1.7　正切函數(shù)新課程標準學業(yè)水平要求1.能畫出正切函數(shù)的圖象．2．掌握正切函數(shù)誘導公式及正切曲線的性質.1.理解正切函數(shù)的定義．(數(shù)學抽象)2．能利用正弦、余弦函數(shù)的誘導公式推導出正切函數(shù)的誘導公式．(邏輯推理)3．會畫正切函數(shù)的圖象，掌握正切曲線的性質．(直觀想象、數(shù)學抽象)4．了解正切函數(shù)的周期性，理解正切函數(shù)在上的性質(如單調性、最大和最小值、圖象與x軸的交點等)(數(shù)學抽象)5．能夠靈活應用誘導公式及正切曲線的圖象與性質解決相關問題．(邏輯推理) 課前篇·自主學習預案1.正切函數(shù)的定義比值是x的函數(shù)，稱為x的正切函數(shù)，記作y＝tan x，其中定義域為{x∈R.2.正切函數(shù)的誘導公式3.正切曲線：正切函數(shù)的圖象稱作正切曲線．4.正切函數(shù)的圖象與性質解析式y＝tan x圖象定義域{x∈R值域R周期________奇偶性________對稱中心________，k∈Z單調性在開區(qū)間，k∈Z上單調遞增注意：正切函數(shù)在每一個開區(qū)間，k∈Z上單調遞增．但是正切函數(shù)y＝tan x在定義域上不是增函數(shù)．答案：2.tan α?。?/span>tan α　－4.π　奇函數(shù)　課堂篇·研習討論導案研習1  　利用定義求正切值　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例1]　 如圖，設A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上的兩點，O是坐標原點，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的終邊與OP所在的射線關于x軸對稱，求tan θ.(2)若已知Q，試求tan α.解題探究點P(a，b)是角α的終邊與單位圓的交點，你能用a，b表示tan α嗎？[自主記][解]　(1)∵角θ的終邊與OP所在的射線關于x軸對稱，且P，∴θ的終邊與單位圓交于P′，則tan θ＝＝－.(2)已知Q，∴tan α＝ ＝＝.解題探究：tan α＝.[巧歸納]　設Q(x，y)是α終邊上任一點，P(a，b)是α的終邊與單位圓的交點，可得＝，從而tan α＝，即已知α終邊上任意一點的坐標即可求出α的正切值.[練習1]　已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊落在直線y＝－3x上，求tan α的值．解：在角α終邊上任取一點P(a，－3a)(a≠0)，則|OP|＝＝|a|，當a>0時，角α終邊與單位圓交于點P′，tan α＝＝－3；當α<0時，角α終邊與單位圓交于點P″，tan α＝＝－3.綜上知，tan α＝－3. 研習2  正切函數(shù)的定義域[典例2]　求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝；(2)y＝lg(tan x－1)＋.解題探究正切函數(shù)的定義域是什么？[自主記][分析]　根據(jù)求函數(shù)定義域的一般方法求解.[解]　(1)由題意，得tan2x－3＞0，即tan x＞或tan x＜－，∴＋kπ＜x＜＋kπ或－＋kπ＜x＜kπ－(k∈Z)，∴函數(shù)的定義域是∪(k∈Z)．(2)由題意，得解得∴所求函數(shù)的定義域是(k∈Z)．解題探究：y＝tan x(x∈R)的定義域為.[巧歸納]　求正切函數(shù)定義域的方法求與正切函數(shù)有關的函數(shù)定義域時，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tan x有意義，即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．解形如tan x＞a的不等式的步驟：[練習2]　求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝；(2)y＝.解：(1)要使函數(shù)y＝有意義，必須且只需∴∴函數(shù)的定義域為.(2)要使函數(shù)有意義，需即∴函數(shù)的定義域為. 研習3  正切函數(shù)的圖象與性質[典例3]　作出函數(shù)y＝tan|x|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其奇偶性、周期性及單調區(qū)間．解題探究1.如何由y＝tan x的圖象變換得到y＝tan |x|的圖象？2.如何根據(jù)圖象判斷奇偶性？3.如何根據(jù)圖象求單調區(qū)間？[自主記][分析]　由函數(shù)的奇偶性作圖．當x≥0時，有y＝tan|x|＝tan x．因此，可由y＝tan x的圖象得到.[解]　y＝tan|x|＝根據(jù)y＝tan x的圖象，可作出y＝tan|x|的圖象如下圖．由圖象可知，函數(shù)y＝tan|x|是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，它的減區(qū)間為，(k＝0，－1，－2，…)，增區(qū)間是，(k＝0,1,2，…)．解題探究：1.由y＝tan x的圖象到y＝tan|x|的圖象，只需保留y＝tan x在y軸右側的部分(包括y軸上的)然后去掉y軸左側部分，并右翻左即可．