?專題01 相交線與平行線壓軸題三種模型全攻略

類型一、豬腳模型



例、如圖，已知直線AB∥CD∥EF，∠POQ=90°，它的頂點O在CD上，兩邊分別與AB、EF相交于點P、點Q，射線OC始終在∠POQ的內(nèi)部.

（1）求∠1＋∠2的度數(shù)；
（2）直接寫出∠3與∠4的數(shù)量關(guān)系；
（3）若∠POQ的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°，其余條件不變，猜想∠3與∠4的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）；并說明理由.
【答案】（1）∠1+∠2=90°;（2）∠3+∠4=270°；（3）∠3+∠4=360°-α, 理由見解析.
【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=90°，∴∠1+∠2=90°；
（2）∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=270°；
（3））∵AB∥CD，∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=α，∴∠1+∠2=α；
∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=α，∴∠3+∠4=360°-α．
【變式訓(xùn)練1】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．
（1）請判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，當(dāng)∠E=90°保持不變，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD．當(dāng)直角頂點E點移動時，問∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，當(dāng)點Q在射線CD上運動時（點C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，其數(shù)量關(guān)系為 ．

【答案】（1）平行，理由見解析（2）∠BAE＋∠MCD＝90°，理由見解析（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP
【詳解】（1）AB∥CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD；
（2）∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：過E作EF∥AB，如圖2所示：

∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE＋∠MCD＝90°；
（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，
即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP．
【變式訓(xùn)練2】把一塊含60°角的直角三角尺放在兩條平行線之間．
（1）如圖1，若三角形的60°角的頂點放在上，且，求的度數(shù)；
（2）如圖2，若把三角尺的兩個銳角的頂點分別放在和上，請你探索并說明與間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，若把三角尺的直角頂點放在上，30°角的頂點落在上，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.
【解析】解：(1)∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，
∴∠1=40°；
(2)過點F作FP∥AB，

∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) ∠AEG+∠CFG =300°，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG ?30°+∠CFG ?90°=180°，
整理得：∠AEG+∠CFG =300°．
【變式訓(xùn)練3】直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，點P是平面內(nèi)一動點．設(shè)∠PFD=∠1，∠PEB=∠2，∠FPE=∠α．
（1）若點P在直線CD上，如圖①，∠α=50°，則∠1+∠2=　 　°；
（2）若點P在直線AB、CD之間，如圖②，試猜想∠α、∠1、∠2之間的等量關(guān)系并給出證明；
（3）若點P在直線CD的下方，如圖③，（2）中∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系還成立嗎？請作出判斷并說明理由．

【答案】（1）50；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠α=50°，故答案為50；
（2）∠α=∠1+∠2，
證明：過點P作PG∥AB，
∵AB∥CD，∴PG∥CD，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∴∠α=∠3+∠4=∠1+∠2；
（3）∠α=∠2﹣∠1，
證明：過點P作PG∥CD，
∵AB∥CD，∴PG∥AB，
∴∠2=∠EPG，∠1=∠3，
∴∠α=∠EPG﹣∠3=∠2﹣∠1．

類型二、鉛筆模型

例、（1）問題情境：如圖1,AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度數(shù).
小明想到一種方法，但是沒有解答完：
如圖2，過P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180°.
∴∠APE＝180°－∠PAB＝180°－130°＝50°.
∵AB∥CD．∴PE∥CD．
…………
請你幫助小明完成剩余的解答.
（2）問題遷移：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：
如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β.
①當(dāng)點P在A、B兩點之間時，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.
②當(dāng)點P在A、B兩點外側(cè)時（點P與點O不重合），請直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)110°;(2) 詳見解析
【詳解】（1）剩余過程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800，
∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．
（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：過P作PQ∥AD ．
∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，同理，，
∴；
②（i）當(dāng)P在BA延長線時，如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；
（ii）當(dāng)P在AB延長線時，如圖5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．

【變式訓(xùn)練1】（1）如圖①，，則_________．
如圖②，，則___________．
如圖③，，則___________．
如圖④，，則___________．
從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請在圖②，圖③，圖④中選一個證明你的結(jié)論．

