(duì)應(yīng)圓柱的高，另一條邊長對(duì)應(yīng)圓柱的底面周長，從而求解圓柱的底面半徑r.研習(xí)3　圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征[典例3]　如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺(tái)O′O的母線長．[自主記][解]　設(shè)圓臺(tái)的母線長為l cm，由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r.過軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.∴＝.∴＝＝.解得l＝9，即圓臺(tái)OO′的母線長為9 cm.[巧歸納]　圓錐中的數(shù)量關(guān)系主要體現(xiàn)于軸截面中，底面半徑r，母線長λ，高h；圓臺(tái)的軸截面中的數(shù)量關(guān)系有：上、下底面半徑r1，r2，高h，母線長l以及它們之間的數(shù)量聯(lián)系.研習(xí)4　球的結(jié)構(gòu)特征[典例4]　(1)有下列說法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線；③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的是一個(gè)圓．其中正確說法的序號(hào)是________．(2)一個(gè)半徑為5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距離為4 cm，則截面圓面積為________cm2.[自主記][答案]　(1)①③　(2)9π[解析]　(1)球的直徑應(yīng)是球內(nèi)任意經(jīng)過球心的弦，故②錯(cuò)誤．(2)球的半徑R，截面圓半徑r，球心到小圓面的距離d的關(guān)系：R2＝r2＋d2，易知r＝3 cm.則截面圓的面積為9π cm2.[巧歸納]　球的截面中有大圓(過球心的截面)和小圓(不過球心的截面)之分，球中的數(shù)量關(guān)系主要體現(xiàn)于：R2＝r2＋d2.另：球的內(nèi)接長方體的體對(duì)角線長為球的直徑．研習(xí)5  簡(jiǎn)單的組合體[典例5]　(1)如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的(　　)(2)如圖所示的平面圖形，若將其繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，則下面說法不正確的是(　　)A．該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體B．該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱C．該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)D.該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)觀察下圖中的幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的．　　①　　　　　②　　　　③(1)[答案]　A(2)[答案]　A[解析]　從左至右旋轉(zhuǎn)形成的幾何體分別為：圓錐、球、半球、圓柱、圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤．(3)[解]　圖①中是正方體和三棱柱；圖②中是四棱錐與正方體；圖③中是圓臺(tái)與圓錐．[延伸探究]1.若將本例(1)選項(xiàng)B中的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，想象并說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．2.若將本例(1)選項(xiàng)B中的圖形改為以下面的底邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．[自主記]1.解：①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺(tái)；③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱．所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示．通過觀察可知，該幾何體是由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱自上而下拼接而成的．　2.解：可把原圖看成由①，②兩部分構(gòu)成，即大梯形挖去一個(gè)小梯形，則旋轉(zhuǎn)一周后得到一個(gè)大圓臺(tái)挖去一個(gè)以大圓臺(tái)上底面為下底面的小圓臺(tái)組成的組合體．　[巧歸納]　判斷實(shí)物是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的技巧(1)準(zhǔn)確理解簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的結(jié)構(gòu)特征．(2)正確掌握簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式．(3)若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線(或面)．研習(xí)6　旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算問題[典例6]　一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2.求：(1)圓臺(tái)的高；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長．[自主記][解]　(1)如圖，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半徑O1A＝2 cm，下底面半徑OB＝5 cm，又腰長AB＝12 cm，所以圓臺(tái)的高為AM＝＝3(cm)．(2)設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20(cm)．故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20 cm.[巧歸納]　旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問題及截面性質(zhì)(1)圓柱、圓錐和圓臺(tái)中的計(jì)算問題，一要結(jié)合它們的形成過程，分辨清軸、母線及底面半徑與旋轉(zhuǎn)前平面圖形量的關(guān)系；二要切實(shí)體現(xiàn)軸截面的作用．解題時(shí)，可把軸截面從旋轉(zhuǎn)體中分離出來，以平面圖形的計(jì)算解決立體問題．(2)球中的計(jì)算應(yīng)注意一個(gè)重要的直角三角形，設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面的距離為d，則R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解．達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)1.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是　(　　)A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體B．該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D.該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形答案：D　解析：幾何體中，平面ABCD并不在表面上.2.已知ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD，且AB＞CD，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是由________和________構(gòu)成的組合體．答案：圓錐　圓柱　解析：兩端為兩個(gè)圓錐，中間是一個(gè)圓柱.3.已知圓錐的底面半徑為1 cm，高為 cm，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)內(nèi)接正方體的棱長為________．答案： cm　解析：設(shè)正方體的棱長為a，則＝，即a＝.[誤區(qū)警示]　對(duì)旋轉(zhuǎn)體概念理解不到位致錯(cuò)[示例]　下列結(jié)論中正確的是(　　)A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球B．直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體D.圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)[答案]　D[解析]　半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面①，球面圍成的幾何體叫做球，故A錯(cuò)誤；當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)②，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，是由兩個(gè)同底的圓錐組成的幾何體，故B錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)平行截面不平行于上下兩個(gè)底面③時(shí)，兩個(gè)平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故C錯(cuò)誤；而要將圓錐截得小圓錐，則截面必須與底面平行，因而剩余部分是圓臺(tái)，故D正確.[常見誤區(qū)]錯(cuò)解錯(cuò)因剖析A忽視①處球與球面的區(qū)別而致錯(cuò)B忽視②處的斜邊問題而致錯(cuò)C忽視③處兩個(gè)平行截面是否與上、下兩個(gè)底面平行的問題而致錯(cuò)[防范措施]　特殊情況的處理當(dāng)直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，要注意斜邊這一特殊情況；當(dāng)兩個(gè)平行截面截圓柱時(shí)，要注意截面與上、下底面不平行這種情況，否則會(huì)造成不必要的錯(cuò)誤. 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

1.3 簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體——球、圓柱、圓錐和圓臺(tái)

版本： 北師大版 (2019)

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