1.5.2　余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識 [教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一　余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R的圖象．要點(diǎn)二　余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R的性質(zhì)． 函數(shù)性質(zhì)y＝cos x定義域________值域________奇偶性________函數(shù)單調(diào)性當(dāng)x∈____________________時(shí)，函數(shù)是遞增的；當(dāng)x∈____________________時(shí)，函數(shù)是遞減的周期性最小正周期是________最值當(dāng)______________時(shí)，y的最大值為1；當(dāng)______________時(shí)，y的最小值為－1對稱軸x＝________對稱中心______________ 
[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)余弦函數(shù)y＝cos x，(x∈R)的圖象與x軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)．(　　)(2)因?yàn)?/span>y＝cos x，x∈R是偶函數(shù)，所以y＝cos x＋5與y＝cos(x＋5)均是偶函數(shù)．(　　)(3)函數(shù)y1＝|sin x|與y2＝|cos x|，x∈R的周期均為2π.(　　)(4)余弦函數(shù)在第一象限內(nèi)是減少的．(　　)2．函數(shù)y＝cos x－2在x∈[－π，π]上的圖象是(　　)3．函數(shù)y＝cos的奇偶性是(　　)A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)4．函數(shù)y＝－cos x的圖象可由y＝sin x的圖象向________平移________個(gè)單位得到．  題型一　用五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象——師生共研例1　畫函數(shù)y＝2cos x＋3，x∈[0,2π]的簡圖．                     方法歸納 作形如y＝acos x＋b，x∈[0,2π]的圖象的步驟 跟蹤訓(xùn)練1　作出函數(shù)y＝－cos x＋1，x∈[0,2π]的簡圖．          題型二　根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求角——師生共研例2　求不等式cos x<－的角x的集合．            方法歸納用余弦函數(shù)的圖象求角的范圍時(shí)，首先可以作出y＝cos x在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，然后找出適合條件的角的范圍，最后依據(jù)周期性，寫出所有滿足條件的角的范圍．  跟蹤訓(xùn)練2　函數(shù)y＝的定義域?yàn)?/span>________________________________________________________________________．題型三　余弦函數(shù)的基本性質(zhì)——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1　奇偶性例3　判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝xcos x；(2)f(x)＝sincos.        方法歸納(1)判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須先檢查其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．如果是，再驗(yàn)證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，那么該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷與余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性時(shí)，要注意兩個(gè)方面，一是函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；二是注意三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的合理利用．  微點(diǎn)2　單調(diào)性——比較大小例4　[多選題]下列比較大小正確的是(　　)A．cos<cos　　　B．cos<cosC．cos<cos  D．cos>cos 方法歸納利用余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小，注意函數(shù)名稱要相同，并且比較的角都在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)． 微點(diǎn)3　值域與最值例5　求下列函數(shù)的值域：(1)y＝－2cos x－1；(2)y＝；(3)y＝cos2x－3cos x＋2.         　(1)利用余弦函數(shù)y＝cos x的有界性，即－1≤cos x≤1來解決；(2)利用反解法解決；(3)利用換元及配方法解決． 方法歸納與余弦函數(shù)有關(guān)的值域的求法(1)直接法：①利用y＝cos x的有界性；②已知x的范圍，求y＝cos x的值域．(2)反解法：也是利用有界性，但是要把函數(shù)反解成cos x＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的取值范圍．(3)換元法：令t＝cos x，整體換元，換元后的函數(shù)必定是我們所熟悉的函數(shù)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．  跟蹤訓(xùn)練3　(1)若f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)，則φ可以是(　　)A.  B.C．π  D．2π(2)cos 110°，sin 10°，－cos 50°的大小關(guān)系是________．