（2）如圖⑤，，則______________．
（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖已知，和的平分線相交于，，求的度數(shù)．

【答案】（1），，，（2）；（3）證明見解析.
（3）過點作，則.
則，又，得，故.
【詳解】（1）(1)如圖①,根據(jù)MA1∥NA2,可得如圖②,過作PA2∥MA1，

∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，

如圖③,過A2作PA2∥MA1,過A3作QA3∥MA1，

∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，

同理可得：
故答案為，，，
（2）根據(jù)可得：
（3）過點作，則.則，
又，
得，故.
【變式訓(xùn)練2】（1）請在橫線上填寫合適的內(nèi)容，完成下面的證明：
如圖1，AB∥CD，求證：∠B+∠D=∠BED．
證明：過點E引一條直線EF∥AB
∴∠B=∠BEF，（ ）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（ ）
∴∠D=________（ ）
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED．
（2）如圖2，AB∥CD，請寫出∠B+∠BED+∠D=360°的推理過程．________?
（3）如圖3，AB∥CD，請直接寫出結(jié)果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=________?

【答案】 兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行； ∠FED； 兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 如圖2，過點E引一條直線EF∥AB，∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°； 540°
【解析】
【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定即可解答.
解：（1）證明：過點E引一條直線EF∥AB，
∴∠B=∠BEF，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），
∴∠D=∠FED（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED．
（2）如圖，過點E引一條直線EF∥AB，

∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°.
（3）如圖，過點E引一條直線EM∥AB，過點F引一條直線FN∥AB，

∵EF∥AB，∴∠B+∠BEM=180°．
∵AB∥CD，EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∴EM∥NF，NF∥CD，
∴∠MEF+∠EFN=180°，∠NFD+∠D=180°，
∴∠B+∠BEM +∠MEF+∠EFN +∠NFD+∠D =180°+180°+180°=540°，
即∠B+∠BEF+∠EFD+∠D =540°.
【變式訓(xùn)練3】問題情境1：如圖1，AB∥CD，P是ABCD內(nèi)部一點，P在BD的右側(cè)，探究∠B，∠P，∠D之間的關(guān)系？
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足　 　關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）

問題情境2
如圖3，AB∥CD，P是AB，CD內(nèi)部一點，P在BD的左側(cè)，可得∠B，∠P，∠D之間滿足　 　關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）
問題遷移：請合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題：
已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F
（1）如圖4，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；
（2）如圖5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，設(shè)∠E＝m°，用含有n，m°的代數(shù)式直接寫出∠M＝　 　．
【答案】問題情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）.
【解析】（1）∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∴∠EBF+∠EDF＝140°，
∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）∠E+∠M＝60°，理由是：
設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，
∴∠E+∠M＝60°；
（3）設(shè)∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；故答案為：∠M＝．
類型三、拐彎模型

例．已知，直線，點為平面上一點，連接與．
（1）如圖1，點在直線、之間，當(dāng)，時，求．

（2）如圖2，點在直線、之間左側(cè)，與的角平分線相交于點，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）如圖3，點落在下方，與的角平分線相交于點，與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

【答案】（1）；（2），見詳解；（3），見詳解
【解析】（1）(如圖1，過點P作


，

（2）
如圖2，過K作

，
，
過點P作
同理可得
與的角平分線相交于點K


（3）
如圖3，過K作

，


過點P作，同理可得
與的角平分線相交于點K
，
【變式訓(xùn)練1】如圖，直線EF∥GH，點A在EF上，AC交GH于點B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，點D在GH上，求∠BDC的度數(shù)．

【答案】50°．
【詳解】∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【變式訓(xùn)練2】如圖，已知直線l1//l2，l3、和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；
（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；
（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明；
（4）若點P在線段DC延長線上運動時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．


【答案】（1）見詳解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【解析】（1）證明：過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．

（2）∠3＝∠2﹣∠1；過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，則：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．

（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，
∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，
即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；

（4）點P在線段DC延長線上運動時，∠3＝∠1﹣∠2．
過P作PQ∥l1，則PQ∥l1∥l2，
∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；
∴∠3＝∠1﹣∠2．

