1．5.2　余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助單位圓能畫出余弦函數(shù)的圖象；2．了解余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值；3．借助圖象理解余弦函數(shù)在0,2π上的性質(zhì).1.能借助教材實(shí)例了解余弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值、零點(diǎn)．(數(shù)學(xué)抽象)2．能借助單位圓、科學(xué)計(jì)算器了解余弦函數(shù)的圖象，能利用五點(diǎn)法作簡單的與余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象．(直觀想象)3．能借助教材實(shí)例，會(huì)利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決簡單的問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．會(huì)用五點(diǎn)法作出與余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象，會(huì)利用余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決相關(guān)的問題．(直觀想象) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1．余弦函數(shù)的圖象把正弦函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個(gè)單位長度就得到余弦函數(shù)y＝cos x的圖象，該圖象稱為余弦曲線．也可以用五點(diǎn)法畫余弦函數(shù)的圖象．2．余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：R(2)周期性：最小正周期是2π.(3)單調(diào)性：單調(diào)增區(qū)間：(k∈Z)，單調(diào)減區(qū)間：(k∈Z)．(4)值域：[－1,1]．當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)余弦函數(shù)y＝cos x取得最大值1；當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時(shí)，余弦函數(shù)y＝cos x取得最小值－1.(5)奇偶性：余弦函數(shù)y＝cos x在R上是偶函數(shù)．(6)對稱性：對稱軸x＝kπ，k∈Z，對稱中心，k∈Z.課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1  　余弦函數(shù)的圖象　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例1]　用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝1－cos x(0≤x≤2π)的圖象．[自主記][解]　列表：x0π2πy＝cos x10－101y＝1－cos x01210描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來，如圖．[巧歸納]　1.用“五點(diǎn)法”作圖，首先要找到關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)，然后連線．2．學(xué)習(xí)中需加強(qiáng)對用五點(diǎn)法作正弦、余弦函數(shù)圖象區(qū)別和聯(lián)系的理解．[練習(xí)1]　作出函數(shù)y＝1－cos x在[－2π，2π]上的圖象．解：(1)列表：x0π2πy＝cos x10－101y＝1－cos x11(2)作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的圖象．由于該函數(shù)為偶函數(shù)，作關(guān)于y軸對稱的圖象，從而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的圖象．如圖所示：研習(xí)2  余弦函數(shù)的定義域、值域問題[典例2]　求f(x)＝的定義域、值域．解題探究f(x)＝cos x的定義域是什么？值域是什么？[自主記][解]　 由2cos x－1≥0知cos x≥，作出y＝cos x的圖象，知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴定義域?yàn)?/span>{x.又∵≤cos x≤1，∴1≤2cos x≤2.∴0≤2cos x－1≤1.∴y＝的最小值為0，最大值為1，即值域?yàn)?/span>[0,1]．解題探究：f(x)＝cos x的定義域?yàn)?/span>R，值域?yàn)?/span>[－1,1]．[巧歸納]　求與余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，以及余弦函數(shù)的有界性．[練習(xí)2]　求y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最值．解：y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.∵x∈，cos x∈，從而當(dāng)cos x＝－，即x＝時(shí)，ymax＝；當(dāng)cos x＝，即x＝時(shí)，ymin＝－.∴原函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 研習(xí)3  余弦函數(shù)的性質(zhì)[典例3]　已知f(x)＝2＋cos x.(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的最小正周期．解題探究1．f(x)＝2＋cos x與g(x)＝cos x的奇偶性相同嗎？2．f(x)＝2＋cos x與g(x)＝cos x的單調(diào)性相同嗎？[自主記][解]　(1)∵f(x)＝2＋cos x的定義域?yàn)?/span>R且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)＝2＋cos x為偶函數(shù)．(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是減少的，∴y＝2＋cos x的遞增區(qū)間為[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期為2π.解題探究：1.相同．　2.相同．[巧歸納]　對于余弦函數(shù)的性質(zhì)，要善于結(jié)合余弦函數(shù)圖象并類比正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行記憶，其解題規(guī)律方法與正弦函數(shù)的對應(yīng)性質(zhì)解題方法一致．