2.圖象關于原點對稱為奇函數(shù)，關于y軸對稱為偶函數(shù)．3.圖象呈上升趨勢為增函數(shù)，呈下降趨勢為減函數(shù)．[巧歸納]　常見的函數(shù)圖象的畫法[練習3]　畫出函數(shù)y＝|tan x|的圖象，并根據(jù)圖象寫出其單調區(qū)間．解：化簡函數(shù)y＝|tan x|的表達式，得y＝其圖象如圖：遞增區(qū)間為(k∈Z)，遞減區(qū)間為(k∈Z)． 研習4  求值問題[典例4]　求下列各角的三角函數(shù)值：(1)tan(－405°)；(2)tan.解題探究1.tan(－α)與tan α的關系是怎樣的？2.有關tan α的誘導公式有哪些？[自主記][分析]　由誘導公式，把各三角函數(shù)式化為銳角三角函數(shù)，再求值.[解]　(1)tan(－405°)＝tan＝－tan＝－tan＝－1.(2)tan＝tan＝tan＝.解題探究：1.tan(－α)＝－tan α.2.tan(－α)＝－tan α，tan(π＋α)＝tan α，tan(π－α)＝－tan α，tan(2π－α)＝－tan α.[巧歸納]　同正弦、余弦的誘導公式一樣，正切的誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù).[練習4]　求下列三角函數(shù)值：(1)tan；(2)tan＋2tan.解：(1)tan＝－tan＝－tan＝tan＝.(2)tan＋2tan＝－tan＋2tan＝－tan＋2tan＝tan＋2tan＝＋＝.[易錯誤區(qū)]　將正切曲線的對稱中心誤認為是(kπ，0)(k∈Z)致誤[典例]　y＝tan(2x＋θ)圖象的一個對稱中心為，若－＜θ＜，求θ的值．[錯解]　函數(shù)y＝tan x的對稱中心是(kπ，0)，令2x＋θ＝kπ，k∈Z，其中x＝，解得θ＝kπ－，k∈Z，結合θ范圍，得θ＝.[正解]　函數(shù)y＝tan x的對稱中心是，其中k∈Z，故令2x＋θ＝，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.又－＜θ＜，所以當k＝1時，θ＝－；當k＝2時，θ＝.即θ＝－或.[糾錯心得]　錯解主要是誤認為正切函數(shù)圖象的對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)，事實上，由正切函數(shù)的圖象可知也是其對稱中心，因此正切函數(shù)的對稱中心是(k∈Z)．[類題試解]　函數(shù)y＝3tan的一個對稱中心是(　　)A．　　　　　　　 B．C．   D．(0,0)答案：C　解析：由于函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心是圖象同x軸的交點或無意義點，所以B是錯誤的；把A，C，D代入函數(shù)解析式，只有C符合題意．[規(guī)律指津]1．本節(jié)的主要內容：(1)正切函數(shù)的圖象；(2)正切函數(shù)的主要性質(定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性)．2．正切函數(shù)y＝tan x的圖象是由互相平行的直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的，在相鄰兩條平行線之間的圖象是連續(xù)變化的．3．將正切函數(shù)的性質和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質相比較，正切函數(shù)所具有的主要特征有：(1)y＝tan x的定義域為，因而在處理含有正切函數(shù)的有關問題時，不可遺漏這一點；(2)正切函數(shù)的值域為(－∞，＋∞)，這與正弦、余弦函數(shù)的值域為[－1,1]形成鮮明的對比；(3)正切函數(shù)在區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在整個定義域內不是增函數(shù)． 達標篇·課堂速測演習1．若函數(shù)f(x)＝，則f(x)(　　)A．在，上遞增，在，上遞減B．在，上遞增，在，上遞減C．在，上遞增，在，上遞減D．在，上遞增，在，上遞減答案：A　解析：f(x)＝＝由y＝tan x的圖象與性質可得，A正確．故應選A．2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的減函數(shù)的是(　　)A．y＝sin x   B．y＝cos xC．y＝tan x   D．y＝答案：D　解析：排除法即可．故應選D．3．已知P(x,5)是角θ終邊上一點，且tan θ＝，則x＝________.答案：　解析：∵tan θ＝＝，∴x＝.4．求函數(shù)y＝tan的定義域及單調區(qū)間．解：由x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠2kπ＋，k∈Z.所以函數(shù)y＝tan的定義域為.由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.所以函數(shù)y＝tan的單調區(qū)間為，k∈Z.  

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