專題二　閱讀理解問題閱讀與理解閱讀理解問題是通過閱讀材料，理解其實質，揭示其方法規(guī)律從而解決新問題．既考查學生的閱讀能力、自學能力，又考查學生的解題能力和數學應用能力．這類題目能夠幫助學生實現從模仿到創(chuàng)造的思維過程，符合學生的認知規(guī)律．該類問題一般是提供一定的材料或介紹一個概念或給出一種解法等，讓考生在理解材料的基礎上，獲得探索解決問題的途徑，用于解決后面的問題．基本思路是“閱讀→分析→理解→解決問題”．類型一 新概念學習型 新概念學習型是指在題目中先構建一個新數學概念(或定義)，然后再根據新概念提出要解決的相關問題．主要目的是考查學生的自學能力和對新知識的理解與運用能力．解決這類問題：要求學生準確理解題目中所構建的新概念，將學習的新概念和已有的知識相結合，并進行運用． 例1 (2017·棗莊) 我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數．求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（2）如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”；（3）在（2）所得“吉祥數”中，求F（t）的最大值． 【分析】（1）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可；（2）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，根據“吉祥數”的定義確定出x與y的關系式，進而求出所求即可；（3）利用“吉祥數”的定義分別求出各自的值，進而確定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）證明：對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴對任意一個完全平方數m，總有F（m）==1；（2）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，∵t是“吉祥數”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數，∴滿足“吉祥數”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥數”中，F（t）的最大值為．變式訓練1．(2016·常德)平面直角坐標系中有兩點M(a，b)，N(c，d)，規(guī)定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，則稱點Q(a＋c，b＋d)為M，N的“和點”．若以坐標原點O與任意兩點及它們的“和點”為頂點能構成四邊形，則稱這個四邊形為“和點四邊形”．現有點A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四點為頂點的四邊形是“和點四邊形”，則點C的坐標是 ______________ 2．(2016·荊州) 閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經過B、C兩點，頂點D在正方形內部．（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？解：（1）∵點D（m，n），∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵拋物線解析式為，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+3（3）如圖，當點A′在平行于y軸的D點的特征線時，根據題意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．乳頭，當點A′在平行于x軸的D點的特征線時，∵頂點落在OP上，∴A′與D重合，∴A′（2，3），設P（4，c）（c＞0），由折疊有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直線OP解析式為y=，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=，即：拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上． 類型二 新公式應用型 新公式應用型是指通過對所給材料的閱讀，從中獲取新的數學公式、定理、運算法則或解題思路等，進而運用這些知識和已有知識解決題目中提出的數學問題．解決這類問題，一是要所運用的思想方法、數學公式、性質、運算法則或解題思路與閱讀材料保持一致；二是要創(chuàng)造條件，準確、規(guī)范、靈活地解答． 例2（2017?日照）閱讀材料：在平面直角坐標系xOy中，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式為：d=．例如：求點P0（0，0）到直線4x+3y﹣3=0的距離．解：由直線4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴點P0（0，0）到直線4x+3y﹣3=0的距離為d==．根據以上材料，解決下列問題：問題1：點P1（3，4）到直線y=﹣x+的距離為　4　；問題2：已知：⊙C是以點C（2，1）為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線y=﹣x+b相切，求實數b的值；問題3：如圖，設點P為問題2中⊙C上的任意一點，點A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點，且AB=2，請求出S△ABP的最大值和最小值． 【分析】（1）根據點到直線的距離公式就是即可；（2）根據點到直線的距離公式，列出方程即可解決問題．（3）求出圓心C到直線3x+4y+5=0的距離，求出⊙C上點P到直線3x+4y+5=0的距離的最大值以及最小值即可解決問題．【自主解答】解：（1）點P1（3，4）到直線3x+4y﹣5=0的距離d==4，故答案為4．（2）∵⊙C與直線y=﹣x+b相切，⊙C的半徑為1，∴C（2，1）到直線3x+4y﹣4b=0的距離d=1，∴=1，解得b=或．（3）點C（2，1）到直線3x+4y+5=0的距離d==3，∴⊙C上點P到直線3x+4y+5=0的距離的最大值為4，最小值為2，∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．變式訓練3．一般地，如果在一次實驗中，結果落在區(qū)域D中每一個點都是等可能的，用A表示“實驗結果落在D中的某個小區(qū)域M中”這個事件，那么事件A發(fā)生的概率P(A)＝    .如圖，現在等邊△ABC內射入一個點，則該點落在△ABC內切圓中的概率是____  ． 4．(2016·隨州)如圖1，PT與⊙O1相切于點T，PB與⊙O1相交于A，B兩點，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2＝PA·PB．請應用以上結論解決下列問題：如圖2，PAB，PCD分別與⊙O2相交于A，B，C，D四點，已知PA＝2，PB＝7，PC＝3，則CD＝______.類型三 新方法應用型    新方法應用型是指通過對所給材料的閱讀，從中獲取新的思想、方法或解題途徑，進而運用這些知識和已有的知識解決題目中提出的問題． 例3 (2017·畢節(jié))）觀察下列運算過程：計算：1+2+22+…+210．解：設S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②?②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1運用上面的計算方法計算：1+3+32+…+32017=　   　．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的兩邊同時乘以3，接下來，依據材料中的方程進行計算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式兩邊同時乘以3得：3s=3+32+33+…+32018兩式相減得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案為：．變式訓練5、仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．
設另一個因式為（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），則x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=-4
m=3n          解得：n=-7，m=-21
∴另一個因式為（x-7），m的值為-21．
問題：
（1）若二次三項式x2-5x+6可分解為（x-2）（x+a），則a=______；
（2）若二次三項式2x2+bx-5可分解為（2x-1）（x+5），則b=______；
（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+5x-k有一個因式是（2x-3），求另一個因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，
∴a-2=-5，
解得：a=-3；
（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，
∴b=9；
（3）設另一個因式為（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，
則2n-3=5，k=3n，
解得：n=4，k=12，
故另一個因式為（x+4），k的值為12．
故答案為：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個因式是x+4，k=12（6分）．6、（2015遂寧）閱讀下列材料，并用相關的思想方法解決問題．計算：．令，則原式===問題：（1）計算（2）解方程．

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