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總復(fù)習(xí)
第二講 選擇填空精講

性質(zhì)及簡單運用



學(xué)生姓名

年 級

學(xué) 科[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
數(shù) 學(xué)
教學(xué)目標(biāo)
1、能從歷年的中考題型中總結(jié)、歸納出?？嫉目荚囶}型，并且從中掌握中考選擇填空的考點考向，知己知彼，百戰(zhàn)不殆；
2、對歷年選擇填空中出現(xiàn)的難點、重點進(jìn)行突破，學(xué)會自己不會的點才能獲得進(jìn)步。

一、 考情分析：中考中的選擇填空多為基礎(chǔ)知識點，涉及面廣，但歷年中考選擇填空?？键c相對固定；代數(shù)與概率部分相對簡單，幾何部分綜合性相對較高，函數(shù)方程部分內(nèi)容不多，但一般都是難點。

二、選擇填空考點梳理：知己知彼，百戰(zhàn)百勝。
1、 實數(shù)相關(guān)概念（絕對值、倒數(shù)、相反數(shù)等）+ 科學(xué)計數(shù)法（2題，簡單）
2、 角的度量 +多邊形內(nèi)角和、外角和的計算（1題，簡單）
3、 根式、分式有意義的條件與自變量取值范圍（1題，簡單，易錯）
4、 對頂角相等 + 平行線性質(zhì)運用（1題，簡單）+ 三視圖讀圖與選圖（1題，簡單）
5、 軸對稱圖形、中心對稱圖形的辨別與判斷、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1題，簡單，易錯）
6、 統(tǒng)計圖的解讀、統(tǒng)計量的分析與概率計算、概念辨析（1題，簡單或中等，易錯）
7、 整式乘法公式（平方差公式與完全平方公式）、因式分解（1題，中等）
8、 整式計算、指數(shù)冪運算 + 二次根式運算（1題，簡單，易錯）
9、 找規(guī)律（1題）：數(shù)字規(guī)律（簡單）、圖形（周期）規(guī)律（難）
10、 幾何圖形（陰影）面積計算：等面積法轉(zhuǎn)化或者套公式（1題，中等或難）
11、 相似三角形的性質(zhì)運用 + 特殊三角形性質(zhì)與計算（1題，中等或難）
12、 平行四邊形、菱形性質(zhì)判斷（1題，簡單）+ 矩形、正方形小命題判斷（1題，難）
13、 圓周角、圓心角定理角度求解 + 垂徑定理的計算（1題，簡單） 圓錐表面積、體積計算（1題，中等）
14、 方程組的求解、不等式與不等式組的解集、一元二次方程判別式的應(yīng)用（1題，中等）
15、 分式方程中的行程（追及相遇）問題與工程問題（1題，中等或難）
16、 函數(shù)圖像的選擇：學(xué)過的函數(shù)圖像混合判斷 + 問題引出的函數(shù)圖選擇（1題，中等）
17、 反比例函數(shù)的幾何意義求解與運用（1題，難）
[來源:學(xué)科網(wǎng)]
模塊一
代數(shù)計算

有理數(shù)運算+科學(xué)計數(shù)法
題組一


該部分內(nèi)容為送分題，只要能記住基礎(chǔ)知識與概念，都可以做出來?？茖W(xué)計數(shù)法上一定要細(xì)心。

1、有理數(shù)的有關(guān)計算
（1）相反數(shù)：符號不同的兩個數(shù)，互為相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0。其中：互為相反數(shù)。
（2）絕對值
①定義：數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的距離。
正數(shù)的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。
②絕對值可表示為： 或
（3）倒數(shù)：用1除以一個數(shù)的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù)；乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中0沒有倒數(shù)；
①若，那么的倒數(shù)是； ②實數(shù)互為倒數(shù)，則；

2、科學(xué)計數(shù)法：把一個數(shù)或有限小數(shù)記成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．
（1）原數(shù)的絕對值大于10時，利用科學(xué)記數(shù)法，寫成的形式，注意,等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，也是小數(shù)點向左移動的位數(shù)，如：．
（2）原數(shù)的絕對值小于10時，利用科學(xué)記數(shù)法，寫成的形式，注意，等于原數(shù)左邊第一個非0的數(shù)字前的所有0的個數(shù)，是小數(shù)點向右移動的位數(shù)，如：．

例1 　 　 ； 的倒數(shù)是　 　 ； 的相反數(shù)是　 　．
【規(guī)范答題】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，得； 的倒數(shù)是；的相反數(shù)是

例2 中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國家．某倉庫運進(jìn)面粉7噸，記為噸，那么運出面粉8噸應(yīng)記為　　　　噸．
【規(guī)范答題】因為題目運進(jìn)記為正，那么運出記為負(fù)．所以運出面粉8噸應(yīng)記為噸．故答案為：．
例3 千百年來的絕對貧困即將消除，云南省的貧困人口脫貧，的貧困村出列，的貧困縣摘帽，1500000人通過異地扶貧搬遷實現(xiàn)“挪窮窩”，“斬窮根”（摘自2020年5月11日云南日報）．1500000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為　　
A． B． C． D．
【規(guī)范答題】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)．所以，故選：．

1 的絕對值是　 ?。?br /> 【解答】，的絕對值是1．

2 若零上記作，則零下記作　 ?。?br /> 【解答】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反的意義，可知如果零上記作，那么零下記作．故填：．

3 在實數(shù)，0，1中，最大的數(shù)是　 ?。?br /> 【解答】在實數(shù)，0，1中，最大的數(shù)是1，故答案為：1．

4 2020年“五一”期間，某景點接待海內(nèi)外游客共688000人次，688000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為　　
A． B． C． D．
【解答】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)．將688000用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：．

5 某地舉辦主題為“不忘初心，牢記使命”的報告會，參加會議的人員有3451人，將3451用科學(xué)記數(shù)法表示為　 　．
【解答】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，是負(fù)數(shù)．，故答案為：．
指數(shù)冪運算+二次根式簡單運算
題組二


題組二主要考察二次根式的加減乘除運算、二次根式性質(zhì)運算、指數(shù)冪運算、整式乘法公式等簡單內(nèi)容，但是這部分內(nèi)容由于知識間的相似，容易混淆出錯，是典型的易錯題，考試時避免出錯，4個選項答案都要判斷對錯，綜合運用排除法選擇正確答案。

1、指數(shù)冪運算
①：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。逆用公式：?
②：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。逆用公式：
③：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。逆用公式：
④：積的乘方，等于積的因式乘方積。逆用公式：，
⑤任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。即
⑥負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： 注意：為負(fù)指數(shù)的易錯：、
2、二次根式的性質(zhì)與計算:
（1）雙重非負(fù)性：；
（2）二次根式的性質(zhì)：； ；
（3）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；
（4）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.
3、最簡二次根式：滿足以下條件的根式叫最簡二次根式
（1）被開方數(shù)不含分母（分母中也不能含有根號）； （2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。


例4 下列計算正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【規(guī)范答題】、，所以選項錯誤，、，所以選項錯誤，
、，所以選項正確；
、，所以選項錯誤，故選：．
例5 下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【規(guī)范答題】、，錯誤；、，錯誤；
、，正確；、，錯誤；故選：

6 下列運算正確的是（　?。?br /> A． B. C． D．
【解答】、，故錯誤；、，故錯誤；
、，故錯誤；、，故正確，故選：．

7 下列運算正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】、由于，故本選項錯誤；
、由于，故本選項錯誤；
、由于與不是同類項，不能進(jìn)行合并同類項計算，故本選項錯誤；
、由于，符合積的乘方與冪的乘方的運算法則，故本選項正確．

8 下列計算正確的是（　　）
A． B. C. D. [來源
【解答】、原式，故錯誤；、原式，故錯誤；、原式，故錯誤；故選：．

9 下列計算正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】、原式，不符合題意；、原式，不符合題意；
、原式，符合題意；、原式，不符合題意，故選：．

10 下列運算中，正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】、，此選項錯誤，不合題意；、，此選項錯誤，不合題意；
、，正確；、，故此選項錯誤，不合題意；

整式乘法公式與因式分解
題組三


題組三主要考察完全平方公式、平方差公式，以及提公因式法，這部分內(nèi)容記住公式是關(guān)鍵，細(xì)節(jié)部分主要是符號。因式分解要到最后的結(jié)果才有分，所以考試時需要特別注意數(shù)字也需要提公因式。

1、整式乘法公式 ?
平方差公式： ?
完全平方公式：
以下是常見的變形： ?

