2022-2023學(xué)年福建省廈門市湖濱中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)傾斜角為的直線的方程形式，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于過的直線傾斜角為，即直線垂直于軸，所以其直線方程為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查傾斜角為的直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.2．已知空間向量，則（    ）A．5 B．6 C．7 D．【答案】D【分析】利用空間向量模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.【詳解】.故選：D3．若橢圓與橢圓，則兩橢圓必定（    ）．A．有相等的長(zhǎng)軸長(zhǎng) B．有相等的焦距C．有相等的短軸長(zhǎng) D．有相等的離心率【答案】B【分析】先確定兩橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，計(jì)算其，比較即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以橢圓中，，故A,C錯(cuò)誤；橢圓的，橢圓的，故兩橢圓相等，所以有相等的焦距，故B正確；離心率，兩橢圓不相等，相等，顯然離心率不一樣，故D錯(cuò)誤.故選：B4．關(guān)于x，y的方程組，沒有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的值是（　?。?/span>A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可得．【詳解】依題意，得直線與直線平行，且.所以得.故選：C．5．若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可求得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓的方程.【詳解】記點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，可得，線段的中點(diǎn)在直線上，則，即，所以，，解得，即圓心，因此，圓的方程為.故選：A.6．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】．故選：C．7．已知直線和圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離與半徑比較，解不等式，即可求解.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為圓心到直線的距離由直線與圓相交可知，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：B8．已知F是橢圓C：的右焦點(diǎn)，A是C的上頂點(diǎn)，直線l：與C交于M，N兩點(diǎn)．若，A到l的距離不小于，則C的離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】據(jù)，得到，根據(jù)點(diǎn)A到直線距離，求出，從而求出得范圍，從而求出答案.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，A是C的上頂點(diǎn)，連接，如下圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則又 ，四邊形為平行四邊形 ，又，解得：A到l的距離為：，解得：，即    .故選：B. 二、多選題9．直線的斜率是關(guān)于k的方程的兩個(gè)根，則下列說法正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，由兩直線垂直斜率之積為可得結(jié)果；再根據(jù)兩直線平行斜率相等，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】直線，的斜率，是關(guān)于的方程的兩根，∴，若，則，得；若，則，∴，得，故選：AD10．已知圓C：，則下列四個(gè)命題表述正確的是（    ）A．圓C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線1：的距離都等于1B．過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，直線MN的方程為C．一條直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且有，則∠PCQ的最大值為D．若圓C與E：相外切，則【答案】BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意利用點(diǎn)到直線距離可得，故圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1；對(duì)于B：利用兩圓公共弦的求法理解處理；對(duì)于C：根據(jù)向量和垂徑定理可得，理解分析；對(duì)于D：根據(jù)兩圓外切得，運(yùn)算判斷．【詳解】圓C的圓心，半徑，圓心到直線l：的距離，故圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，故A不正確；過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則A、C、M、N四點(diǎn)共圓，且為AC為直徑，方程為，MN是其圓C的公共弦，直線MN為，故B正確；設(shè)PQ的中點(diǎn)為D，則．因?yàn)?/span>，即，可得，則，故的最大值為，故C正確；圓E：的圓心，半徑根據(jù)題意可得，即得，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．已知兩點(diǎn)，，直線l過點(diǎn)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由題可得或，即可求出.【詳解】解：，，直線l過點(diǎn)且與線段MN相交，則或，則直線l的斜率k的取值范圍是：或．故選：AB．12．如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，，，下列說法不正確的是（    ）A．該幾何體是四棱臺(tái)B．該幾何體是棱柱，平面是底面C．D．平面與平面的夾角為【答案】ABC【分析】根據(jù)臺(tái)體、柱體、空間直角坐標(biāo)系、線線垂直、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅?/span>和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B錯(cuò)誤；由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，所以，不垂直，故C錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)為平面的法向量，則有則可取，則，所以平面與平面的夾角為，故D正確．故選：ABC 三、填空題13．已知向量則在上的投影向量的模為___________.【答案】【分析】直接利用向量的夾角運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?/span>，，所以；所以向量在向量上的投影向量的模．故答案為：．14．已知直線，則直線恒過定點(diǎn)_____．【答案】【分析】將直線的方程變形為，解方程組，可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】直線的方程可化為，由，解得，故直線恒過定點(diǎn).故答案為：.15．已知圓與圓相切，則______.【答案】1或3##3或1【分析】由已知可得兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，分兩圓內(nèi)切和外切兩種情況討論，求出的值即可．【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，其圓心距．若兩圓內(nèi)切，則有，即，可得或（舍）；若兩圓外切，則有，即，解可得．故答案為：1或3．16．已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為___________【答案】【分析】求出圓的方程，構(gòu)造，得到，，然后根據(jù)幾何知識(shí)求最值即可.【詳解】根據(jù)題意得，，所以圓的半徑為4，圓的方程為，如圖，，則，所以，即，故，所以，在中，，當(dāng)、、共線時(shí)最大，最大為.故答案為：. 四、解答題17．已知向量，，，，.(1)求，，；(2)求與所成角的余弦值.【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）根據(jù)向量平行得到，根據(jù)向量垂直得到，計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算，，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），故，即，故，，，即，，，故，，故（2），，與所成角的余弦值為：18．已知直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和實(shí)數(shù)的值；(2)求與直線平行且與點(diǎn)的距離為的直線方程．【答案】(1)P(-2，-1)；a=2(2)或 【分析】（1）由題意，聯(lián)立直線方程，求交點(diǎn)，再將點(diǎn)代入含參直線方程，求得答案；（2）由（1）明確直線方程，根據(jù)平行，設(shè)出所求直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得答案.【詳解】（1）所以聯(lián)立，解得：P(-2，-1)．將P的坐標(biāo)(-2，-1)代入直線中，解得a=2．（2）由（1）知直線，設(shè)所求直線為．因此點(diǎn)P到直線l的距離，解方程可得c=5或-5，所以直線的方程為或．19．已知圓過點(diǎn)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的一般式方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，應(yīng)用待定系數(shù)法，根據(jù)點(diǎn)在圓上列方程組求參數(shù)，即可得方程；（2）由（1）所得圓的方程及弦長(zhǎng)易知圓心到所求直線的距離為，討論直線的斜率的存在性，再結(jié)合點(diǎn)線距離公式求直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，由題意知，解方程組得，故所求圓的方程為，即;（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故圓心到直線的距離為，則（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足題意；（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，即，則圓心到直線的距離，解得，此時(shí)直線方程為.綜上，所求直線方程為或20．如圖所示，在四棱錐中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為梯形，，，，點(diǎn)E在線段PD上，．(1)求證：平面PAB；(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）作交于點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：作交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB；（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以點(diǎn)B到平面PCD的距離為.21．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)，且與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于基本量的方程組，求解后可求橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用公式可求弦長(zhǎng).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，而，則，故，故，故橢圓方程為：.（2）橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線，由，故，設(shè)，故.22．已知圓，點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，始終為的中點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若存在定點(diǎn)和常數(shù)，對(duì)軌跡上的任意一點(diǎn)，恒有，求與的值.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）設(shè)，由中點(diǎn)公式可得，代入到圓的方程中，整理即可求解；（2）設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式可得，結(jié)合，可得，由式子恒成立，可知，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，所以，即，因?yàn)閳A的方程為，則，整理得，，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.（2）設(shè)，則且，整理得，因?yàn)?/span>在Q的軌跡上，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式恒成立，此時(shí)，，則，解得或9，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，故，. 

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