1.4.3　誘導(dǎo)公式與對(duì)稱1.4.4　誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用．2．理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.1.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題．(直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．通過(guò)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.誘導(dǎo)公式(－α，π±α)的推導(dǎo)在直角坐標(biāo)系中α與－α角的終邊關(guān)于________對(duì)稱；α與π＋α的終邊關(guān)于________對(duì)稱；α與π－α的終邊關(guān)于________對(duì)稱．2.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)①－α的終邊與α的終邊關(guān)于直線________對(duì)稱．②公式用－α代替α并用前面公式答案：1.x軸　原點(diǎn)　y軸2.①y＝x課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1　運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值問(wèn)題　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例1]　求下列各三角函數(shù)的值：(1)sin(－1 665°)；(2)cos.解題探究1.sin(－α)與sin α有什么關(guān)系？2.cos(－α)與cos α有什么關(guān)系？[自主記][分析]　用誘導(dǎo)公式化角：大化小，負(fù)化正，最終化為銳角的三角函數(shù)并求值．[解]　(1)解法一：sin(－1 665°)＝－sin 1 665°＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝.解法二：sin(－1 665°)＝sin(135°－5×360°)＝sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝.(2)解法一：cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.解法二：cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.解題探究：1.sin(－α)＝－sin α.2.cos(－α)＝cos α.[巧歸納]　應(yīng)用誘導(dǎo)公式把任意角化為[0,2π)內(nèi)的角的步驟(1)利用誘導(dǎo)公式(1.9)，先把負(fù)角化為正角．(2)利用誘導(dǎo)公式(1.8)，把大于或等于2π的角轉(zhuǎn)化為[0,2π)內(nèi)的角.[練習(xí)1]　求下列各三角函數(shù)的值：(1)cos(－1 560°)；(2)sin；(3)cos；(4)sin 840°.解：(1)原式＝cos 1 560°＝cos(360°×4＋120°)＝cos 120°＝cos(90°＋30°)＝－sin 30°＝－.(2)原式＝－sin＝－sin＝sin＝1.(3)原式＝cos ＝cos＝cos＝－.(4)解法一：sin 840°＝sin(720°＋120°)＝sin 120°＝sin(30°＋90°)＝cos 30°＝.解法二：sin 840°＝sin(720°＋120°)＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.研習(xí)2運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決正弦、余弦函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明[典例2]　已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求證：＝－.[自主記][分析]　用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件后，再找關(guān)系．[證明]　∵sin(α－π)＝2cos(2π－α)，∴－sin α＝2cos α，∴sin α＝－2cos α.左邊＝＝＝＝－＝右邊．∴原式得證．[巧歸納]　三角恒等式的證明問(wèn)題三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)是弄清楚等式兩邊的差異，有目的地化簡(jiǎn)．(1)證明三角恒等式的基本原則：由繁到簡(jiǎn)．(2)常用方法：從左向右證；從右向左證；左、右兩邊同時(shí)證．(3)常用技巧：整體代換、“1”的代換等.[練習(xí)2]　化簡(jiǎn)：cos＋cos(n∈Z)．解：原式＝cos＋cos.(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)，原式＝cos＋cos＝－cos－cos＝－2cos；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即n＝2k(k∈Z)時(shí)，原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝2cos.故原式＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[易錯(cuò)誤區(qū)]　對(duì)誘導(dǎo)公式記憶不準(zhǔn)確致誤[典例]　化簡(jiǎn)：＝________.[答案]　－[解析]　原式＝＝＝－.[誤區(qū)警示][防范措施]1.公式的記憶在三角函數(shù)這一部分公式比較多，尤其在誘導(dǎo)公式這一部分，所以對(duì)公式要記憶準(zhǔn)確，如本例中sin(4π－α)＝sin(－α)，cos(－α)＝cos α.2.口訣的記憶“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”是對(duì)誘導(dǎo)公式(1.8)、(1.9)的總結(jié)，因公式多，記憶有可能有偏差，需要記住公式及其含義，如本例中cos(－α)的化簡(jiǎn)，若α為銳角，－α在第四象限，第四象限余弦為正，故cos(－α)＝cos α.[類題試解]　若cos(α－π)＝－，求的值．解：原式＝＝＝＝－.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.∴α為第一象限角或第四象限角．當(dāng)α為第一象限角時(shí)，cos α＝，sin α＝＝.∴＝，∴原式＝－.當(dāng)α為第四象限角時(shí)，cos α＝，sin α＝－＝－，∴＝－，∴原式＝.綜上，原式＝±.[規(guī)律指津]1.掌握誘導(dǎo)公式要注意兩點(diǎn)(1)公式中的角α可以是任意角．(2)在使用誘導(dǎo)公式時(shí)，一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπ±α(k∈Z)的形式時(shí)，需要對(duì)k的取值進(jìn)行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負(fù)．2.利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，“符號(hào)看象限”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中，把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，而不是α函數(shù)值的符號(hào)，例如sin(2π－α)＝－sin α，當(dāng)α∈時(shí)，易錯(cuò)誤地認(rèn)為sin(2π－α)＝sin α.3.在利用2kπ＋α(k∈Z)，(2k＋1)π＋α(k∈Z)與α的三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)，其中的k為整數(shù)，但在解決nπ＋α(n∈Z)時(shí)，往往出現(xiàn)將n與2k或2k＋1等同的錯(cuò)誤，其實(shí)此處要利用誘導(dǎo)公式，就要對(duì)n進(jìn)行奇偶分類，以進(jìn)一步確定三角函數(shù)值的符號(hào)．達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)1.若對(duì)任何k∈Z，都有sin(α＋kπ)＝cos(α＋π＋kπ)，其中0<α<π，則角α的值是(　　)A.   B.C.   D．－答案：C　解析：∵sin(α＋kπ)＝cos(α＋π＋kπ)＝cos[π＋(α＋kπ)]＝－cos(α＋kπ)，當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，有sin(2nπ＋α)＝－cos(2nπ＋α)，即有sin α＝－cos α，驗(yàn)證選項(xiàng)知α＝符合．當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，有sin[(2n＋1)π＋α]＝－cos[(2n＋1)π＋α]，即sin(π＋α)＝－cos(π＋α)，即－sin α＝cos α，驗(yàn)證選項(xiàng)知α＝符合．故應(yīng)選C.2.函數(shù)y＝－2cos x，x∈的值域?yàn)?/span>________．答案：[－2,1]　解析：由單位圓可知y＝cos x在x＝0處取最大值1，在x＝處取最小值－，即－≤cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤1.3.已知角α的終邊上一點(diǎn)P(3a,4a)(a<0)，則cos(540°－α)的值是________．答案：　解析：∵x＝3a，y＝4a，且a<0，∴r＝＝5|a|＝－5a，∴cos α＝＝－.∴cos(540°－α)＝cos[360°＋(180°－α)]＝cos(180°－α)＝－cos α＝.4.已知＝a，求證：＝.證明：∵＝a，∴sin＝a·cos.左邊＝＝＝＝＝右邊．∴等式成立． 

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4.3 誘導(dǎo)公式與對(duì)稱

版本： 北師大版 (2019)

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