一、單選題
1．在空間直角坐標系中，點關于平面對稱點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)點的對稱直接求解.
【詳解】在空間直角坐標系中，點關于平面對稱點的坐標是.
故選：B
2．直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．無法確定
【答案】B
【分析】根據(jù)點與圓的位置關系進行判斷即可.
【詳解】由，
所以直線恒過定點，
因為，所以點在圓的內部，所以直線與圓相交.
故選：B
3．曲線與曲線的（ ）
A．長軸長相等B．短軸長相等C．離心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.
【詳解】解：曲線表示焦點在 軸上，長軸長為 ，短軸長為 ，離心率為 ，焦距為 .
曲線表示焦點在軸上，長軸長為 ，短軸長為 ，離心率為 ，焦距為.
對照選項可知：焦距相等.
故選：D.
【點睛】本題考查橢圓方程和性質，考查運算能力，屬于基礎題.
4．已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和坐標表示即得結果.
【詳解】設在基底下的坐標為，
則，
所以，解得，，，
故在基底下的坐標為．
故選：A.
5．美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法．三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（ ）
A．1.8cmB．2.5cmC．3.2cmD．3.9cm
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，求出直線的方程，利用點到直線距離公式進行求解
【詳解】解：如圖，以鼻尖所在位置為原點O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標系，則，，
所以，
利用點斜式方程可得到直線：，整理為，
所以原點O到直線距離為，
故選:B
6．橢圓的左、右焦點分別為、，動點A在橢圓上，B為橢圓的上頂點，則周長的最大值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】轉化周長為，
結合，即得解.
【詳解】
由題意，橢圓，其中，，
由于點B為橢圓的上頂點，故，
周長為，
其中，當且僅當點在線段延長線上時取得等號，
，
即，故周長最大值為12.
故選：C
7．已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】作出關于直線的對稱圓，把轉化到與直線同側的，數(shù)形結合找到取最大值的位置，求出的最大值.
【詳解】如圖所示，
圓的圓心為，半徑為3，圓關于直線的對稱圓為圓B，其中設圓心B坐標為，則 ，解得：，故圓B的圓心為，半徑為1，由于此時圓心A與圓心B的距離為4，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時點的對稱點為，且，所以，在P點運動過程中，當P，B，A，，F(xiàn)五點共線時，且在圓B左側，點F在圓A右側時，最大，最大值為
故選：C
8．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結論：
①曲線圍成的圖形的面積是；
②曲線上的任意兩點間的距離不超過；
③若是曲線上任意一點，則的最小值是．
其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】結合已知條件寫出曲線的解析式，進而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個半圓和一個正方形面積之和，結合數(shù)據(jù)求解即可；對于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點間的距離的最大值即可判斷；對于③，將問題轉化為點到直線的距離，然后利用圓上一點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.
【詳解】當且時，曲線的方程可化為：；
當且時，曲線的方程可化為：；
當且時，曲線的方程可化為：；
當且時，曲線的方程可化為：，
曲線的圖像如下圖所示：
由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，
從而曲線所圍成的面積，故①正確；
由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故②錯誤；
因為到直線的距離為，
所以，
當最小時，易知在曲線的第一象限內的圖像上，
因為曲線的第一象限內的圖像是圓心為，半徑為的半圓，
所以圓心到的距離，
從而，即，故③正確，
故選：C.
二、多選題
9．若兩條直線和的交點在第四象限，則k的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)直線過定點，作圖分析可得.
【詳解】記直線與x軸的交點為，斜率為，
直線所過定點為，
則
由圖可知，當，即時，兩直線交點在第四象限.
故選：BC
10．(多選)下列說法中正確的是（ ）
A．
是共線的充要條件
B．若，共線，則AB∥CD
C．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點共面
D．若P，A，B，C為空間四點，且有 (，不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件
【答案】CD
【分析】根據(jù)共線向量的定義、共面和共線的性質進行逐一判斷即可.
【詳解】由，可得向量的方向相反，此時向量共線，反之，當向量同向時，不能得到，所以A不正確；
若，共線，則AB∥CD或A，B，C，D四點共線，所以B不正確；
由A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，因為，可得P，A，B，C四點共面，所以C正確；
若P，A，B，C為空間四點，且有 (，不共線)，當λ＋μ＝1時，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三點共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件，所以D正確.
