1.5　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識1.5.1　正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助單位圓能畫出正弦函數(shù)的圖象；2．了解正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值；3．借助圖象理解正弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì).1.能借助教材實(shí)例了解正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值、零點(diǎn)．(數(shù)學(xué)抽象)2．能借助單位圓、科學(xué)計(jì)算器了解正弦函數(shù)的圖象，能利用五點(diǎn)法作簡單的與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象．(直觀想象)3．能借助教材實(shí)例，會利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決簡單問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．會用五點(diǎn)法作出與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象，會利用正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決相關(guān)的問題．(直觀想象)課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.正弦函數(shù)的圖象(1)畫正弦函數(shù)圖象的步驟可以歸納如下：第一步：如圖所示，在直角坐標(biāo)系的x軸的負(fù)半軸上任取一點(diǎn)O1，以O1為圓心作單位圓；第二步：從圓O1與x軸的交點(diǎn)A起把圓弧分成12等份；第三步：過圓O1上各分點(diǎn)分別作x軸的垂線，得到對應(yīng)于角0，，，，…，2π等分點(diǎn)的正弦值；第四步：相應(yīng)地，再把x軸上從0到2π這一段分成12等份；第五步：再把角x所對應(yīng)的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上表示數(shù)x的點(diǎn)重合；第六步：最后用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連接起來，就得到了正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象．(2)五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象，五個(gè)點(diǎn)為(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．2.正弦函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：R.(2)周期性：最小正周期為2π.(3)單調(diào)性：單調(diào)增區(qū)間：(k∈Z)，單調(diào)減區(qū)間：(k∈Z)．(4)值域：[－1,1]．當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，正弦函數(shù)y＝sin x取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，正弦函數(shù)y＝sin x取得最小值－1.(5)奇偶性：正弦函數(shù)y＝sin x在R上是奇函數(shù)．(6)對稱性：對稱軸x＝kπ＋，k∈Z，對稱中心(kπ，0)，k∈Z.課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1　五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象　　　　　　　　　　　　[典例1]　用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y＝3－sin x(x∈[0,2π])的圖象．解題探究y＝3－sin x與y＝sin x借助于五點(diǎn)作圖法作圖所取的五點(diǎn)相同嗎？[自主記][解]　(1)列表，如下表所示：x0π2πy＝sin x010－10y＝3－sin x32343(2)描點(diǎn)，連線，如圖所示：解題探究：相同．[巧歸納]　“五點(diǎn)法”作圖的實(shí)質(zhì)是選取函數(shù)的一個(gè)周期，將其四等分，分別找出圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及平衡點(diǎn)等五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，由這五個(gè)點(diǎn)大致確定圖象的位置和形狀.[練習(xí)1]　1.函數(shù)y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致圖象是下圖中的(　　)答案：B　解析：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1－sin 0＝1，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)x＝時(shí)，y＝1－sin ＝0，排除A.2.作出y＝的圖象．解：∵y＝＝|sin x|，∴只需作出y＝sin x的圖象，并將x軸下方的部分作關(guān)于x軸的對稱即可．列表，如下表所示：x0π2πy＝sin x010－10y＝|sin x|01010描點(diǎn)連線，如圖所示：研習(xí)2  正弦函數(shù)的定義域[典例2]　求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝；(2)y＝.解題探究1.分式、根式有意義的條件是什么？2.滿足sin x＝－1，sin x＝－的x值是什么？3.三角不等式怎么解？