(3)求使函數(shù)y＝ 取得最大值、最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值．                            1.5．2　余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一左　　(0,1)　　(π，－1)　　(2π，1)要點(diǎn)二R　[－1,1]　偶　[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　2π　x＝2kπ(k∈Z)　x＝2kπ＋π(k∈Z)　kπ(k∈Z)　(k∈Z)[基礎(chǔ)自測]1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：把y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象向下平移2個(gè)單位長度即可．答案：A3．解析：因?yàn)?/span>y＝cos＝sin x，所以該函數(shù)是奇函數(shù)．故選A.答案：A4．解析：y＝－cos x＝－sin＝sin，因此，只需將y＝sin x的圖象向右平移個(gè)單位，得到y＝－cos x的圖象．答案：右　題型探究·課堂解透題型一例1　解析：(1)列表： x0π2πy＝cos x10－101y＝2cos x＋353135(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出(0,5)，，(π，1)，，(2π，5)五個(gè)點(diǎn)．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)順次連接起來，如圖所示．跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)列表： x0π2πy＝cos x10－101y＝－cos x＋101210(2)描點(diǎn)：在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)順次連接起來(如圖所示)．題型二例2　解析：作出函數(shù)y＝cos x在[0,2π]上的圖象(如圖所示)．因?yàn)?/span>cos＝cos＝－，所以當(dāng)<x<時(shí)，cos x<－.因?yàn)?/span>y＝cos x的最小正周期為2π，所以適合cos x<－的角x的集合為.跟蹤訓(xùn)練2　解析：由cos x－1≥0，得cos x≥.由函數(shù)y＝cos x的圖象知2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(k∈Z)．答案：(k∈Z)題型三例3　解析：(1)定義域?yàn)?/span>R，且f(－x)＝－x·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，因此f(x)是奇函數(shù)．(2)定義域?yàn)?/span>R，且f(－x)＝sincos＝－sincos＝－f(x)，因此f(x)是奇函數(shù)．例4　解析：A中，cos＝cos，∵函數(shù)y＝cos x在上單調(diào)遞減，<，∴cos>cos，A錯(cuò)誤；B中，cos＝cos，cos＝cos，且0<<<π，又y＝cos x在[0，π]上單調(diào)遞減，∴cos>cos，即cos<cos，B正確；C中，cos＝cos＝cos，且0<<<，∵y＝cos x在上單調(diào)遞減，∴cos>cos，即cos>cos，C錯(cuò)誤；D中，cos＝cos＝cos，cos＝cos，且0<<<π，又函數(shù)y＝cos x在[0，π]上單調(diào)遞減，所以cos>cos，即cos>cos，D正確．故選B、D.答案：BD例5　解析：(1)∵－1≤cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤2，∴－3≤－2cos x－1≤1.∴函數(shù)y＝－2cos x－1的值域?yàn)?/span>[－3,1]．(2)由y＝可得(1－2y)cos x＝y，cos x＝，∵|cos x|≤1，∴cos2x≤1，∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，∴y≤或y≥1.∴函數(shù)y＝的值域?yàn)?/span>∪[1，＋∞)．(3)令t＝cos x，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．∴原函數(shù)可化為y＝t2－3t＋2＝2－，易知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為直線t＝.∴t∈[－1,1]為二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，∴t＝－1時(shí)，ymax＝6，t＝1時(shí)，ymin＝0，∴函數(shù)y＝cos2x－3cos x＋2的值域?yàn)?/span>[0,6]．跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)當(dāng)φ＝時(shí)，f(x)＝sin＝cos x是偶函數(shù)，故選B.(2)sin 10°＝cos 80°，－cos 50°＝cos(180°－50°)＝cos 130°.且0°<80°<110°<130°<180°又y＝cos x在[0°，180°]上單調(diào)遞減∴cos 80°>cos 110°>cos 130°即sin 10°>cos 110°>－cos 50°.(3)因?yàn)椋?/span>1≤cos x≤1，所以當(dāng)cos x＝－1時(shí)，y取得最大值，此時(shí)x＝2kπ＋π(k∈Z)；當(dāng)cos x＝1時(shí)，y取得最小值為，此時(shí)x＝2kπ(k∈Z)，即函數(shù)取得最大值、最小值的自變量x的集合分別是{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}和{x|x＝2kπ，k∈Z}，最大值和最小值分別是和.答案：(1)B　(2)sin 10°>cos 110°>－cos 50°　(3)見解析 

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5.2 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識

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