2、因式分解的方法：
（1）提公因式法：多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式。把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，即。
①用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.如：
②當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.如：
③用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃被颉埃保灰言擁椔┑?，或認(rèn)為是而出現(xiàn)錯誤。
如：
（2）公式法：利用平方差公式：和完全平方公式：對多項式進(jìn)行因式分解的方法。如：
對多項式可以先用整體法，即先令，則上式變?yōu)?簡單明了，繼續(xù)用公
式法分解因式。
（3）十字相乘法 ：利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法。
對于二次三項式，若存在 ，則
判斷方法：拆二次項與常數(shù)項，交叉相乘和為一次項可用該方法。判斷時十字交叉，書寫時橫向相加再相乘。
舉例：


例6 已知，則（　?。?br /> A．38 B．36 C．34 D．32
【規(guī)范答題】把兩邊平方得：，則，故選：．

例7 分解因式：　 　．
【規(guī)范答題】原式提取，再利用平方差公式分解即可．原式，
故答案為：

11 因式分解：　　　　　　．
【解答】原式．故答案為：．
12 分解因式： ?。?br /> 【解答】．故答案為：．
13 分解因式：x2﹣2x+1＝　 　．
【解答】．

14 多項式可分解為，則,的值分別為 .
【解答】，所以，.

15 分解因式：＝ .
【解答】.
16 將下列各式分解因式：
（1） （2）
【解答】（1）；（2）.

17 若，則　 ?。?br /> 【解答】把兩邊平方得：，則，故答案為：7

18 已知，化簡的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】原式按多項式乘法運算后為，再將代入，可得－2m．

19 若非零實數(shù)滿足，則= ．
【解答】將原式改寫為，所以，可求出b=2a．


模塊二
統(tǒng)計與概率

統(tǒng)計圖解讀與統(tǒng)計量分析與概率
題組一


1、統(tǒng)計調(diào)查方法：全面調(diào)查（即普查）和抽樣調(diào)查．
全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點：
①全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準(zhǔn)確，但一般花費多、耗時長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查；
②抽樣調(diào)查有花費少、省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對總體估計的準(zhǔn)確程度．
③選取調(diào)查方法主要依據(jù)是調(diào)查對象的重要性，和樣本容量沒有聯(lián)系。例如人口普查，經(jīng)濟(jì)普查等。

2、統(tǒng)計學(xué)中的幾個基本概念：
①總體：我們把所要考察的對象的全體叫做總體；
②個體：把組成總體的每一個考察對象叫做個體；
③樣本：從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本；
④樣本容量：一個樣本包括的個體數(shù)量叫做樣本容量．（只是個數(shù)字， 沒有單位）
⑤樣本平均數(shù)：樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。
⑥總體平均數(shù)：總體中所有個體的平均數(shù)叫，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。

3、統(tǒng)計數(shù)據(jù)處理
（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
（3）平均數(shù)：對于個數(shù)，我們把叫做這個數(shù)的平均數(shù)；
（4）方差：在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。用“”表示。即方差主要體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，方差越小，越穩(wěn)定。

4、概率的概念與辨析
（1） 必然事件:那些無需通過實驗就能夠預(yù)先確定它們在每一次實驗中都一定會發(fā)生的事件稱為必然事件．
不可能事件：那些在每一次實驗中都一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件．
隨機(jī)事件:無法預(yù)先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機(jī)事件．

（2）概率與頻率的區(qū)別：
①求一個事件概率的基本方法是通過大量的重復(fù)實驗，但是實驗結(jié)果（頻率）不代表概率；
　　 ②當(dāng)頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)叫做事件A的概率；
　　 ③概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值。二者沒有必然聯(lián)系，概率是可能性，頻率是實驗結(jié)果；
　　 ④概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小；

例8 下列判斷正確的是（　）
A．甲乙兩組學(xué)生身高的平均數(shù)均為，方差分別為，，則甲組學(xué)生的身高較整齊
B．為了解七年級名學(xué)生期中數(shù)學(xué)成績，從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，這個問題中樣本容量為
C．在“童心向黨，陽光下成長”合唱比賽中，個參賽隊成績?nèi)缦卤?，則這個參賽隊成績中位數(shù)是

比賽成績/分





參賽隊個數(shù)





D．有名同學(xué)出生于年，那么在這個問題中“至少有兩名同學(xué)出生在同一個月”屬于必然事件
【規(guī)范答題】、甲乙兩組學(xué)生身高的平均數(shù)均為1.58，方差分別為，，
則乙組學(xué)生的身高較整齊，故此選項錯誤；
、為了了解某縣七年級4000名學(xué)生的期中數(shù)學(xué)成績，從中抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行調(diào)
查，這個問題中樣本容量為100，故此選項錯誤；
、在“童心向黨，陽光下成長”合唱比賽中，30個參賽隊的決賽成績?nèi)缦卤恚?br /> 比賽成績分
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
參賽隊個數(shù)
9
8
6
4
3
則這30個參賽隊決賽成績的中位數(shù)是9.6，故此選項錯誤；
、有13名同學(xué)出生于2003年，那么在這個問題中“至少有兩名同學(xué)出生在同一個月”屬于
必然事件，正確．故選：．

例9 年月日，以“玉汝于成，溪達(dá)四?！睘橹黝}的2017一帶一路數(shù)學(xué)科技文化節(jié)?玉溪暨第屆全國三維數(shù)字化創(chuàng)新設(shè)計大賽（簡稱“全國大賽”）總決賽在玉溪圓滿閉幕．某學(xué)校為了解學(xué)生對這次大賽的了解程度，在全校名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次問卷調(diào)查，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行了統(tǒng)計，繪制了下面兩幅統(tǒng)計圖．下列四個選項錯誤的是（?。?br />
A．抽取的學(xué)生人數(shù)為人 B．“非常了解”的人數(shù)占抽取的學(xué)生人數(shù)的
C．° D．全?！安涣私狻钡娜藬?shù)估計有人
【規(guī)范答題】抽取的總?cè)藬?shù)為（人，故正確，
“非常了解”的人數(shù)占抽取的學(xué)生人數(shù)的，故正確，，故正確，
全?！安涣私狻钡娜藬?shù)估計有（人，故錯誤，故選：．

20 某校隨機(jī)抽查10名參加2016年云南省初中學(xué)業(yè)水平考試學(xué)生體育成績，得到結(jié)果如表：
成績（分）
46
47
48
49
50
人數(shù)（人）
1
2
1
2
4
下列說法正確的是（?。?br /> A．這名同學(xué)的體育成績的眾數(shù)為50 B．這名同學(xué)的體育成績的中位數(shù)為48
C．這名同學(xué)的體育成績的方差為50 D．這名同學(xué)的體育成績的平均數(shù)為48
【解答】10名學(xué)生的體育成績中50分出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為50；
第5和第6名同學(xué)的成績的平均值為中位數(shù)，中位數(shù)為：；
平均數(shù)，
方差；
選項正確，、、錯誤；故選：．
21 某學(xué)習(xí)小組名學(xué)生參加“數(shù)學(xué)競賽”，他們的得分情況如表：
人數(shù)（人）