[自主記][分析]　在(1)中使函數(shù)有意義的x滿足1＋sin x≠0；(2)中要求2sin x＋1≥0.[解]　(1)要使函數(shù)有意義，需滿足1＋sin x≠0，即sin x≠－1，∴x≠2kπ＋(k∈Z)．∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(k∈Z)．(2)由題意知2sin x＋1≥0，∴sin x≥－.①在一個(gè)周期上滿足①的x∈.∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(k∈Z)．解題探究：1.分式有意義要求分母不為0；偶次方根有意義要求被開方數(shù)大于等于0.2.當(dāng)x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，sin x＝－1；當(dāng)x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，sin x＝－.3.三角不等式可借助圖象求解．[巧歸納]　解形如f(α)≤m或f(α)≥m(|m|＜1)的三角不等式的方法(1)在直角坐標(biāo)系及單位圓中，標(biāo)出滿足f(α) ＝m的兩個(gè)角的終邊，此時(shí)f為sin，則角的終邊是直線y＝m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線．(2)根據(jù)三角函數(shù)值的大小，找出α在0～2π內(nèi)的取值，再加上k·2π(k∈Z).[練習(xí)2]　求函數(shù)y＝＋的定義域．解：解法一：根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得即作正弦曲線如圖，可得原函數(shù)定義域?yàn)?/span>[－π，0]∪[π，4]．解法二：由得即在數(shù)軸上觀察可得：原函數(shù)定義域?yàn)?/span>[－π，0]∪[π，4]．研習(xí)3   正弦函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用[典例3]　比較下列各組數(shù)的大?。?/span>(1)sin和cos；(2)sin 194°與cos 110°.[自主記][分析]　利用y＝sin x與y＝cos x的單調(diào)性比較，化角為同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)角．[解]　(1)∵cos＝sin，又＜＜＋＜，y＝sin x在上是減函數(shù)，∴sin＞sin＝cos，即sin＞cos.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin 20°，y＝sin x在上是增加的，且0°<14°<20°<90°，∴sin 14°<sin 20°，∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.[巧歸納]　三角函數(shù)值如何比較大小應(yīng)用誘導(dǎo)公式把角轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性比較大小，也可利用三角函數(shù)線比較大小，應(yīng)注意長度與方向性.[練習(xí)3]　比較下列各組數(shù)的大?。?/span>(1)sin 194°，cos 160°；(2)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4.解：(1)∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，又0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.從而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.(2)∵sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<1<π－2<，函數(shù)y＝sin x在上是增加的，∴sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin 2>sin 1>sin 3>0.∵π<4<，∴sin 4<0，故sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.研習(xí)4   正弦函數(shù)的值域(最值)[典例4]　求下列函數(shù)的最值，并求取得最值時(shí)x的取值集合．(1)y＝3－2sin x；(2)y＝sin2x－4sin x＋5.解題探究1.y＝sin x(x∈R)的值域是什么？2.二次函數(shù)怎樣求值域？[自主記][分析]　y＝sin x的最大值為1，最小值為－1.[解]　(1)∵－1≤sin x≤1，∴－2≤－2sin x≤2.∴y∈[1,5]．∴當(dāng)x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)函數(shù)有最小值1；當(dāng)x＝2kπ－(k∈Z)時(shí)，函數(shù)有最大值5.即當(dāng)函數(shù)取最小值1時(shí)，x的取值集合為；當(dāng)函數(shù)取最大值5時(shí)，x的取值集合為.(2)∵y＝(sin x－2)2＋1，∴當(dāng)sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，ymax＝10；當(dāng)sin x＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，ymin＝2.即當(dāng)y取得最大值10時(shí)，x的取值集合是；當(dāng)y取得最小值2時(shí)，x的取值集合是.解題探究：1.y＝sin x的值域?yàn)?/span>[－1,1]．2.二次函數(shù)配方在給定區(qū)間上求值域，尤其注意定義域．[巧歸納]　關(guān)于正弦函數(shù)的二次函數(shù)求值域問題先把sin x看成一個(gè)整體t，則原函數(shù)可看成關(guān)于t的二次函數(shù)在指定區(qū)間上求值域問題，尤其需要注意定義域.[練習(xí)4]　求下列函數(shù)的值域：(1)y＝；(2)y＝－sin2x－sin x＋1，x∈.