專題五　函數(shù)壓軸題閱讀與理解函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數(shù)圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．解答動點函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案． 類型一 動點函數(shù)圖象問題     此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關(guān)動點函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動，在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式判斷圖象的變化． 例1 (2016·濟南) 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分別是AB、AD、CB上的點，AM＝CE＝1，AN＝3，點P從點M出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB－BE向點E運動，同時點Q從點N，以相同的速度沿折線ND－DC－CE向點E運動，設(shè)△APQ的面積為S，運動的時間為t秒，則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（     ） 【分析】 由點Q從點N出發(fā)，沿折線ND­DC­CE向點E運動，確定出點Q分別在ND，DC，CE運動時對應(yīng)的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定對應(yīng)的函數(shù)圖象． 【自主解答】過點D作DF⊥AB于點F（如圖1），則DF＝BC＝4．∵AD＝5，DF＝4，∴AF＝3．∴sin∠A＝＝，MF＝3－1＝2，BF＝AB－AF＝5－3＝2，DC＝BF＝2．∵AD＝5，AN＝3，∴ND＝5－3＝2．     （1）當0≤t≤2時，點P在MF上，點Q在ND上（如圖2），此時AP＝AM＋MP＝1＋t，AQ＝AN＋NQ＝3＋t．∴S＝AP?AQ?sin∠A＝(1＋t)(3＋t)×＝(t＋2)2―．當0≤t≤2時，S隨t的增大而增大，且當t＝2時，S＝6．由此可知A、B選項都不對．（2）當t＝5時，點P在MF上，點Q在ND上（如圖3），此時BP＝1，PE＝BC－BP－CE＝4－1－1＝2．∴S＝AB?PE＝×5×2＝5．∵6＞5，∴選項D正確．變式訓練1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，D為AB上的動點，DP⊥AB交折線A－C－B于點P.設(shè)AD＝x，△ADP的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象正確的是(    ) 2．(2016·煙臺)如圖，⊙O的半徑為1，AD，BC是⊙O的兩條相互垂直的直徑，點P從點O出發(fā)(P點與O點不重合)，沿OCD的路線運動．設(shè)AP＝x，sin∠APB＝y，那么y與x之間的關(guān)系圖象大致是(　　) 類型二 二次函數(shù)的實際問題 解答此類問題時，首先要構(gòu)建合理的坐標系，并寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解后續(xù)的問題．一般來說，選擇的坐標系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此類問題時，選擇最恰當?shù)淖鴺讼低@得尤為重要． 例2 (2017·金華) 甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在O點正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數(shù)表達式y=a（x﹣4）2+h，已知點O與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度為1.55m．（1）當a=﹣時，①求h的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng)．（2）若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到點O的水平距離為7m，離地面的高度為m的Q處時，乙扣球成功，求a的值．【分析】（1）①將點P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5時，y的值，與1.55比較即可得出判斷；（2）將（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【自主解答】解：（1）①當a=﹣時，y=﹣（x﹣4）2+h，將點P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能過網(wǎng)；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a=﹣．變式訓練3．(2017·沈陽)某商場購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內(nèi)可銷售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，當銷售單價是_____元時，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤． 4、（2017?青島）青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每間價格比淡季上漲．下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄： 淡季旺季未入住房間數(shù)100日總收入（元）2400040000（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價格為多少元？（2）今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實行去年旺季價格，那么每天都客滿；如果價格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數(shù)增加1間．不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價格上漲多少元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，進而求得該酒店豪華間的間數(shù)和旺季每間的價格；（2）根據(jù)題意可以求得總收入和上漲價格之間的函數(shù)解析式，然后化為頂點式即可解答本題．【自主解答】解：（1）設(shè)淡季每間的價格為x元，酒店豪華間有y間，，解得，，∴x+x=600+=800，答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價格為800元；（2）設(shè)該酒店豪華間的價格上漲x元，日總收入為y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴當x=225時，y取得最大值，此時y=42025，答：該酒店將豪華間的價格上漲225元時，豪華間的日總收入最高，最高日總收入是42025元． 類型三 二次函數(shù)的綜合題    二次函數(shù)作為整套試卷的壓軸題，往往會命制三個小問題，其中第一問求解二次函數(shù)的解析式，此問題往往利用待定系數(shù)法便可解決；第二、三問往往涉及動點問題及存在點問題，此問題需要利用全等三角形、相似三角形、平行四邊形、圓等知識綜合解答，計算量很大，且題目較為綜合． 