分?jǐn)?shù)（分）




那么這名學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（?。?br /> A．， B．， C．， D．，
【解答】在這一組數(shù)據(jù)中90是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是90；
排序后處于中間位置的那個數(shù)是90，那么由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是90；選：．
22 某校九年級體育模擬測試中，六名男生引體向上的成績?nèi)缦拢▎挝唬簜€）、6、9、11、8、10，下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)描述正確的是　　
A．極差是6 B．眾數(shù)是10 C．平均數(shù)是9.5 D．方差是16
【解答】（A）極差為，故（A）錯誤；
（B）根據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是10可得，眾數(shù)是10，故（B）正確；
（C）平均數(shù)為，故（C）錯誤；
（D）方差為，故（D）錯誤．故選：．
23 下列說法正確的是（?。?br /> A．要了解某公司生產(chǎn)的萬只燈泡的使用壽命，可以采用抽樣調(diào)查的方法
B．4位同學(xué)數(shù)學(xué)期末成績分別為，則這四位同學(xué)數(shù)學(xué)期末成績的中位數(shù)為
C．甲乙兩人各自跳遠(yuǎn)次，若他們跳遠(yuǎn)成績平均數(shù)相同，甲乙跳遠(yuǎn)成績的方差分別為和
D．某次抽獎活動中，中獎的概率為表示每抽獎次就有一次中獎
【解答】 、要了解燈泡的使用壽命破壞性極大，只能采用抽樣調(diào)查的方法，故本選項正確；
、位同學(xué)的數(shù)學(xué)期末成績分別為100、95、105、110，則這四位同學(xué)數(shù)學(xué)期末成績的中位
數(shù)為102.5，故本選項錯誤；
、甲乙兩人各自跳遠(yuǎn)10次，若他們跳遠(yuǎn)成績的平均數(shù)相同，甲乙跳遠(yuǎn)成績的方差不能確定，
故本選項錯誤；
、某次抽獎活動中，中獎的概率為表示每抽獎50次可能有一次中獎，故本選項錯誤選：．
24 下列說法正確的是　　
A．為了解三名學(xué)生的視力情況，采用抽樣調(diào)查
B．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是是必然事件
C．甲、乙兩名射擊運動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)分別為、，方差分別為、，若，，，則甲的成績比乙的穩(wěn)定
D．一個抽獎活動中，中獎概率為，表示抽獎20次就有1次中獎
【解答】了解三名學(xué)生的視力情況，由于總體數(shù)量較少，且容易操作，因此宜采取普查，因此選項不符合題意；任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是是不可能事件，因此選項不符合題意；根據(jù)平均數(shù)和方差的意義可得選項符合題意；一個抽獎活動中，中獎概率為，表示中獎的可能性為，不代表抽獎20次就有1次中獎，因此選項不符合題意；故選：．
25 下列判斷正確的是　　
A．北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查
B．一組數(shù)據(jù)6，5，8，7，9的中位數(shù)是8
C．甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為，．則甲組學(xué)生的身高較整齊
D．命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”是真命題
【解答】．北斗系統(tǒng)第五十五顆導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射前的零件檢查，應(yīng)選擇全面調(diào)查，所以選項錯誤；
．一組數(shù)據(jù)6，5，8，7，9的中位數(shù)是7，所以選項錯誤；
．甲、乙兩組學(xué)生身高的方差分別為，．則乙組學(xué)生的身高較整齊，選項錯誤；
．命題“既是矩形又是菱形的四邊形是正方形”是真命題，

26 某中學(xué)九年級甲、乙兩個班參加了一次數(shù)學(xué)考試，考試人數(shù)每班都為40人，每個班的考試成績分為A、B、C、D、E五個等級，繪制的統(tǒng)計圖如圖：

根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息，則D等級這一組人數(shù)較多的班是　 ?。?br /> 【解答】由題意得：甲班等級的有13人，乙班等級的人數(shù)為（人，
，所以等級這一組人數(shù)較多的班是甲班；故答案為：甲班．

模塊三
幾何性質(zhì)、判定與計算

角的度量與多邊形內(nèi)角和外角和計算
題組一


1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為
推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和。

2、多邊形的有關(guān)計算
①多邊形內(nèi)角和。若正多邊形每個內(nèi)角為，則有
②多邊形外角和。若正多邊形每個外角為，則有
③多邊形對角線條數(shù)

例10 若一個多邊形的邊數(shù)為6，則這個多邊形的內(nèi)角和為 ．
【規(guī)范答題】根據(jù)題意得，故答案為：720

例11 如圖1，過直線上一點作射線，，則的度數(shù)為　 ?。?br /> 【規(guī)范答題】，的度數(shù)為：．故答案為：．


27 已知一個多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形是（　　）
A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形
【解答】設(shè)這個多邊形是邊形，則，解得：，即這個多邊形為七邊形．故選：．
28 一個五邊形的內(nèi)角和為（　?。?br /> A．540° B．450° C．360° D．180°
【解答】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式：，答：一個五邊形的內(nèi)角和是540度，故選：．
29 若一個正多邊形的內(nèi)角和為，則這個正多邊形的每一個內(nèi)角是　　
A． B． C． D．
【解答】：，，．則這個正多邊形的每一個內(nèi)角為．選：．
30 一個十二邊形的內(nèi)角和等于（　?。?br /> A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【解答】十二邊形的內(nèi)角和等于：；故選：．
31 如圖2在中，交于點，量角器擺放如圖所示，則的度數(shù)為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】，，，
又，，故選：．


平行線性質(zhì)與平行線分線段成比例的應(yīng)用
題組二


1、性質(zhì)與判定
①性質(zhì)：兩直線平行同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)
②判定：同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行

例12 如圖，直線，直線與直線分別相交于兩點，若，則∠2=　　?。?br />
【規(guī)范答題】直線，，．與是對頂角，．答案為：．

例13 如圖，在中，分別為上的點，若，，則　 ?。?br />
【規(guī)范答題】，，．故答案為：．

32 如圖，，交于點，，，則的度數(shù)為　　?。?br />
【解答】，，，，
，，故答案為：．
33 如圖，已知，若，則　 ?。?br />
【解答】，，，故答案為．
34 如圖，若AB∥CD，∠1＝40度，則∠2＝　 　度．

【解答】，，，．故答案為：140．

軸對稱圖形、中心對稱圖形與三視圖的判別
題組三


1、三視圖


三視圖
一物體在三個投影面內(nèi)進(jìn)行正投影，在正面得到的的視圖叫主視圖；在水平面得到的叫俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的視圖叫左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

長對正
高平齊
寬相等


2、常見幾何體的三視圖

主視圖
俯視圖
左視圖

球




圓柱




圓錐




正方體






3、軸對稱與中心對稱
中心對稱圖 形
定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。

軸對稱
圖 形
把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點，對應(yīng)線段叫做對稱線段。
軸對稱性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；
②對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線的垂直平分線。



例14 一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖是半徑相等的圓，則這個幾何體是（　?。?br /> A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．正方體
【規(guī)范答題】主視圖、俯視圖和左視圖都是圓的幾何體是球．
例15 下列交通標(biāo)志中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【規(guī)范答題】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意．

35 右側(cè)所給幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】由幾何體可得：圓錐的俯視圖是圓，且有圓心．故選：B．

36 下面長方體的主視圖（主視圖也稱正視圖）是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】長方體的主視圖（主視圖也稱正視圖）是

37 下列圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖），則這個幾何體是（　?。?br />
A．三棱柱 B．三棱錐 C．圓柱 D．圓錐
【解答】由主視圖以及左視圖可知這是一個錐體，再根據(jù)俯視圖可知是一個圓錐，故選D．

38 下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四邊形
【解答】A、三角形不一定是軸對稱圖形和中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項正確；
C、角是軸對稱圖形但不一定是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、平行四邊形是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形，故本選項錯誤，故選B．

39 下列幾何體的左視圖為長方形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】A．球的左視圖是圓；B．圓臺的左視圖是梯形；
C．圓柱的左視圖是長方形；D．圓錐的左視圖是三角形．故選C．

40 下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】A、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故A錯；
B、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此項正確；
C、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形不重合，此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、此圖旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤．

解三角形
題組四


1、相似三角形的性質(zhì)與判定
（1）性質(zhì)： ①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
②對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、周長的比都等于相似比；
③相似三角形面積比等于相似比的平方。

（2）判定： ①兩個角對應(yīng)相等，兩個三角形相似。
②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.
③三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似。
2、特殊三角形性質(zhì)
特殊三角形

等腰三角形
性質(zhì)
①等腰三角形是軸對稱圖形
②等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)
③等腰三角形的頂角平分線、底邊中線、高線相互重合(三線合一)


等邊三角形[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
性質(zhì)
等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。等邊三角形三線合一[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]




直角三角形
性質(zhì)
①直角三角形的兩銳角互余。
②在直角三角形中，如果一個銳角等于°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
④勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，即。


實記勾股數(shù)


3、解三角形的方法
定 義
由三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做解三角形。


邊角五元素之間的關(guān)系
設(shè)在中，，、、所對的邊分別為，
則有：①三邊之間的關(guān)系：(勾股定理)；
②銳角之間的關(guān)系：　
③邊角的關(guān)系：、、；
④，斜邊的高?


