【優(yōu)選】2.5.1 橢圓的標準方程課時練習一．填空題1．已知，為橢圓的兩個焦點，若上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是______.2．橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖1所示，在十字形滑槽上各有一個活動滑標，，有一根旋桿將兩個滑標成一體，，為旋桿上的一點且在，兩點之間，且，當滑標在滑槽內(nèi)作往復運動，滑標在滑槽內(nèi)隨之運動時，將筆尖放置于處可畫出橢圓，記該橢圓為.如圖2所示，設(shè)與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系.則橢圓的普通方程為______.3．橢圓的焦距等于______.4．橢圓的短軸長為______.5．橢圓的長半軸長為________.6．已知面積為16的正方形的頂點A．B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是________．7．已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，且與共線，則橢圓的離心率_______8．如圖，已知點為橢圓上一點，為的左焦點，若，，則橢圓的方程為___________.9．橢圓+＝1（a＞b＞0）的兩個焦點是F1（﹣c，0）．F2（c，0），M是橢圓上一點，且＝0，則離心率e的取值范圍是　　．10．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)a＝________.11．中心在坐標原點，焦點分別為，，且離心率為的橢圓的標準方程為_________.12．在平面直角坐標系中，橢圓上存在點P，使得，其中，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的取值范圍是__________.13．已知O為坐標原點，，為橢圓的左右焦點，，點P是位于橢圓C上第一象限的一點，點Q是以為底的等腰三角形內(nèi)切圓的圓心，過作于點M，，則橢圓的離心率為________.14．橢圓的長軸長為4，短軸長為，焦點在x軸上的標準方程為__________.15．橢圓的左焦點為，以為一端點．該橢圓上的動點為另一端點的所有線段的長度中，最大值記為，最小值記為.若，則_____.
參考答案與試題解析1．【答案】【解析】討論橢圓焦點的位置，保證焦點三角形頂角為鈍角或直角即可.詳解：當焦點在軸上時，，，，當為上下頂點時，最大，∴，，∴，解得；同理，當焦點在軸上時，，解得.∴實數(shù)的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題考查橢圓的應(yīng)用，考查分類討論思想，計算能力邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．2．【答案】【解析】由已知得出橢圓的長半軸長為3，短半軸長為1，可得出橢圓的方程.詳解：由題意得：，，所以橢圓的長半軸長為3，短半軸長為1，所以橢圓的普通方程為，故答案為：.【點睛】本題考查求橢圓的方程，關(guān)鍵在于將生活中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為橢圓的長半軸長和短半軸長，屬于基礎(chǔ)題.3．【答案】4【解析】分析：根據(jù)橢圓的方程，求得的值，即可求解.詳解：由題意，橢圓，可得，則，所以橢圓的焦距為.故答案為：.4．【答案】【解析】分析：將橢圓，轉(zhuǎn)化為標準方程求解.詳解：由橢圓方程可化為，∴，，∴∴短軸長.故答案為：5．【答案】5【解析】分析：將橢圓方程化為標準方程，由此求得長半軸長.詳解：把橢圓化為標準方程，即，故長半軸為5.故答案為：6．【答案】【解析】分析：設(shè)，，，由正方形的性質(zhì)有，根據(jù)，利用向量的坐標表示得x．y與a．b的關(guān)系，代入即可得P的軌跡方程.詳解：設(shè)，，∵，∴，化為．∵，∴，即，∴，化為．∴動點P的軌跡方程是．故答案為：.【點睛】思路點睛：7．【答案】【解析】分析：把直線方程代入橢圓方程，設(shè)，由韋達定理得，求，由與共線，可得的等量關(guān)系，化簡變形后可求得離心率．詳解：設(shè)橢圓方程是，右焦點為，直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，設(shè)，則，又，∵與共線，∴，∴，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的等量關(guān)系．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達定理求出，然后表示出，由與共線，得到所要求的等量關(guān)系．考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．8．【答案】【解析】分析：由條件解可得，，再結(jié)合中位線及橢圓定義即可求解.詳解：由題意可得，該橢圓的半焦距，取橢圓的右焦點以及中點，連接，如圖，因為，所以，所以，，所以，，所以，即，所以，所以橢圓方程為.故答案為：9．【答案】[，1）【解析】設(shè)點M的坐標為（x，y），則＝（x+c，y），＝（x﹣c，y）．由＝0，得x2﹣c2+y2＝0．①又由點M在橢圓上，得y2＝b﹣，代入①，解得x2＝a2﹣．∵0≤x2≤a2，∴0≤a2﹣≤a2，即0≤≤1，0≤2﹣≤1．∵e＞0，解得≤e≤1．又∵e＜1，∴≤e＜1．故答案為：[，1）10．【答案】1【解析】由雙曲線可知a>0，且焦點在x軸上，根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故實數(shù)a＝1.點睛：如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標準方程(求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解)．11．【答案】【解析】分析：先設(shè)橢圓的標準方程為，再依題意解出a，b，c，即得答案.詳解：依題意知，橢圓交點在x軸上，設(shè)橢圓的標準方程為，依題意，離心率，解得，所以，故橢圓的標準方程為.故答案為：.12．【答案】【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，又可得，由題意可得，解得故答案為：13．【答案】【解析】分析：延長交延長線于點，可得，為的中位線，從而可得，，再由橢圓的定義可求出的值，由即可求出橢圓的離心率.詳解：因為，即，所以，因為點Q是以為底的等腰三角形內(nèi)切圓的圓心，所以為的角平分線，延長交延長線于點，在與中，，所以,所以，，所以為的中點，又為的中點，所以為的中位線，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是求出的值．本題中利用三角形全等及三角形中位線，求出．，再利用橢圓的定義求出．考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．14．【答案】【解析】分析：直接計算可知參數(shù)，然后可知橢圓方程.詳解：依題意可設(shè)橢圓方程所以所以橢圓的方程為：故答案為：15．【答案】【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)得，，結(jié)合條件可求得實數(shù)的值.詳解：由題意可知，，，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，，即，可得，即，解得.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓方程中參數(shù)的計算，考查橢圓上一點到焦點距離最值的計算，考查運算求解能力，屬于中等題. 

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2.5.1 橢圓的標準方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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