例3 (2017·泰安) ）如圖，是將拋物線y=﹣x2平移后得到的拋物線，其對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點為A（﹣1，0），另一個交點為B，與y軸的交點為C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點N為拋物線上一點，且BC⊥NC，求點N的坐標；（3）點P是拋物線上一點，點Q是一次函數(shù)y=x+的圖象上一點，若四邊形OAPQ為平行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P，Q的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）已知拋物線的對稱軸，因而可以設(shè)出頂點式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）首先求得B和C的坐標，易證△OBC是等腰直角三角形，過點N作NH⊥y軸，垂足是H，設(shè)點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3），根據(jù)CH=NH即可列方程求解；（3）四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【自主解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，則拋物線的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，則y=3，即C的坐標是（0，3），OC=3．∵B的坐標是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，則△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，過點N作NH⊥y軸，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，設(shè)點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐標是（1，4）；（3）∵四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，則﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值為3或．∴P、Q的坐標是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．　變式訓練5．(2016·襄陽) 如圖，已知點A的坐標為（﹣2，0），直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點．（1）請直接寫出B、C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標；（3）設(shè)點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t（秒），當t（秒）為何值時，存在△QMN為等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=﹣x+3∴y=3，∴C（0，3），令y=0代入y=﹣x+3∴x=4，∴B（4，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），∴a=﹣，∴拋物線的解析式為：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，∴頂點D的坐標為（1，）； （2）當DP∥BC時，此時四邊形DEFP是平行四邊形，設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n，∵直線BC的解析式為：y=﹣x+3，∴m=﹣，∴y=﹣x+n，把D（1，）代入y=﹣x+n，∴n=，∴直線DP的解析式為y=﹣x+，∴聯(lián)立，解得：x=3或x=1（舍去），∴把x=3代入y=﹣x+，y=，∴P的坐標為（3，）；（3）由題意可知：0≤t≤6，設(shè)直線AC的解析式為：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，∴解得，∴直線AC的解析式為：y=x+3，由題意知：QB=t，如圖1，當∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y=﹣x+3，∴y=t，∴M（4﹣t， t），∵MN∥x軸，∴N的縱坐標為t，把y=t代入y=x+3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2， t），∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴，∴MQ=t，當MN=MQ時，∴6﹣t=t，∴t=，此時QB=，符合題意， 如圖2，當∠QNM=90°時，∵QB=t，∴點Q的坐標為（4﹣t，0）∴令x=4﹣t代入y=x+3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x軸，∴點M的縱坐標為9﹣t，∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴=，∴NQ=9﹣t，當NQ=MN時，∴9﹣t=3t﹣12，∴t=，∴此時QB=，符合題意 如圖3，當∠NQM=90°，過點Q作QE⊥MN于點E，過點M作MF⊥x軸于點F，設(shè)QE=a，令y=a代入y=﹣x+3，∴x=4﹣，∴M（4﹣a，a），令y=a代入y=x+3，∴x=﹣2，∴N（﹣2，0），∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，當MN=2QE時，∴6﹣2a=2a，∴a=，∴MF=QE=，∵MF∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴=，∴BF=2，∴QB=QF+BF=+2=，∴t=，此情況符合題意，綜上所述，當△QMN為等腰直角三角形時，此時t=或或　6．(2017·濰坊) 如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），拋物線與x軸的另一交點為E．經(jīng)過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，與拋物線交于另一點F．點P在直線l上方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標為t（1）求拋物線的解析式；（2）當t何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴線段AC的中點為（，），∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，∴直線l過平行四邊形的對稱中心，∵A、D關(guān)于對稱軸對稱，∴拋物線對稱軸為x=1，∴E（3，0），設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，把E點和對稱中心坐標代入可得，解得，∴直線l的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如圖1，作PH⊥x軸，交l于點M，作FN⊥PH，∵P點橫坐標為t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴當t=時，△PEF的面積最大，其最大值為×，∴最大值的立方根為=；（3）由圖可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①當∠PAE=90°時，如圖2，作PG⊥y軸，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②當∠APE=90°時，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），綜上可知存在滿足條件的點P，t的值為1或．　   

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