一般過程
①弄清題中名詞、術(shù)語意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；②將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題； ③根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形；④得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解. ?
非直角三角形中恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形



例16 如圖，是的邊上一點，，，．如果 的面積為15，那么 的面積為（　?。?br /> A．15 B．10 C． D．5

【規(guī)范答題】，，，，，
的面積：的面積，的面積：的面積，
的面積為15，的面積．故選：．

例17 在中，，，若邊上的高等于，則邊的長為　 ?。?br /> 【規(guī)范答題】有兩種情況：
① 如圖1，是的高，，由勾股定理得：
，，
② 如圖2，同理得：，，，綜上所述，的長為9或1；


41 在中，，，，則的正切值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值為=3，故選A．
42 如圖：在中，，，點，分別是，的中點，連接，，如果，那么的周長是　 ?。?br />
【解答】，分別是，的中點，，，，
，，，，
，又是的中點，直線是線段的垂直平分線，，
的周長，故答案為：18．

43 如圖，，，，若，則　　
A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】如圖，過點作，交于點

，是等邊三角形，，
，，，即
是等邊三角形，，平分，
在中，，，故選：．

44 如圖，在中，，，，為的角平分線，則三角形面積為　　
A．3 B．10 C．12 D．15

【解答】作于，如圖，在中，，，，，
為的角平分線，，，
，解得，．故選：．

45 如圖，為了測得電視塔的高度，在處用高為1米的測角儀，測得電視塔頂端的仰角為，再向電視塔方向前進(jìn)100米達(dá)到處，又測得電視塔頂端的仰角為，則這個電視塔的高度（單位：米）為　　
A． B．51 C． D．101

【解答】設(shè)，在中，，，
在中，，，，
解得：．則米．故選：．

46 在中，，，，則邊長為　　
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【解答】，，
當(dāng)為鈍角三角形時，如圖1，，，
，，由勾股定理得，；
當(dāng)為銳角三角形時，如圖2，，故選：．


47 如圖，在中，，是邊上一點，，，．則為　　
A. B． C． D．

【解答】如圖，延長到，使得．設(shè)．

，，，
，，，，
，，，
解得或（舍棄）．，故選：．

四邊形中的有關(guān)計算
題組五




平行四邊形

定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
性質(zhì)
①對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分、鄰角互補(bǔ)
②
判定
①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等（平行）的四邊形是平行四邊形；
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
矩 形


定義
有一個角為的平行四邊形叫做矩形
性質(zhì)
①對角線相等、3個內(nèi)角為直角
②
判定
①有一（三）個角是直角的平行四邊形（四邊形）是矩形；
②對角線相等的平行四邊形是矩形。
菱 形



定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
性質(zhì)
①四邊相等、對角線平分對角
②對角線互相垂直且平分
③菱形面積 = 對角線乘積的一半

判定
①有一組鄰邊（四邊）相等的平行四邊形（四邊形）是菱形；
②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
③對角線平分對角的平行四邊形是菱形。
正方形


定義
4條邊相等4個角為直角的四邊形叫做矩形
性質(zhì)
①四邊相等，四個角都為
②對角線互相垂直、相等且互相平分。
③邊長×邊長＝×對角線×對角線
判定
①對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形
②鄰邊相等（對角線互相垂直）的矩形是正方形
③有一個角是直角（對角線相等）的菱形是正方形

例18 如圖1，是矩形各邊中點,，，則四邊形的面積是　 ?。?br />
【規(guī)范答題】，，，分別是矩形各邊的中點，，，
，．
在與中，，．
同理可得，
．故答案為：24．

例19 在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，則平行四邊形ABCD的面積等于　 ?。?br /> 【規(guī)范答題】過作于，在中，，，
，，在中，，
，
如圖1，，平行四邊形的面積，
如圖2，，平行四邊形的面積，故答案為：或．


48 如圖，在矩形中，，，是邊上一點，沿折疊，使點恰好落在 邊上的處，是的中點，連接，則　 ?。?br />
【解答】在矩形中，，，沿折疊，使點恰好落在邊上的處，
，，是的中點，，，
，則．故答案為：．
49 如圖2，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（　?。?br /> A．4 B．6.25 C．7.5 D．9

【解答】，，，，為直角三角形，，
、與分別相切于點、，，四邊形為正方形，
設(shè)，則，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點、、
，，，，
陰影部分（即四邊形的面積是．故選：．

50 如圖，在中，以為圓心，長為半徑畫弧交于．分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，若，，則的長為　　
A．4 B．6 C．8 D．10

【解答】如圖，設(shè)交于點．

由作圖可知：，，，，
四邊形是平行四邊形，，，，
，，四邊形是平行四邊形，
，四邊形是菱形，，，
在中，，，
．故選：．
51 如圖，在矩形中，對角線，相交于點，，垂足為，，，則的值為　　
A．6 B．5 C． D．

【解答】四邊形是矩形，，，，，，
，，，，即是等邊三角形，
，，，，故選：．


扇形面積與圓錐、圓柱表面積、體積
題組六



內(nèi) 容
圖 示
扇 形
弧長公式：

面積公式：
圓 錐
圓錐展開：側(cè)面展開圖是扇形，底面是圓。
為扇形半徑，也叫圓錐母線長。



圓錐個考點：
①側(cè)面展開圖中：扇形弧長=底面圓周長。即：
②在圓錐內(nèi)由勾股定理有：

圓 柱
圓柱展開：側(cè)面展開圖時長方形，上底和下底時圓。






例20 如圖1，邊長為的正方形外切于⊙，切點分別為．則圖中陰
影部分的面積為　 ?。?br />
【規(guī)范答題】如圖，連接，延長交于點，正方形外切于，
，四邊形為矩形，，
又，點與點重合,則為的直徑，同理為的直徑，
由且知，四邊形為正方形，
同理四邊形、四邊形、四邊形均為正方形，
，，
，
則陰影部分面積，故答案為：．

例21 已知圓錐的側(cè)面展開圖是個半圓，若圓錐的體積等于，則這個圓錐的高等于（?。?br /> A． B. C. D.
【規(guī)范答題】
法一：設(shè)圓錐高為h，底面圓半徑為r，則母線=
底面圓周長為，而展開圖中扇形半徑=母線=，并且展開圖中弧長為，
故
[www.zzstep~.%co&*m#]
法二：利用一個結(jié)論， 圓錐展開圖如果是半圓，則圓錐的母線是底面半徑的2倍。這個方法可以先算出
[再利用，算出，進(jìn)一步可得
例22 如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：，則這個幾何體的側(cè)面積為　　
A． B． C． D．

【規(guī)范答題】由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8，底面圓的直徑為6，
所以這個幾何體的側(cè)面積．故選：．


52 圓柱的側(cè)面展開圖是相鄰兩邊長分別為，的長方形，那么這個圓柱的體積等于　?。?br /> 【解答】① 底面周長為6高為，；
② 底面周長為高為6，．
答：這個圓柱的體積可以是144或．故答案為：144或．
53 一個圓錐的主視圖是等邊三角形，俯視圖是面積為的圓，那么它的左視圖的高是　?。?br /> 【解答】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則，解得，因為圓錐的主視圖是等邊三角形，
所以圓錐的母線長為4，所以它的左視圖的高．故答案為．
54 一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的半圓，則該圓錐的全面積是（　?。?br /> A．48π B．45π C．36π D．32π
【解答】側(cè)面積是：底面圓半徑為：，
底面積，故圓錐的全面積是：．故選：．