【變式訓(xùn)練3】已知：如圖，直線a∥b，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點．
（1）如圖1，當(dāng)點P在線段AB上（不與A、B兩點重合）運動時，∠1、∠2、∠3之間有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點P在線段AB的延長線上運動時，∠1、∠2、∠3之間的大小關(guān)系為________；
（3）如圖3，當(dāng)點P在線段BA的延長線上運動時，∠1、∠2、∠3之間的大小關(guān)系為________．

【答案】（1）∠3=∠1+∠2；（2）∠1=∠2+∠3;（3）∠2=∠1+∠3．
【詳解】（1）解：如圖1，過點P作PE∥a，則∠1=∠CPE．
∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2=∠DPE，∴∠3=∠1+∠2；

（2）解：如圖2，過點P作PE∥b，則∠2=∠EPD，
∵直線a∥b，∴a∥PE，∴∠1=∠3+∠EPD，即∠1=∠2+∠3．故答案為∠1=∠2+∠3;

（3）解：如圖3，設(shè)直線AC與DP交于點F，
∵∠PFA是△PCF的外角，∴∠PFA=∠1+∠3，
∵a∥b，∴∠2=∠PFA，即∠2=∠1+∠3．故答案為∠2=∠1+∠3．

課后訓(xùn)練
1．如圖，AB∥EF，∠BCD=90°，試探索圖中角α，β，γ之間的關(guān)系．

【答案】α+β﹣γ=90°．
【詳解】試題解析：過點C作CM∥AB,過點D作DN∥AB，

∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，

①， ②，
由①②得：
2．如圖，要想得到AB∥CD，則∠1、∠2、∠3之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系呢？請?zhí)剿鳎?br />
【答案】∠1=∠2＋∠3
【解析】應(yīng)滿足的關(guān)系為：∠1=∠2＋∠3，
證明：

如圖，延長EA交CD于點F，
∵∠1=∠2+∠3，∠4=∠2+∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD.
3．如圖，已知直線l1∥l2，A，B分別是l1，l2上的點，l3和l1，l2分別交于點C，D，P是線段CD上的動點(點P不與C，D重合)．
(1)若∠1＝150°，∠2＝45°，求∠3的度數(shù)；
(2)若∠1＝α，∠2＝β，用α，β表示∠APC＋∠BPD．

【答案】（1）75°（2）α－β
【詳解】解:(1)過點P向右作PE∥l1.
∵l1∥l2，∴l(xiāng)1∥PE∥l2，∴∠1＋∠APE＝180°，∠2＝∠BPE.
∵∠1＝150°，∠2＝45°，∴∠APE＝180°－∠1＝180°－150°＝30°，∠BPE＝∠2＝45°，
∴∠3＝∠APE＋∠BPE＝30°＋45°＝75°.
(2)由(1)知∠1＋∠APE＝180°，∠2＝∠BPE.
∵∠1＝α，∠2＝β，∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝180°－∠1＋∠2＝180°－α＋β，
∴∠APC＋∠BPD＝180°－∠APB＝180°－(180°－α＋β)＝α－β.

4.有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AB，CD，然后在平行線間畫了一點E，連接BE，DE后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點住點E，拖動后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時他突然一想，∠B，∠D與∠BED之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計算”功能，找到了這三個角之間的關(guān)系．

（1）你能探究出圖①到圖④各圖中的∠B，∠D與∠BED之間的關(guān)系嗎？
（2）請從所得的四個關(guān)系中，選一個說明它成立的理由．
【答案】（1）（1）圖①：∠BED＝∠B＋∠D；圖②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；圖③：∠BED＝∠D－∠B；圖④：∠BED＝∠B－∠D；（2）證明見解析．
【詳解】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可解答；
（2）選擇③，過點E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根據(jù)∠BED=∠DEF-∠BEF即可證明．
解：（1）圖①：∠BED＝∠B＋∠D；
圖②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；
圖③：∠BED＝∠D－∠B；
圖④：∠BED＝∠B－∠D．
（2）以圖③為例：如圖，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF．
∵∠BED＝∠DEF－∠BEF，
∴∠BED＝∠D－∠B．
5．已知，點為平面內(nèi)的一點，．