故選：CD
11．橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點M，點Q在以點M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為B．的最大值為4
C．的面積可能為2D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】A：根據(jù)橢圓方程可直接求得，，，和離心率；B：由橢圓的定義可得，結合不等式代入運算；C：點P位于橢圓的上、下頂點時，的面積取得最大，計算判斷；D：利用橢圓定義和圓的性質轉化處理．
【詳解】對于選項A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項A正確；
對于選項B，由橢圓的定義可得，所以，即的最大值為4，故選項B正確；
對于選項C，當點P位于橢圓的上、下頂點時，的面積取得最大值，故選項C錯誤；
對于選項D，易知，則圓，所以，故選項D正確，
故選：ABD．
12．已知點是直線上的一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，連接，，則（ ）
A．當四邊形為正方形時，點P的坐標為B．的取值范圍為
C．當為等邊三角形時，點P的坐標為D．直線過定點
【答案】CD
【分析】根據(jù)給定條件，用表示出切線長判斷選項A，B，D；求出直線AB的方程判斷D作答.
【詳解】依題意，，則，
當點時，，因此，顯然四邊形不是正方形，A不正確；
因當點時，，B不正確；
當點時，，在中，，即有，又，
因此為等邊三角形，此時直線斜率為1，有，由垂足的唯一性知，
當為等邊三角形時，點P的坐標為，C正確；
設，顯然點A，B在以OP為直徑的圓上，又點A，B在圓上，
于是得直線AB的方程為：，即，直線過定點，D正確.
故選：CD
三、填空題
13．若直線與直線平行，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)兩直線平行公式，列式即可求解.
【詳解】根據(jù)兩直線平行可得：解之得：.
故答案為：
14．直線被圓截得的弦長為定值，則直線l的方程為_________________________．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出動圓圓心的軌跡方程，再由直線l與圓心的軌跡平行求解作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，顯然點C的軌跡是直線，
直線，由解得，即直線l過定點，
因直線l被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線l的距離為定值，因此直線l平行于圓心C的軌跡，
設直線l的方程為：，有，解得，
此時直線l與圓心C的軌跡的距離為，即直線l與圓C相交，
所以直線l的方程為.
故答案為：
15．已知、、為空間中兩兩互相垂直的單位向量，，且，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】設，，,利用向量的坐標運算求出，進而求出，借助向量模的運算及，整理可得，進而得解.
【詳解】由題意可設，，,
由，得，
，
，
所以
（當且僅當，時等號成立），
所以的最小值為.
故答案為：.
四、雙空題
16．若為直角坐標平面內軸正方向上的單位向量，向量，，，且，則點的軌跡方程為______，該軌跡的離心率為______.
【答案】 ##0.5
【分析】根據(jù)向量的表達式結合可得點到兩點的距離之和為8，即可判斷出的軌跡，繼而求得方程，以及離心率.
【詳解】由題意可知向量，，，
且，故，
即點到兩點的距離之和為8，且，
故的軌跡是以為焦點的橢圓，且 ，
則點的軌跡方程為，離心率為 ，
故答案為：；
五、解答題
17．求滿足下列條件的直線的一般式方程：
(1)經(jīng)過直線的交點，且經(jīng)過點；
(2)與直線垂直，且點到直線的距離為.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）聯(lián)立直線方程，求交點，根據(jù)兩點式，可得答案；
（2）根據(jù)垂直設出直線方程，由點到直線距離，可得答案.
【詳解】（1）由，得，點的坐標為
所求直線又經(jīng)過點，得直線的兩點式：，
所求直線的一般式：.
（2）所求直線與垂直，可設直線的方程為.
又直線到點的距離為，，解得或，
所求的直線方程為或.
18．如圖，點、分別是棱長為的正四面體的邊和的中點，點、是線段的三等分點．
(1)用向量、、表示和；
(2)求、；
(3)求．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用基底表示向量，再結合空間向量的線性運算可將和用基底表示；
（2）利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得、的值；
（3）利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得的值.
【詳解】（1）解：連接，
因為為的中點，則，
，
故，
.
（2）解：由空間向量數(shù)量積的定義可得，
，
.
（3）解：
.
19．已知橢圓（a＞b＞0）的上頂點E與其左、右焦點構成面積為1的直角三角形．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點的直線l交橢圓C于，兩點，若，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質列等式可解得；
（2）設直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理以及可解得，得到直線方程
【詳解】（1）由已知可得，解得，，
橢圓的方程為．
（2）顯然斜率不存在時不滿足條件，
當斜率存在時，，設直線l的方程為，
代入的方程得，
，，
，解得，
∴直線l的方程為：或
20．在平面直角坐標系中，已知圓及圓內一點是圓上的動點.以為圓心，為半徑的圓，與圓相交于兩點.