55 若扇形面積為，圓心角為，則該扇形的半徑為　　
A．3 B．9 C． D．
【解答】扇形的面積．解得：．故選：．
56 已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則這個圓錐的側(cè)面積是　　
A． B． C． D．
【解答】這個圓錐的側(cè)面積，故選：．
57 一個圓錐的底面半徑為4．側(cè)面展開圖是半徑為8的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是　　
A． B． C． D．
【解答】圓錐的底面半徑為4，圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為，
側(cè)面展開扇形的半徑為8，該圓錐的側(cè)面積為，故選：．
58 如圖，這是一個由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其內(nèi)部“掏取”一個與圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑，高，則這個零件的表面積是　　
A． B． C． D．

【解答】易得圓錐的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，圓錐的側(cè)面積，
圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，
零件的表面積．故選：．
59 如圖，圓錐的底面半徑，高，則圓錐的側(cè)面積是　　
A． B． C． D．

【解答】圓錐的母線，圓錐的側(cè)面積，故選：．
60 已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面展開圖的圓心角為，則圓錐的母線長是　　
A．6 B． C． D．9
【解答】設(shè)母線長為，由題意得：，解得：，故選：．

61 如圖所示，扇形中，，點為中點，，交于，以為半徑畫交于，則圖中陰影部分面積為　 ?。?br />
【解答】如圖，連接．，，，，，


，故答案為：．


圓周角、圓心角定理與垂徑定理
題組七


1、圓在選擇填空中的考察主要以圓周角和圓心角定理為主，做題時，圈畫關(guān)鍵詞，并且抓準(zhǔn)圓心角、圓周角是關(guān)鍵。

內(nèi) 容
圖 示
圓心角
定 理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

圓周角
定 理
定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等，且都等于它所對的圓心角的一半。
如圖：

推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弧（或弦）是半圓（或直徑）。
如圖：

推論2：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。
如圖：，．

2、垂徑定理
垂徑
定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。


例23 如圖，為⊙的直徑，，，垂足為，切⊙于點，，連接、、，下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A． B．是等邊三角形
C． D．弧的長為

【規(guī)范答題】為的直徑，切于點，，又，，正確；
弦，，，是等邊三角形，正確；
弦，，正確；的長為：，錯誤，故選：．

例24 如圖，是⊙上的兩點，的垂直平分線與⊙交于兩點， 與線段交于點．若 ，則（　?。?br /> A．30° B．29° C．28° D．20°

【規(guī)范答題】，，，
．又是線段的垂直平分線，，
，．故選：．

例25 如圖，在半徑為3的中，直徑與弦相交于點，連接，，若，則　?。?br />
【規(guī)范答題】連接，，是的直徑，，
，，．故答案為：．


62 如圖，點、、在上，，則的度數(shù)是　　
A． B． C． D．

【解答】，圓心角，，
，故選：．
63 如圖，為的直徑，點、在上，若，則的大小為　　
A． B． C． D．

【解答】連接．是直徑，，
，，故選：．


64 如圖，為的直徑，為弦，，垂足為，若，則的度數(shù)為　　
A． B． C． D．

【解答】為的直徑，為弦，，，
，，故選：．

65 如圖，是的內(nèi)接三角形，已知圓心〇在邊上，平分交圓于點，連接，若，則的度數(shù)為　　
A． B． C． D．

【解答】是的內(nèi)接三角形，圓心〇在邊上，為的直徑，
，平分，，，，
，，，故選：．

66 如圖，是的直徑，點在的延長線上，，與相切于點，交的延長線于點，若的半徑為1，則的長是　　
A．1.5 B．2 C． D．

【解答】連接，切于，，的半徑為1，，是的直徑，
，，，由勾股定理得：，
，過，切于，切于，，設(shè)，
在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，
故選：．

67 如圖，半徑為的的弦，且于，連結(jié)、，若，則半徑的長為　　
A．1 B． C． D．

【解答】弦，，，，；連接，，
，，，，，
，，，故選：．

68 如圖，的直徑垂直于弦，垂足是，已知，，則的長為　　
A． B． C．4 D．

【解答】，是直徑，，，，
，，．，故選：．

69 如圖，在中，，是的中點，過，，三點的與邊相切于點，則的半徑為　　
A． B． C．1 D．

【解答】如圖，連接、，作于點，于點，根據(jù)垂徑定理可知：，
，是的中點，，與邊相切于點，
根據(jù)切割線定理可知：，，，，
，，切圓于點，，，
，，，，，
，，即，解得．所以的半徑為．選：．


幾何小命題辯選
題組八


1、幾何小命題主要圍繞的考點：三角形全等是核心，特殊三角形的性質(zhì)是手段，數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)解析法、等面積方法的綜合運用

例26 如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點，則①；②；③；④中正確有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【規(guī)范答題】①于，，是邊的中點，，①正確；
②過作于，則，

平分，，，②錯誤；
③，于，是等腰直角三角形，，
于，于，，，，
在與中，，，③正確；
④平分，且于，，，
在與中，，，，
，，④正確．故選：．

例27 如圖，半徑為的的弦，、交于，為上一點，連、、、，
下列結(jié)論：①；②若，則；③在②的條件下，若，，則
．其中正確的是　　
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【規(guī)范答題】①弦，，，，；
②連接，，，，，，
，；
③設(shè)與相交于點，連接，，，，
在和中，，，
，，，，，
，，，，，，
，，，．
故其中正確的是：①②③．故選：．

例28 如圖，正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交點為的中點，連接，，，．下列結(jié)論：①；②；③≌；④若，則結(jié)論正確的（?。?br /> A．個 B．個 C．個 D．個

【規(guī)范答題】①四邊形為正方形，，，，，
為等腰直角三角形，，，故①正確
② 為等腰直角三角形，為的中點，，，
在和中，，，，
，故②正確；
③ 為等腰直角三角形，為的中點，，，
在和中，，，故③正確；
④ ，，為等腰直角三角形，為的中點，，
，
在和中，，，
，，，
為等腰直角三角形，
過點作垂直于于點，如圖所示：設(shè)，則，，，
則，，，故④正確；故選：．


70 如圖，在四邊形中，，，，平分，，分別為，的中點，的延長線交于點，連接，．對于下列四個結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號是　　
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②

【解答】，，，，故①正確，
，，，，，故②正確，
，平分，，，
，，，
斜邊斜邊，故③錯誤，
，，是等腰直角三角形，，
，，故④正確．故選：．

71 如圖1，的對角線、交于點，平分交于點，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解答】四邊形是平行四邊形，，，平分，
是等邊三角形，，，
，，，故①錯誤；
可得，，故②正確；
，為中點，，，
，；故③正確；
四邊形是平行四邊形，，，，
，，，，故④正確；
故正確的個數(shù)為3個，故選：．

72 如圖，等邊三角形中，是邊上的中線，點在線段上，，的延長線交 于點，，連接交于點．下面結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解答】是等邊三角形，是邊上的中線，，，
，，故①正確，
，，，，
，，，，，故②正確，
設(shè)，則，，，，
，，故③正確，
在中，，，，，
，故④正確，故選：．

73 如圖，中，，，的平分線交于點，過點作，垂足為，連接交于點，則以下結(jié)論：①； ②；③； ④與的面積比是：其中正確結(jié)論是　　
A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【解答】如圖，設(shè)．

在中，，，，，，
平分，，，，，
是鈍角，，，故①錯誤，，
，顯然，故②錯誤，
，，垂直平分線段，故③正確，
，故④正確，故選：．

74 如圖，、是的切線，切點分別為、，是的直徑，交于、兩點，交于，連，下列結(jié)論：①②③④為的內(nèi)心，其中正確的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②④

【解答】連接、、、，作，，
是直徑，，即，、是的切線，，
故可得，即可得②正確；
，點是線段的中點，由題意得，，，，
，，，，即①正確；
由題意得，，，而，故不能得出，
也即得出，即③錯誤；、是的切線，，又，
，，即可得點是角平分線的交點，點為的內(nèi)心，
故可得④正確．綜上可得①②④正確．故選：．

75 如圖，是半圓直徑，半徑于點，平分交弧于點，連結(jié)、，給出以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是　　
A．①② B．③④ C．①③ D．①④