(1)當(dāng)點在如圖①的位置時，求與的數(shù)量關(guān)系．
解： ．（根據(jù)如圖填射線的畫法）
因為，
所以 （ ）．
所以（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；
（請繼續(xù)完成接下去的說理過程）
(2)當(dāng)點在如圖②的位置時，與的數(shù)量關(guān)系是 （直接寫出答案）；
(3)在（2）的條件下，如圖③，過點作，垂足為點，與的平分線分別交射線于點、，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與相等的角是 ， 度．
【答案】(1)過點作；；；；如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行；見解析
(2)
(3)，45
【解析】(1)解：如圖①，過點作，

，
（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．
．
，．
．
，．．
(2)解：如圖②，過點作，

．
，．．
，．
．．
故答案為：．
(3)解：如圖③，過點作，

，，
．，
，．
．，
由（2）已得：，
；
平分，．
平分，．

，故答案為：，45．
6．已知直線l1∥l2，l3和11，l2分別交于C，D兩點，點A，B分別在線l1，l2上，且位于l3的左側(cè)，點P在直線l3上，且不和點C，D重合．
(1)如圖1，有一動點P在線段CD之間運動時，試確定∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，并給出證明．
(2)如圖2，當(dāng)動點P在射線DC上運動時，上述的結(jié)論是否成立？若不成立，請寫出∠1、∠2、∠3的關(guān)系并證明．

【答案】（1）∠2＝∠1+∠3；（2）不成立，應(yīng)為∠3＝∠1+∠2，證明見解析.
【解析】解：（1）∠2=∠1+∠3．證明如下：
如圖①，過點P作PE∥l1．∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，∴∠2=∠1+∠3；
（2）上述結(jié)論不成立，新的結(jié)論：∠3=∠1+∠2．證明如下：
如圖②，設(shè)PB與l1交于點F．∵l1∥l2，∴∠3=∠PFC．
在△APF中，∵∠PFC是△APF的一個外角，∴∠PFC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2．

7.如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交于點C和D，點P是直線CD上的一個動點．
（1）如果點P運動到C、D之間時，試探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）若點P在C、D兩點的外側(cè)運動時（P點與點C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之間 的關(guān)系是否發(fā)生改變？請說明理由．

【答案】（1）P點在C、D之間運動時，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD，理由詳見解析；（2）詳見解析.
【詳解】解：（1）若P點在C、D之間運動時，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：
如圖，過點P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC，又因為l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
（2）若點P在C、D兩點的外側(cè)運動時（P點與點C、D不重合），則有兩種情形：
①如圖1，有結(jié)論：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：過點P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC
又因為l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠APE-∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.
②如圖2，有結(jié)論：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：過點P作PE∥l2，則∠BPE＝∠PBD
又因為l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD-∠PAC.

8．（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．
（2）應(yīng)用：如圖2，ABCD，點在、之間，與交于點，與交于點．若，，則的大小是多少？
（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點、分別在直線、上，點是直線上的一個動點，且不在直線上，連接、．若，則　　度（請直接寫出答案）．

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）70或290
【詳解】解：（1）如圖1，，，，
，．
（2）由（1）中探究可知，，
，且，，；
（3）如圖，當(dāng)為鈍角時，
由（1）中結(jié)論可知，，；

當(dāng)為銳角時，如圖，
由（1）中結(jié)論可知，，即，

綜上，或．故答案為：70或290．
9．已知AMCN，點B在直線AM、CN之間，AB⊥BC于點B．
（1）如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系： ．
（2）如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（3）如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點G，則∠AGH的度數(shù)為 ．

【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，見解析；（3）45°
【詳解】（1）過點B作BE∥AM，如圖，

∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案為：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C滿足：∠C﹣∠A＝90°．理由：過點B作BE∥AM，如圖，

∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）設(shè)CH與AB交于點F，如圖，

∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB，
∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN，
∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，
∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案為：45°

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