[練習(xí)3]　已知函數(shù)y＝cos x＋|cos x|.(1)畫出函數(shù)圖象的簡圖；(2)這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出這個(gè)函數(shù)的增區(qū)間．解：(1)y＝cos x＋|cos x|＝函數(shù)圖象如圖所示．(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期是2π.(3)由圖象知函數(shù)的增區(qū)間為(k∈Z)．[易錯(cuò)誤區(qū)]　應(yīng)用換元法求三角函數(shù)最值的常見誤區(qū)[典例]　函數(shù)y＝cos2x－4cos x＋5的值域是________．[答案]　[2,10][解析]　令t＝cos x，由于x∈R，故－1≤t≤1①，y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.當(dāng)t＝－1，即cos x＝－1時(shí)函數(shù)有最大值10；當(dāng)t＝1，即cos x＝1時(shí)函數(shù)有最小值2.所以該函數(shù)的值域是[2,10].[誤區(qū)警示][防范措施]在利用換元法求解有關(guān)“二次函數(shù)型”函數(shù)值域問題時(shí)，要特別注意換元后“新元”的范圍，即為新函數(shù)的定義域，以便求解函數(shù)的值域，如本例，若忽略余弦函數(shù)的有界性，即不注意新元的范圍極易致錯(cuò)．[類題試解]　已知y＝2cos2x＋5sin x－4，求其最大值和最小值．解：∵cos2x＝1－sin2x，∴y＝2cos2x＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2＝－22＋.∵－1≤sin x≤1，∴當(dāng)sin x＝－1，即x＝－＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymin＝－9；當(dāng)sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1.∴ymin＝－9，ymax＝1.[規(guī)律指津]1.余弦函數(shù)的圖象特征(1)對稱性：由y＝cos x(x∈R)的圖象可以看出函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸方程為x＝kπ(k∈Z)，對稱中心為(k∈Z)．(2)周期性：y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)，且最小正周期為2π，相鄰零點(diǎn)之間相差半個(gè)周期，相鄰兩個(gè)最大值間相差一個(gè)周期．由于y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)，故要研究其性質(zhì)只需先選定一個(gè)周期研究，然后延拓到整個(gè)定義域上即可．(3)有界性：y＝cos x的圖象夾在兩平行直線y＝±1間，即|cos x|≤1.2.利用余弦函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小時(shí)，需將所比較的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到余弦函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)．達(dá)標(biāo)篇·課堂速測演習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)＝cos x，x∈[0,2π]，對于以下三個(gè)命題：①函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/span>[－1,1]；②當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值；③當(dāng)且僅當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<0.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)A．0   B．1  C．2   D．3答案：C　解析：作出函數(shù)f(x)＝cos x，x∈[0,2π]的圖象，可知其值域?yàn)?/span>[－1,1]，當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<0，所以①③均正確．當(dāng)x＝0或x＝2π時(shí)，f(x)取得最大值為1，所以②錯(cuò)．所以正確命題的個(gè)數(shù)為2.故應(yīng)選C．2.關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝cos(x＋α)有以下命題：①對任意α，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；②不存在α，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；③存在α，使f(x)是偶函數(shù)；④對任意α，f(x)都不是奇函數(shù)．其中一個(gè)錯(cuò)誤命題的序號(hào)是________，因?yàn)楫?dāng)α＝________時(shí)，該命題的結(jié)論不成立．答案：①　03.用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y＝3＋2cos x在[0,2π]上的圖象．解：列表：x0π2πy＝cos x10－101y＝3＋2cos x53135描點(diǎn)，連線得y＝3＋2cos x在一個(gè)周期內(nèi)的圖象(如圖所示)．4.求函數(shù)f(x)＝－cos2x＋acos x＋－，x∈的最大值．解：f(x)＝－cos2x＋acos x＋－＝－2＋－＋.∵x∈，∴cos x∈[0,1]，∴當(dāng)<0，即a＜0，cos x＝0時(shí)，f(x)max＝－；當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤2，cos x＝時(shí)，f(x)max＝－＋；當(dāng)>1，即a＞2，cos x＝1時(shí)，f(x)max＝－1＋a＋－＝－.∴f(x)max＝ 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.2 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)

版本： 北師大版 (2019)

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