【解答】是半圓直徑，，，平分交弧于點，
，，，故①正確
由題意得，，，，，故②錯誤；
，，，
與不相似，故③錯誤；
平分交弧于點，，，是半圓直徑，
，（已證），
，，，
，，故④正確．綜上可得①④正確．故選：．

76 如圖，是的直徑，弦于點．點是上一點，且滿足，連接并延長交 于點．連接、，若，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是　　
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

【解答】①是的直徑，弦，，，，
（公共角），；故①正確；
②，，，，；故②正確；
③，，，在中，，
；故③錯誤；
④，，，
，，，，；
故④正確．故選：．
77 如圖，是的直徑，，是上的點，且，分別與，相交于點，，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤；⑥，其中一定成立的是　　
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤

【解答】①、是的直徑，，，
②假設(shè)，，，，，
，，即：，是半圓的三等分點，而與“，是上的點”矛盾，，
③、，，，，，平分，
④、是的直徑，，，，，點為圓心，，
⑤、由④有，，點為中點，是的中位線，，
⑥和中，沒有相等的邊，與不全等，故選：．

78 如圖2，已知在正方形中，對角線與相交于點，，分別是與的平分線，的延長線與相交于點，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是　　
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

【解答】①四邊形是正方形，，
，分別是與的平分線，，，
，，即，故①結(jié)論正確；
②在和中，，，，
，，，，故②正確；
③，，故③正確；
④，，，，
，，故④錯誤．故選：．

79 如圖，在正方形中，連接，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交、于點，，分別以，為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點，連結(jié)并延長交于點，再分別以、為圓心，以大于長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線，分別交，，于點，，，交的延長線于點，連接，下列結(jié)論：①，②，③，④．其中正確的是　　
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【解答】① 四邊形是正方形，，由作圖可知：平分，
，是的中垂線，，，
，，；故①正確；
② 是的中垂線，，，，故②正確；
③ ，，，，，
，在中，，故③正確；
④ 連接，，，四邊形是菱形，，
，，，，故④不正確；
本題正確的是：①②③，故選：．

80 如圖3，已知四邊形是邊長為4的正方形，為上一點，且，為射線上一動點，過點作于點，交直線于點．則下列結(jié)論中：①；②若，則；③當(dāng)時，；④的最小值為．其中正確的有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解答】連接，過作于，則，，，
，，，
，，，故①正確；
，，，，
，，，；故②正確；
連接，，點，，，四點共圓，，
，，同理當(dāng)運動到點右側(cè)時，此時，且四點共圓，
，故此時．因此或7，故③錯誤；
取 的中點，連接，，，，
點在以為圓心，為直徑的圓上，
當(dāng)最小時，的值最小，，的最小值，
，，的最小值為，故④錯誤，選：．




模塊四
方程、不等式、函數(shù)

根式、分式有意義條件與自變量取值范圍
題組一


主要考察分式、根式有意義的條件以及函數(shù)中自變量取值范圍內(nèi)容，屬于簡單題，關(guān)鍵識記知識。

1、函數(shù)中自變量的取值范圍
類型
特點
自變量的取值范圍
舉例
整式型
等式右邊是關(guān)于自變量的整式
全體實數(shù)
屬于一切實數(shù)
分式型
等式右邊是關(guān)于自變量的分式
使分母不為的實數(shù)

根式型
等式右邊是自變量開偶次方式子
使根號下的式子大于或等于的實數(shù)

零次冪
等式右邊是關(guān)于自變量的零次冪
使底數(shù)不為的實數(shù)


例29 函數(shù)中自變量的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【規(guī)范答題】由題意可得：，解得：，所以選

81 函數(shù)的自變量的取值范圍為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】函數(shù)的分母中含有自變量，自變量的取值范圍為：，即．選：
82 如果整數(shù)，那么使函數(shù)有意義的的值是　 ?。ㄖ惶钜粋€）
【解答】，，即，整數(shù)，當(dāng)時符合要求，故答案為：0．
83 使有意義的的取值范圍為　 ?。?br /> 【解答】有意義的條件：，所以
84 要使有意義，則x的取值范圍為（　　）
A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1
【解答】要使根式有意義，則令x+1≥0，得x≥﹣1

85 使代數(shù)式有意義的的取值范圍是（ ）
A. B. C.且 D.一切實數(shù)
【解答】解不等式組得且，故選C．
86 若，則的值為 .
【解答】由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.
87 若分式不論取何實數(shù)總有意義，則的取值范圍是 ．
【解答】若分式不論x取何實數(shù)總有意義，則分母≠0，
設(shè)，當(dāng)△＜0即可，.
答案m＞1.


方程與不等式
題組二


1、不等式解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．



3、分式方程的解法：
⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：如果最簡公分母為，則原方程無解，這個未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為，則是原方程的解。

4、增根：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.
產(chǎn)生增根的條件是：①是得到的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。

5、一元二次方程根與判別式
判別式：一元二次方程中叫一元二次方程根的判別式，用“”表示，.
①當(dāng)時，一元二次方程有個不相等的實數(shù)根；
②當(dāng)時，一元二次方程有個相等的實數(shù)根；
③當(dāng)時，一元二次方程沒有實數(shù)根.


例30 不等式組，的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是　　
A． B．
C． D．
【規(guī)范答題】，解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式組的解集是，在數(shù)軸上表示為：故選：．
，
例31 關(guān)于的方程有增根，則的值為　 　．
【規(guī)范答題】方程兩邊都乘以,得整理得.
當(dāng)a = 1 時,方程無解.
當(dāng)時,.如果方程有增根,那么,即或.
當(dāng)時,,所以;
當(dāng)時,,所以a = 6 .
所以當(dāng)或a = 6原方程會產(chǎn)生增根.

例32 如果關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為　 　．
【規(guī)范答題】關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
△，即，解得或2．故答案為：或2．

例33 施工隊要鋪設(shè)2000米的下水管道，因在中考期間需停工3天，每天要比原計劃多施工40米才能按時完成任務(wù)．設(shè)原計劃每天施工米，所列方程正確的是　　
A． B．
C． D．
【規(guī)范答題】設(shè)原計劃每天施工米，根據(jù)題意，可列方程：，故選：．


88 一元二次方程的根的情況是（　　）
A．兩個不相等的實數(shù)根 B．兩個相等的實數(shù)根
C．無實數(shù)根 D．無法確定
【解答】在方程中，△，該方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：．

89 已知關(guān)于的方程的解是，則的值為　 ?。?br /> 【解答】把代入方程得：，解得：，故答案為：．

90 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，則實數(shù)取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
△，，故選：．
91 若關(guān)于的方程無解，則的值是　 　．
【解答】去分母，得：，整理，得：，
當(dāng)時，分式方程無解，則，解得：；
當(dāng)整式方程無解時，，故答案為：3或1．

92 若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是　 　．
【解答】去分母，得，解得：，
根據(jù)題意得：且，解得：且．
故答案是：且．

93 若關(guān)于的分式方程無解，則的值為　 ?。?br /> 【解答】去分母得：，解得：，
由分式方程無解，得到，即或，即，
綜上，的值為或1．故答案為：或1

94 有一項工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲單獨工作13天后，因某原因離開了，此后由乙來接替，乙三天后完成了這項工程，則甲的工作效率是乙的　　倍．
【解答】設(shè)乙單獨做天完成，則乙每天完成總共量的，故甲每天完成總共量的，
則，解得：，檢驗得：是原方程根，
則．所以，即甲的工作效率是乙的倍．故答案是：．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2020/8/8 14:20:46；用戶：長腿老頭；郵箱：18088243211；學(xué)號：37302423
95 “五一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價為180元，出發(fā)時又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個同學(xué)比原來少攤了3元錢車費，設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共人，則所列方程為　　
A． B．
C． D．
【解答】設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共人，根據(jù)題意得：．故選：．

