2022-2023學(xué)年福建省廈門雙十中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若經(jīng)過兩點(diǎn)A（3，y＋1）、B（2，－1）的直線的傾斜角為，則y等于（    ）A．－1 B．2 C．0 D．－3【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，列出方程，解之即可.【詳解】由題意知，直線的斜率為，又，所以，解得.故選：D.2．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長為（    ）A．13 B．16 C．20 D．【答案】B【分析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長為.故選：B3．已知拋物線：恰好經(jīng)過圓：的圓心，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓心，代入拋物線，求得，進(jìn)而得到拋物線得標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由已知得，圓的圓心為：，故把圓心坐標(biāo)代入拋物線得，，解得，則拋物線：，化簡得，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C4．圓與圓的位置關(guān)系為（    ）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】C【分析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，所以兩圓相外切故選：C5．過點(diǎn) 作直線l，使l與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】作圖分析，判斷點(diǎn)P在雙曲線的外部，則符合條件的直線有和漸近線平行的直線還有切線，由此可得答案.【詳解】如圖示，雙曲線的漸近線為，點(diǎn)在雙曲線外部，則過點(diǎn)P和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，包括兩條和漸近線平行的直線 ，還有兩條和雙曲線相切的直線，因此過點(diǎn)P和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條，故選：D.6．如圖，已知直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，且 ， 交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則l方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系求出直線l的斜率，即可求得直線的點(diǎn)斜式方程，可得答案.【詳解】由題意可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為，故直線的斜率為1，因?yàn)?，所以直線l 的斜率為,則l方程為，即，故選：A.7．已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，利用勾股定理可求得，再利用橢圓的定義可得出，求出、，利用勾股定理結(jié)合離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：設(shè)，則，因?yàn)?/span>，則，由橢圓的定義可得，則，所以，，則，由勾股定理可得，則，則，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.8．已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作的垂線分別交雙曲線的左?右兩支于兩點(diǎn)(如圖).若，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件和雙曲線的定義可求得，，再在中運(yùn)用余弦定理建立關(guān)于a，b，c的方程，可求得雙曲線的漸近線方程得選項(xiàng).【詳解】解：由，設(shè)，由得，，所以，，又得，，令，化簡得：，得，所以漸近線方程為，故選：C. 二、多選題9．關(guān)于x，y的方程表示的曲線可以是（    ）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線【答案】ABD【分析】對參數(shù)進(jìn)行分類討論m＝1， m＝3，1<m＜3，m＞3，m<1等五種情況進(jìn)行分析即可【詳解】由題意得：對于方程①當(dāng)m＝1時(shí)，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x軸；②當(dāng)m＝3時(shí)，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y軸；③當(dāng)m≠1，且 m≠3時(shí)，方程即，當(dāng)，m＝2時(shí)，方程為，表示圓；若1<m＜2或2<m＜3，方程表示橢圓；若m<1，方程表示雙曲線；若m>3，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不表示任何圖形.綜合可得：方程不可能是拋物線．    故選：ABD．10．已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線l的傾斜角是B．點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的最短距離是2C．直線l關(guān)于x軸對稱的直線方程是D．直線l在x軸上的截距是【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，結(jié)合即可判斷；選項(xiàng)B，求解點(diǎn)到直線距離，即可判斷；選項(xiàng)C，由直線過，且斜率與直線l的斜率互為相反數(shù)即可判斷；選項(xiàng)D，計(jì)算直線與x軸的交點(diǎn)即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A，記直線傾斜角為，直線l：，故直線斜率，故，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的最短距離即為點(diǎn)到直線的距離，正確；選項(xiàng)C，直線l：與軸的交點(diǎn)為，直線l關(guān)于x軸對稱的直線過，且斜率與直線l的斜率互為相反數(shù)，故直線方程為，正確；選項(xiàng)D，直線l：與軸的交點(diǎn)為，故在x軸上的截距是，錯(cuò)誤.故選：BC11．已知拋物C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于點(diǎn)A，B（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)D．若，則（    ）A．A，B，F三點(diǎn)共線 B．l的斜率為C． D．圓E的半徑是6【答案】AC【分析】根據(jù)直線與拋物線的關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：連接，過點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下所示：因?yàn)?/span>，又，故，故三點(diǎn)共線，A正確；對B：因?yàn)?/span>，，故，又，故，又//軸，故直線的傾斜角為，則直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對C：根據(jù)B所求，可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，解得或，故兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故，C正確；對D：由C知，，故圓的半徑為，D錯(cuò)誤.故選：AC.12．下圖為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線圍成的曲邊四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C的左右頂點(diǎn)為，則（    ）A．雙曲線C的方程為B．雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線C．存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)D．雙曲線C上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3【答案】ABD【分析】由題意可得，代入雙曲線方程可求出，從而可求出雙曲線方程，然后逐個(gè)分析判斷【詳解】由題意可得，所以，即，解得，所以雙曲線方程為，所以A正確，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以B正確，由雙曲線的性質(zhì)可知，過平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以不存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤，由題意得，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，，所以，所以雙曲線C上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，所以D正確，故選：ABD 三、填空題13．已知橢圓的焦距是，則的值是____．【答案】【分析】根據(jù)、、的關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】在橢圓中，，，由已知可得，解得.故答案為：.14．對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____．【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及題意，設(shè)方程為，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求得，即可得答案.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)是，所以，且焦點(diǎn)在x軸，所以設(shè)等軸雙曲線方程為，所以，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：15．