(1)若圓與圓恒有公共點，求的取值范圍；
(2)證明：點到直線的距離為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先確定圓的半徑的范圍，再利用圓與圓恒有公共點，得，故列不等式求解的取值范圍；
（2）利用圓與圓的相交，求相交直線的方程，再利用點到直線的距離公式求解即可證明.
【詳解】（1）解：因為，所以圓的半徑，
又圓與圓恒有公共點，
且圓心之間的距離為，
所以
對任意恒成立，
所以，解得；
（2）解：設，圓的半徑
則圓方程為，
整理得，又圓，
兩圓方程相減，整理得相交直線的方程為，
所以到直線的距離，
因為在圓上，所以，所以到直線的距離.
即點到直線的距離為定值.
21．如圖，在四棱錐中，為邊的中點，異面直線與所成的角為.
(1)在直線上找一點，使得直線平面，并求的值；
(2)若直線到平面的距離為，求平面與平面夾角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量垂直充要條件列出等式，解之即可求得的值；
（2）先由直線到平面的距離為求得的長度，再利用平面與平面法向量的夾角公式去求平面與平面夾角的正弦值.
【詳解】（1）在四棱錐中，，異面直線與所成的角為.
即,又為兩相交直線，則平面
取PD中點F，連接EF，又，則，則平面
又四邊形中，，
則，則三直線兩兩互相垂直
以E為原點，分別以ED、EB、EF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖：
設，則，， ，，
，，,
設平面PBE的一個法向量為，
則，即，令，則，則
設，則
由直線平面，可得，即
則，解之得，則，又，則
（2）由直線到平面的距離為，得點C到平面的距離為，
又，為平面PBE的一個法向量
則，即，解之得，
則，，
設平面的一個法向量為，又
則，即，令，則，則
設平面與平面夾角為
則
又，則
22．已知橢圓的中心為，離心率為.圓在的內部，半徑為.，分別為和圓上的動點，且，兩點的最小距離為.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，求的方程?br>(2)，是上不同的兩點，且直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上.求證：以為直徑的圓過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）以為坐標原點，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標系設橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，根據(jù)離心率為和求解；
（2）解法一：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，所以直線與圓相切.（i）當直線垂直于軸時，由 判斷；（ii）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，由 與圓相切，得到m，k的關系，與橢圓方程聯(lián)立， 計算即可；解法二：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，所以直線與圓相切.設直線與圓相切于點. （i）當時，直線垂直于軸，易得；（ii）當時，直線的方程為，結合，得到直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，論證即可；解法三：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，所以直線與圓相切.（i）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設是以為直徑的圓上的任意一點，由，得到圓的方程判斷；（ii）當直線垂直于軸時，易得.解法四：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，所以直線與圓相切.（i）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立， 結合韋達定理，求得以為直徑的圓的方程判斷；（ii）當直線垂直于軸時，易證.
【詳解】（1）解：以為坐標原點，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標系，如圖.
設橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，
依題意得，
解得，
所以的方程為.
（2）解法一：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，
所以直線與圓相切.
（i）當直線垂直于軸時，不妨設，，
此時，所以，故以為直徑的圓過點.
（ii）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，，.
因為與圓相切，所以到直線的距離，
即.
由得，
所以，
，
，
，
，
所以，故以為直徑的圓過點.
綜上，以為直徑的圓過點.
解法二：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，所以直線與圓相切.
設直線與圓相切于點.
（i）當時，直線垂直于軸，不妨設，
此時，所以，故以為直徑的圓過點.
（ii）當時，直線的方程為，
因為，
所以直線的方程為.
設，由，得，
所以，
因為，所以，
，
，
，
，
，
，
，，
.
所以，即，故以為直徑的圓過點.
綜上，以為直徑的圓過點.
解法三：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，
所以直線與圓相切.
（i）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，.
因為與圓相切，所以到直線的距離，即.
由得，
所以，
，
，
.
設是以為直徑的圓上的任意一點，由，
得，
化簡得，
故圓的方程為，它過定點.
（ii）當直線垂直于軸時，不妨設，
此時，所以，故以為直徑的圓過點.
綜上，以為直徑的圓過點.
解法四：因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上，所以直線與圓相切.
（i）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，.
因為與圓相切，所以到直線的距離，即.
由，得，
所以，
，
以為直徑的圓的圓心為，即.
半徑
，
以為直徑的圓的方程為，
整理得，故以為直徑的圓過定點.
（ii）當直線垂直于軸時，不妨設，
此時，所以，故以為直徑的圓過點.
綜上，以為直徑的圓過點.

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