96 八年級學(xué)生去距學(xué)校千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的倍．設(shè)騎車學(xué)生的速度為，則列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】 設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度均為，
則求兩船在靜水中的速度可列方程為：．故選：．
97 不等式組的解集為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】 解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式組的解集為：，故選：．
98 若關(guān)于x的不等式組的解集是x＞a，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≥2
【解答】解關(guān)于的不等式組得,,故選：．
99 若整數(shù)使關(guān)于的不等式組，有且只有45個整數(shù)解，且使關(guān)于的方程的解為非正數(shù)，則的值為　　
A．或 B．或
C．或 D．或或
【解答】解不等式組，得，不等式組有且只有45個整數(shù)解，，
解得，因為關(guān)于的方程的解為：，，
解得，，，則的值為：或．故選：．


函數(shù)圖像
題組三


1、一次函數(shù)圖像性質(zhì)
解析式

參 數(shù)
代表直線的斜率，含義是直線的傾斜程度。
代表直線的縱截距，含義是直線與軸相交的點的縱坐標(biāo)。
圖 像








增減性
隨的增大而增大
隨的減小而減小

2、反比例函數(shù)圖像性質(zhì)
解析式



圖 像




增減性
當(dāng)時，隨的增大而減??；
當(dāng)時，隨的增大而減?。?br /> 當(dāng)時，隨的增大而增大；
當(dāng)時，隨的增大而增大；

3、二次函數(shù)圖像性質(zhì)
函 數(shù)
一般式：(書寫的規(guī)范：題目對解析式?jīng)]有要求，均需寫成一般式)
頂點式：(分析性質(zhì)：涉及函數(shù)最值對稱性增減性需化為頂點式）
交點式：（交點問題：涉及函數(shù)與軸的交點時可用交點式）
★一般式與頂點式互化：
圖 象




對稱軸
直線
頂 點

增減性
時，隨增大而減小
時，隨增大而增大
時，隨增大而增大；時，隨增大而減小．
最 值
當(dāng)時，有最小值，
當(dāng)時，有最大值，








例34 一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【規(guī)范答題】、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，本選項錯誤；
、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故選項正確
、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故選項錯誤；
、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故選項錯誤．
故選：．

例35 已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系下的圖象如圖所示，其中符合 的是　　

A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【規(guī)范答題】①中，，故，故①符合題意；
②中，，故，故②不符合題意；
③中，，故，故③不符合題意；
④中，，故，故④符合題意；故選：．

例36 如圖，在中，，，，為上的動點，交折線 于點，設(shè)，的面積為，則與的函數(shù)圖象符合題意的是　　

A． B． C． D．
【規(guī)范答題】在中，，，，，．
① 當(dāng)時，，，的面積，函數(shù)圖象為頂點在原點，開
口向上的拋物線，故、錯誤；


② 當(dāng)時，，，的面積，
函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，故正確，錯誤．故選：．



100 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【解答】、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則，即，，所以函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸，與軸的交點位于直線的上方，由整理得，由于△，則兩圖象有交點，故錯誤；
、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則，即，，
所以函數(shù)開口向上，對稱軸，故錯誤；
、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則，即，，
所以函數(shù)開口向下，對稱軸，故錯誤；
、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三，四象限，則，即，，
所以函數(shù)開口向上，對稱軸，故正確；故選：．
101 在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【解答】、由拋物線可知，圖象開口向上，與軸交在負(fù)半軸，，
由直線可知，圖象過一，二，三象限，，，故此選項錯誤；
、由拋物線可知，圖象開口向上且與軸交在正半軸，，
由直線可知，圖象過一，二，四象限，，，故此選項錯誤；
、由拋物線可知，圖象開口向下且與軸交在正半軸，，
由直線可知，圖象過一，三，四象限，，故此選項正確；
、由拋物線可知，圖象開口向下且與軸交在負(fù)半軸，，
由直線可知，圖象過一，二，三象限，，故此選項錯誤；故選：．

102 在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【解答】當(dāng)時，二次函數(shù)頂點在軸正半軸，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限；
當(dāng)時，二次函數(shù)頂點在軸負(fù)半軸，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限．故選：．

103 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【解答】、二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，，，
一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負(fù)半軸的同一點，故錯誤；
、二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在軸左側(cè)，，，
一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負(fù)半軸的同一點，故錯誤；
、二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，，，
一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負(fù)半軸的同一點，故正確；
、二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，，，
一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負(fù)半軸的同一點，故錯誤；
故選：．

104 函數(shù)與為常數(shù)且在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是　　
A． B． C． D．
【解答】、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故本選項錯誤；
、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)
一、二、四象限，故本選項錯誤；
、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、
三、四象限，故本選項正確；
、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過
一、三、四象限，故本選項錯誤；故選：．


105 在四邊形中，，，，點沿運動，同時點 沿運動，運動速度均為每秒1個單位，當(dāng)兩點相遇時，運動停止，則的面積與運動時間秒之間的圖象大致為　　

A． B． C． D．
【解答】點沿運動，同時點沿運動，運動速度均為每秒1個單位，，
為等邊三角形，，
當(dāng)時，，的面積；
當(dāng)時，如圖1，，作于，則，

的面積；
當(dāng)時，如圖2，，，則，

過作，，連接，，，
四邊形為等腰梯形，，，
，，，
由勾股定理得：，，
，的面積，
此時為的一次函數(shù)，正確．故選：．

106 如圖，在四邊形中，，，，，．動點沿路徑從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點運動．過點作，垂足為．設(shè)點運動的時間為（單位：，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是　　

A． B． C． D．
【解答】
① 當(dāng)點在上運動時，，圖象為二次函數(shù)；
② 當(dāng)點在上運動時，如下圖，

由①知，，同理，
則，為一次函數(shù)；
③ 當(dāng)點在上運動時，同理可得：，為一次函數(shù)；
故選：．

107 如圖，在中，，，于點．點從點出發(fā)，沿 的路徑運動，運動到點停止，過點作于點，作于點．設(shè)點運動的路程為，四邊形的面積為，則能反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是　　

A． B． C． D．
【解答】在中，，，，，于點，
，，，四邊形是矩形，，，
點運動的路程為，當(dāng)點從點出發(fā)，沿路徑運動時，
即時，，則，，
四邊形的面積為，，
當(dāng)時，拋物線開口向下；
當(dāng)點沿路徑運動時，即時，是的平分線，，
四邊形是正方形，，，，．
當(dāng)時，拋物線開口向上，
綜上所述：能反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：．故選：．

二次函數(shù)系數(shù)與圖像
題組四


題組三主要考察分式、根式有意義的條件以及函數(shù)中自變量取值范圍內(nèi)容，屬于簡單題，關(guān)鍵識記知識。

1、二次函數(shù)中參數(shù)小命題
（1）單參數(shù)
①看拋物線的開口方向，開口向上，開口向下；
②看拋物線對稱軸：左同右異。對稱軸在軸左邊則與同號，對稱軸在軸右邊則與異號
③看拋物線與軸交點：拋物線與軸交點在軸上方，在軸下方，

乘積型或商型以單個參數(shù)思路解決
（2）多參數(shù)：
①類型（含）：以對稱軸為出發(fā)點
②類型（都含的）：將其看作時的函數(shù)值
③類型：利用判別式與根的情況判斷

、類型（含或）綜合利用①②的思路解決

（3）引入新參數(shù)
①配湊：左右同時：，即，不等式是否成立結(jié)合圖像判斷即可。
②最值：移項：，令把它當(dāng)作關(guān)于的二次函數(shù)。研究的最大（?。┲凳欠翊笥冢ㄐ∮冢┝慵纯?。


例37 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，點位于、之間，與 軸交于點，對稱軸為直線，直線與拋物線交于，兩點，點在軸上方且橫坐標(biāo)小于5，則下列結(jié)論：①；②；③（其中為任意實數(shù)）；④，其中正確的是　　
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④

【規(guī)范答題】拋物線與軸的交點在軸上方，，拋物線的對稱軸為直線，
，所以①正確；
拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點位于、之間，
拋物線與軸的另一個交點位于、之間，
即當(dāng)時，，也就是，因此②正確；對稱軸為，
時的函數(shù)值大于或等于時函數(shù)值，即，當(dāng)時，函數(shù)值最大，
，即，，因此③不正確；
直線與拋物線交于、兩點，點在軸上方且橫坐標(biāo)小于5，
時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即，而，
，解得，因此④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：．