解：(1)∵y＝，∴sin x＝.∵|sin x|≤1，∴≤1，解得－2≤y≤0.∴函數(shù)的值域?yàn)?/span>{y|－2≤y≤0}．(2)y＝－sin2x－sin x＋1＝－2＋.∵－≤x≤，∴當(dāng)x＝時(shí)，y最小＝；當(dāng)x＝－時(shí)，y最大＝.∴函數(shù)的值域?yàn)?/span>. [易錯(cuò)誤區(qū)]　判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽略函數(shù)的定義域致誤[典例]　函數(shù)y＝的奇偶性為(　　)A．奇函數(shù)　　　　　　　　 B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．偶函數(shù)   D．非奇非偶函數(shù)[錯(cuò)解]　f(x)＝y＝＝|sin x|，∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|sin x|＝f(x)．∴函數(shù)為偶函數(shù)．[正解]　由題意知，當(dāng)1－sin x≠0，即sin x≠1時(shí)，y＝＝|sin x|，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>x，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．[答案]　D[防范措施]準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性此類問題一般是按函數(shù)奇偶性定義加以判斷，判斷奇偶性要本著定義域優(yōu)先的原則，同時(shí)若要化簡，應(yīng)注意化簡前后的等價(jià)性，如本例，若化為y＝|sin x|，則易出現(xiàn)判斷該函數(shù)為偶函數(shù)的錯(cuò)誤．[類題試題]　函數(shù)y＝在定義域內(nèi)是(　　)A．奇函數(shù)  B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)  D．非奇非偶函數(shù)答案：D　解析：要使y＝有意義，只需滿足即故sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z，此時(shí)y＝0，此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．[規(guī)律指津]1．求正弦函數(shù)在給定區(qū)間[a，b]上的值域時(shí)，要注意結(jié)合圖象判斷在[a，b]上的單調(diào)性及有界性．2．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小時(shí)，需利用誘導(dǎo)公式將角轉(zhuǎn)化到正弦函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)．3．觀察正弦曲線不難發(fā)現(xiàn)：(1)正弦曲線是中心對稱圖形，對稱中心的坐標(biāo)為(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲線和x軸的交點(diǎn)，原點(diǎn)是其中的一個(gè)．(2)正弦曲線是軸對稱圖形，對稱軸方程是x＝kπ＋(k∈Z)；正弦曲線的對稱軸一定過正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．  達(dá)標(biāo)篇·課堂速測演習(xí)1．y＝2與y＝sin 2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．0個(gè)   B．1個(gè)C．2個(gè)   D．無數(shù)個(gè)答案：A　解析：作出兩函數(shù)的圖象，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?/span>_____________________________．答案：(2kπ，π＋2kπ)(k∈Z)　解析：要使函數(shù)有意義，需sin x>0，∴2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)．3．畫出函數(shù)y＝1－sin x(x∈R)的簡圖，并求出函數(shù)的最大值、最小值以及使函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)自變量x的取值集合．解：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0π2πy＝sin x010－10y＝1－sin x10121描點(diǎn)作圖：當(dāng)sin x＝－1時(shí)，y＝1－sin x最大，此時(shí)x＝－＋2kπ(k∈Z)；當(dāng)sin x＝1時(shí)，y＝1－sin x最小，此時(shí)x＝＋2kπ(k∈Z)．所以y最大＝2，此時(shí)x∈；y最小＝0，此時(shí)x∈.4．求下列函數(shù)的值域：(1)y＝3－4sin x，x∈R；(2)y＝－sin2x＋2sin x－1，x∈R；(3)y＝，x∈R.解：(1)∵－1≤sin x≤1，∴－4≤－4sin x≤4，∴－1≤3－4sin x≤7，即－1≤y≤7.∴函數(shù)y＝3－4sin x，x∈R的值域是[－1,7]．(2)y＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.∵－1≤sin x≤1，∴－4≤－(sin x－1)2≤0，即－4≤y≤0.∴函數(shù)y＝－sin2x＋2sin x－1，x∈R的值域是[－4,0]．(3)y＝＝＝－1.∵1≤2－sin x≤3，∴≤≤1，∴≤－1≤3.∴函數(shù)y＝，x∈R的值域是.  

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.1 正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識

版本： 北師大版 (2019)

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