已知P是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），則|PA|+|PM|的最小值是_____.【答案】【分析】根據(jù)題意判斷A（2，3）在拋物線之外，延長PM交直線x＝﹣1于點(diǎn)N，由 |PM|＝|PN|﹣|MN|＝|PN|﹣1，得 |PA|+|PM|＝|PF|+|PA|﹣1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可.【詳解】當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝4×2＝8，所以y＝±2，即|y|＝2，因?yàn)?/span>3＞2，所以點(diǎn)A在拋物線的外側(cè)，延長PM交直線x＝﹣1于點(diǎn)N，由拋物線的定義可知|PN|＝|PM|+1＝|PF|，當(dāng)三點(diǎn)A，P，F共線時(shí)，|PA|+|PF|最小，此時(shí)為|PA|+|PF|＝|AF|，又焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），所以|AF|＝＝，即|PM|+1+|PA|的最小值為，所以|PM|+|PA|的最小值為﹣1.故答案為：.16．圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1: + = 1和雙曲線C2: - =1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線）圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為 _________ .  【答案】【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為： 四、解答題17．已知圓O：與x軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B距離的倍．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過點(diǎn)B作傾斜角為45°直線l交點(diǎn)P的軌跡于M，N兩點(diǎn)，求弦長．【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出，根據(jù)題意列出方程，化簡后得到結(jié)果，注意分兩種情況進(jìn)行求解；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分與兩種情況，得到直線方程，聯(lián)立相應(yīng)的P的軌跡方程，利用弦長公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意得：不妨設(shè)，，則，平方得：，化簡得：，若，則，平方得：，整理得：，綜上：點(diǎn)P的軌跡方程為或；（2）不妨設(shè)，故直線，即，聯(lián)立與得：，設(shè)，則，則，同理，當(dāng)時(shí)，故直線，即，聯(lián)立與得：，設(shè)，則，則，綜上：.18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)若，△ABC的面積為2，D為邊BC的中點(diǎn)，求AD的長度．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)結(jié)合已知條件，根據(jù)正弦定理角化邊和余弦定理即可求出角A；(2)根據(jù)三角形面積公式求出b，根據(jù)余弦定理求出a，再求出cosB，利用余弦定理即可求解AD.【詳解】（1）∵，由正弦定理可得，即．由余弦定理可得，∵，∴；（2）∵，△ABC的面積為，∴．由余弦定理得，∴，∴， ∴，∴AD的長度為．19．雙曲線C：過點(diǎn)，且右焦點(diǎn)到漸近線的距離為．(1)求雙曲線方程；(2)若雙曲線C與直線l：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，M（1，3）為AB中點(diǎn)，求直線l方程．【答案】(1)；(2)不存在滿足題意的直線l. 【分析】(1)根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，根據(jù)雙曲線過點(diǎn)列出方程，解之求得，即可求解；(2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)求出直線斜率，根據(jù)點(diǎn)差法求出直線的斜率，驗(yàn)證點(diǎn)不在直線上即可求解.【詳解】（1）由題意知，右焦點(diǎn)，漸近線，即，因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，即，又雙曲線過點(diǎn)，則，解得，所以雙曲線的方程為；（2）由題意知，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B，且為的中點(diǎn)，設(shè)，則，，由，兩式相減，得，即，得，此時(shí)直線的方程為，但點(diǎn)不在直線上，所以不存在這樣的直線.20．如圖，四面體中，，E為 的中點(diǎn)．(1)證明：平面 ⊥平面 ；(2)設(shè) ，，點(diǎn)F在上且 ，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析.(2). 【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）由題意求得相關(guān)線段的長，求出根據(jù),即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>， ,所以 ，所以 ，又因?yàn)?/span>E是中點(diǎn)，所以 ，又因?yàn)?/span> ，所以 ，平面, 所以平面，又因?yàn)?/span>平面 ，所以平面⊥平面.（2）點(diǎn)F在上且,因?yàn)?/span> ，，所以，,而，所以 ， 則,所以 ，  ，因?yàn)?/span>平面 ，所以 ,因?yàn)?/span>，所以, 故 所以.21．設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)點(diǎn)，過F的直線交C于 兩點(diǎn)，連接 ，與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 ，記直線的斜率分別為．求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P到F的距離與到直線的距離相等，結(jié)合拋物線定義，可求得曲線方程；（2）設(shè)設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，可得到，進(jìn)而表示出 ，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得到，，化簡即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意知點(diǎn)P到F的距離與到直線的距離相等，曲線C是以F為焦點(diǎn)的拋物線,設(shè)拋物線方程為 ，則 ，得，故曲線C的方程為.（2）證明：由題意設(shè) ， 設(shè)直線， 由，可得 ， ．由斜率公式可得 ，直線 ，代入拋物線方程可得 ， ，所以 ，直線 ，代入拋物線方程可得 ， ，所以 ，故 ，即，所以，即為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拋物線的定義以及直線和拋物線的位置關(guān)系中的定值問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要能熟練應(yīng)用聯(lián)立直線和拋物線方程組成方程組的方法，解答的關(guān)鍵是利用二次方程的根與系數(shù)關(guān)系化簡得出各參數(shù)之間的關(guān)系.22．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為．(1)是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：作兩條切線，分別交橢圓于P，Q兩點(diǎn)且有OP⊥OQ，求橢圓的方程；(2)過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于A，B兩點(diǎn)，若AM⊥x軸于點(diǎn)M，BN⊥x軸于點(diǎn)N，直線AN與BM交于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系求得，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得與橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式，構(gòu)建△的面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，再求函數(shù)最大值即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，又，故，又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，故橢圓方程為：.（2）因?yàn)?/span>，故，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立橢圓方程可得：，，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)題意可得：，直線方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立兩直線方程可得：，即，即；故△的面積，又，故，故，令，故，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)取得最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中三角形面積的范圍問題；第二問中處理問題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同時(shí)關(guān)于面積的計(jì)算，恰當(dāng)?shù)膿Q元，也是處理問題的關(guān)鍵；屬綜合中檔題. 

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