例38 如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，圖象過點，對稱軸為直線，給出6個結(jié)論：①；②；③．；④一元二次方程有兩個根為，．⑤；⑥為任意實數(shù)），其中正確的個數(shù)有　　
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個

【規(guī)范答題】① 對稱軸為，，，，故①錯誤；
② 拋物線的開口向下，，與軸的交點在軸的正半軸上，，
對稱軸為，，故②正確；
③ 把，代入解析式得，，
兩邊相加整理得，即，故③正確；
④ 對稱軸為，圖象過點，圖象與軸另一個交點，
關(guān)于的一元二次方程的解為或，故④正確；
⑤ 由圖象可知當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值為，
即為任意實數(shù)），整理得，
，為任意實數(shù)），故⑤錯誤；故選：．

108 二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若點、點，、點，在該函數(shù)圖象上，則：④若方程的兩根為和，且，則；⑤．其中正確的結(jié)論有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解答】①由題意可知：對稱軸，，，故①正確；
②當(dāng)時，，，故②錯誤；
③，關(guān)于直線的對稱點為，，由圖可知：時，隨著的增大而減小，
由于，，故③正確；
④ 設(shè)，，由于圖象可知：直線與拋物線有兩個交點，
方程的兩根為和，，故④正確；
⑤ 當(dāng)時，，此時為最大值，當(dāng)時，，
，即，故⑤錯誤；故選：．
109 二次函數(shù)的圖象如圖所示，分析下列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)有　　
①；②；③；④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解答】拋物線開口向下，，對稱軸在軸左側(cè)，、同號，，
拋物線與軸的交點在上方，，所以，，因此①不正確；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，，
即，也就是，因此③正確；
拋物線頂點縱坐標(biāo)，即，又，因此有，所以④正確；
對稱軸在之間，因此有，又，故有，
而，有，即，因此②不正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：③④，故選：．

110 如圖，拋物線與軸交于點，與軸的交點在點與點之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．有下列結(jié)論：
①； ②；③；④若點，，在拋物線上，則．其
中正確結(jié)論的個數(shù)是　　
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】① 由開口可知：，對稱軸，，
由拋物線與軸的交點可知：，，故①正確；
② 對稱軸，，，
，，，，故②正確；
③ ，，，，，，，
，故③正確，
④ 點，，在拋物線上，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；故④錯誤；故選：．

111 如圖，拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①；②當(dāng)時，隨的增大而增大；③；④若，為方程的兩個根，則且，其中正確的結(jié)論有　　
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

【解答】拋物線開口向下，，對稱軸為，即，因此，與的交點在正半軸，，
所以，因此①正確；，對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而增大，
因此②不正確；由對稱性可知，拋物線與軸的兩個交點為，，，，
又，，，，因此③正確；
拋物線與軸的兩個交點為，，，
，為方程的兩個根，實際上就是當(dāng)時，函數(shù)
相應(yīng)的自變量的值為、；，根據(jù)圖象可知，且，因此④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故選：．

112 如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點且與軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，其中，．給出下列結(jié)論：①，②，③，④，⑤．其中正確結(jié)論的個數(shù)是　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解答】拋物線開口向下，，對稱軸在軸的右側(cè)，、異號，因此，與軸的交點在正半軸，，
所以，故①錯誤；當(dāng)時，，因此②正確；
對稱軸在之間，于是有，又，所以，故③正確；
當(dāng)時，，又，所以，故④不正確；
當(dāng)時，，又因為，即，所以，也就
，而，因此，⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：②③⑤，故選：．

113 如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點．則以下結(jié)論：①；②二次函數(shù)的圖象的對稱軸為；③；④．其中正確的有　個．
A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】對于①：二次函數(shù)開口向下，故，與軸的交點在的正半軸，
故，故，因此①錯誤；
對于②：二次函數(shù)的圖象與軸相交于、，由對稱性可知，
其對稱軸為：，因此②錯誤；
對于③：設(shè)二次函數(shù)的交點式為，
比較一般式與交點式的系數(shù)可知：，，故，因此③正確；
對于④：當(dāng)時對應(yīng)的，觀察圖象可知時對應(yīng)的函數(shù)圖象的值在軸上方
故，因此④正確．只有③④是正確的．故選：．

反比例函數(shù)中的求解與運用
題組五


1、反比例函數(shù)的求解問題中，核心點是：把落在反比例函數(shù)上的點的坐標(biāo)表示出來。結(jié)合運用三角形全等、三角形相似、銳角三角函數(shù)等知識點綜合解題
2、的幾何意義與面積模型
的幾何意義
①過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為定值.

②過雙曲線(≠0) 上任意一點作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.

矩形面積模型
點和點在反比例函數(shù)圖象上，過分別做軸軸的垂線得到兩個矩形。有：

三角形面積模型
點和點在反比例函數(shù)圖象上,連接、、可得,過分別做軸的垂線,垂足分別為、,與交于。
有：①
②


3、 幾何結(jié)論

條 件
結(jié) 論
圖 示
幾何結(jié)論
直線


為矩形




例39 位于第一象限的點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸的正半軸上，是坐標(biāo)原點．若，的面積等于，則（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【規(guī)范答題】因為位于第一象限的點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸的正半軸上，是坐標(biāo)原點．
若，的面積等于2，所以，解得：，所以：，故選：．

例40 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點與原點重合，頂點落在軸的正半軸上，
對角線、交于點，點、恰好都在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為　　
A． B． C．2 D．

【規(guī)范答題】設(shè)，，點為菱形對角線的交點，，，，
，，把，代入得，，
四邊形為菱形，，，解得，，
在中，，．故選：．


114 已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則　 ?。?br /> 【解答】點在反比例函數(shù)的圖象上，，．故答案為：2

115 若點（3，5）在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，則k＝　 　．
【解答】把點的縱橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得：,故答案為：15
116 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的中點和頂點．若菱形的面積為12，則的值為　　
A．6 B．5 C．4 D．3


【解答】 設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
則，點的坐標(biāo)為，，解得，，故選：．
117 如圖1，反比例函數(shù)的圖象過兩點，過作軸，過點作
軸，垂足為，連接，交于，若，四邊形的面積為，則的值為　?。?br />
【解答】 設(shè)點坐標(biāo)為，則，,軸，軸
,,，
四邊形的面積為2,，即
將代入反比例函數(shù)，得故答案為：

118 已知點在雙曲線上，若都是正整數(shù)，則圖象經(jīng) 過、
兩點的一次函數(shù)的解析式（也稱關(guān)系式）為　 ?。?br /> 【解答】 點在雙曲線上，，、都是正整數(shù)，
，或，．
設(shè)經(jīng)過、兩點的一次函數(shù)的解析式為．
① 當(dāng)，時，由題意， 得，解得，；
② 當(dāng)，時，由題意， 得，解得，．
則所求解析式為或．故答案為或．


119 如圖2，點在雙曲線上，過點作軸，垂足為點，分別以點和點 為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線交軸于點，交軸于點，連接．若，則的值為（　　）
A． B． C． D．　

【解答】 如圖，設(shè)交于．由作圖可知，垂直平分線段，，，
在中，，，，
由，可得，，，，
，，．故選：．

120 如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點，點在直線上，連接，，若，則的值為　　
A. B． C． D．

【解答】作軸于，如圖，當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，，解得，則，當(dāng)時，，則，
，，為等腰直角三角形，，
，，，而，，
，，，
，即，解得，為等腰直角三角形，，
，把代入得．故選：．

121 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點與坐標(biāo)原點重合，頂點、分別在軸、軸上，反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊、分別交于點、，軸，垂足為，連接、、，則下列選項中的結(jié)論錯誤的是　　
A． B．四邊形與面積相等
C． D．若，，則點的坐標(biāo)為

【解答】點、都在的圖象上，，即，
四邊形為正方形，，，
，正確；
，而，
四邊形與面積相等，正確；
，，的值不能確定，的值不能確定，
只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，，錯誤；
作于點，如圖所示：，為等腰直角三角形，
，設(shè)，則，，，
在中，，，即，，
，，，，為等腰直角三角形，
，設(shè)正方形的邊長為，則，，
在中，，，解得，（舍去），
，點坐標(biāo)為，正確．故選：．



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