專題三　圓的證明與計(jì)算閱讀與理解    圓的相關(guān)知識(shí)的考查是中考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，圓作為一個(gè)載體，常與三角形、四邊形結(jié)合，考查切線的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、求陰影面積等．解題時(shí)要先分析題干中的條件，然后從圖象中挖掘隱含條件，最后再解題． 類型一 切線的判定     判定一條直線是圓的切線，首先看圓的半徑是否過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，有半徑則證垂直；沒(méi)有半徑，則連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造半徑證垂直． 例1 (2016·黃石)如圖，⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上(異于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線． 【分析】（1）首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可；（2）連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．【自主解答】（1）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）證明：∵AC是∠DAB的角平分線，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切線． 變式訓(xùn)練1．(2017·白銀) 如圖，AN是⊙M的直徑，NB∥x軸，AB交⊙M于點(diǎn)C．（1）若點(diǎn)A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若D為線段NB的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙M的切線．解：（1）∵A的坐標(biāo)為（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）連接MC，NC                                                  ∵AN是⊙M的直徑，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D為NB的中點(diǎn)，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直線CD是⊙M的切線．類型二 切線的性質(zhì)     已知某條直線是圓的切線，當(dāng)圓心與切點(diǎn)有線段連接時(shí)，直接利用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；當(dāng)圓心與切點(diǎn)沒(méi)有線段相連時(shí)，則作輔助線連接圓心與切點(diǎn)，再利用切線的性質(zhì)解題． 例2 (2016·資陽(yáng)) 如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，切點(diǎn)為D，連接BD.(1)求證：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分別交AD，BD于點(diǎn)M，N，當(dāng)DM＝1時(shí)，求MN的長(zhǎng)． 【分析】 (1)連接OD，由切線的性質(zhì)可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直徑，可得∠ADB＝90°，進(jìn)而可得∠A＋∠ABD＝90°，進(jìn)而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根據(jù)勾股定理求得MN的長(zhǎng)． 【自主解答】 (1)如圖，連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝ 變式訓(xùn)練2．(2017·長(zhǎng)沙)如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，OA，OB分別交⊙O于點(diǎn)D，E，=（1）求證：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求陰影部分的面積．     解：（1）連接OC，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面積為：=，△OCB的面積為：×2×2=2∴S陰影=2﹣π類型三 圓與相似的綜合    圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合，一般結(jié)合切線的判定與性質(zhì)綜合考查，求線段長(zhǎng)或半徑．一般的解題思路是利用切線的性質(zhì)構(gòu)造角相等，進(jìn)而構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出所求線段或半徑． 例3 (2017·蘭州) 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結(jié)論；（2）連接BF，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切線；（2）連接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．變式訓(xùn)練3．(2016·丹東)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的長(zhǎng)．      (1)證明：如圖，連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴         ∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6. 

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