2022-2023學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．?dāng)?shù)列，則該數(shù)列的第n項為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過數(shù)列的規(guī)律總結(jié)出數(shù)列的第n項即可【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則以此類推可得，故選：D2．若直線經(jīng)過、兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出的取值范圍，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，又因為，故.故選：C.3．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，這就是著名的斐波那契數(shù)列．則該數(shù)列的前2022項中奇數(shù)的個數(shù)是（    ）A．1012 B．1346 C．1348 D．1350【答案】C【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)進行歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再結(jié)合題意，即可求得結(jié)果【詳解】對數(shù)列中的數(shù)據(jù)歸納發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)中前2個都是奇數(shù)，又，故該數(shù)列前項有個奇數(shù).故選：C4．若函數(shù)，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，令即可求解【詳解】由可得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：B5．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，若為奇函數(shù)且，當(dāng)時，，則不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，然后分，和三種情況進行求解即可【詳解】設(shè)，則，因為當(dāng)時，成立，所以，為遞減函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以，，，當(dāng)時，由為奇函數(shù)可得不滿足題意；當(dāng)時，由可得，所以；當(dāng)時，由可得，所以，此時，綜上所述，不等式的解集是故選：D6．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】考慮直線與曲線切于原點時實數(shù)的值，以及直線與曲線切于原點時實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，，如下圖所示：當(dāng)直線與曲線切于原點時，對函數(shù)求導(dǎo)得，此時，當(dāng)直線與曲線切于原點時，對函數(shù)求導(dǎo)得，此時，解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有三個公共點，故選：A.7．已知，，，則，，之間的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)，求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，所以.故選：B. 二、多選題8．“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術(shù)·商功》有如下敘述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵．其一為陽馬，其一為鱉臑”．意思是說：將一個長方體沿對角面斜截（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜截（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，則下列選項不正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意確定塹堵、陽馬和鱉臑的體積與長方體的體積的數(shù)量關(guān)系，即可得答案.【詳解】解：由題意，塹堵的體積，陽馬的體積，鱉臑的體積，所以，，，即，所以，所以，ACD選項正確，B選項錯誤.故選：ACD9．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的定義域為 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最小值為，沒有最大值 D．函數(shù)的極小值點為【答案】BD【分析】對于A，注意到可知，由此可判斷；對于B，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷其正確；對于C，舉反例排除即可；對于D，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可判斷其正確.【詳解】對于A，因為，所以，解得，故的定義域為，故A錯誤；對于B，，令，得，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，令，則，故的最小值不為，故C錯誤；對于D，令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，令，得，故結(jié)合兩側(cè)的單調(diào)性可知是的極小值點，故D正確.故選：BD.10．公差為的等差數(shù)列，其前項和為，，，下列說法正確的有（    ）A． B． C．中最大 D．【答案】AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正確，BC錯誤.故選：AD.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.11．在正方體中，已知為棱的中點，上底面的中心，下列圖形中，的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用正方體的性質(zhì)，利用線面垂直的判定、性質(zhì)證線線垂直，或由勾股定理判斷線線垂直，即可得答案.【詳解】若分別是的中點，易知且，所以共面，易知：面面，而，，所以，面面，面，則面，又面，故，即A選項中正確；又，若正方體棱長為2，則，，故，所以不垂直，即不垂直，即B選項中錯誤；由，則，，故，所以不垂直，即不垂直，即C選項中錯誤；由，而，又面，面，則，，面，則面，又面，則，故，即D選項中正確.故選：AD12．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論正確的有（    ）A．若的導(dǎo)函數(shù)為，定義域為R，則B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．的圖像關(guān)于對稱D．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則【答案】ACD【分析】由是奇函數(shù)得到是偶函數(shù)，為奇函數(shù)判斷A；根據(jù)函數(shù)圖像的平移伸縮變換，結(jié)合圖像關(guān)于對稱判斷B；.由，結(jié)合為奇函數(shù)判斷C；由C得到時，，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷D.【詳解】解：因為函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，所以，，所以，即，所以，是偶函數(shù)所以，，所以，為奇函數(shù)，故定義域為R，則，A選項正確；函數(shù)的圖像是由函數(shù)圖像向右平移一個單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的得到，因為是偶函數(shù)，圖像關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，故B選項錯誤；因為，由為奇函數(shù)知為奇函數(shù)，圖像關(guān)于對稱，可以看作由按向量平移而得，故C選項正確；由選項知，當(dāng)時，，由等差數(shù)列性質(zhì)，所以，同理，，；，；，；，；，即，故；所以，，故D選項正確.故選：ACD 三、填空題13．已知圓錐頂點為P，底面的中心為O，過直線OP的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為___________.【答案】【分析】由題設(shè)正三角形的邊長為，得到底面圓的半徑為，圓錐的高為，結(jié)合圓錐的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，設(shè)正三角形的邊長為，可得，解得，∴底面圓的半徑為，圓錐的高為，所以該圓錐的體積為.故答案為：.14．已知函數(shù)在處有極大值，則__________．【答案】6【詳解】解：因為函數(shù)則利用導(dǎo)數(shù)f‘(x)= (x－c)2+2x(x-c)=0,f’(2）=0,即c=2,或c=6，經(jīng)過驗證當(dāng)c=2時，函數(shù)在x=2處不是極大值，因此排除只有c=6成立．故答案為：6 15．已知數(shù)列滿足，則___________．【答案】【分析】當(dāng)時，由可得，兩式作差變形可得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式【詳解】將代入可得，解得，由可得，兩式相減得即，所以，也滿足，故對任意的，，故答案為：16．已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最大值是___________．【答案】【分析】分析可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，利用參量量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由題意可知，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，則，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.因此，實數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的最大值，解題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，結(jié)合指對同構(gòu)的思想構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解. 四、解答題17．已知等差數(shù)的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)用基本量法，即可求解.(2)分類討論的正負情況，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意知解得故.（2）由，得，即，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.由（1）知，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上，18．若函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)有極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求曲線過點的切線方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根據(jù)極值點和極值列出方程組，求出，得到解析式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)出切點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】（1），由題意得：，解得：，所以，經(jīng)驗證：是函數(shù)的極小值點，所以滿足要求；（2）由（1）知：，設(shè)切點方程為，，所以切線方程為，代入點可得，即，解得或，所以切線方程為或，即或.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，平面，E為的中點．.(1)若點M在線段上，試確定點M的位置使得直線平面．并證明；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1)為的中點，證明見解析；(2) 【分析】（1）利用中位線定理及矩形的性質(zhì)證得且，由此證得，再利用線面平行的判定定理即可證得平面；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，先求得平面與平面的法向量，再利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得平面與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）為的中點，證明如下：記為的中點，連接，如圖，因為為的中點，所以且，又因為四邊形是矩形，所以且，故且，又因為E為的中點，所以且，故四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以平面．.（2）在平面內(nèi)過作軸垂直于，因為平面，則，軸，故以為坐標(biāo)原點，以為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，因為，則，故，所以，則，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，所以，因為平面，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為..20．已知數(shù)列滿足(1)記，寫出，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的前20項和．【答案】(1)，，，(2) 【分析】（1）根據(jù)遞推公式列出前幾項，即可得到，，，再根據(jù)遞推公式得到，即可得到是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即可求出其通項公式；（2）由（1）可得，則，，即可得到，再利用并項求和法計算可得.【詳解】（1）因為，所以，，，，，又，所以，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，當(dāng)時，，即，則，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故；（2）由（1）可得，，則，所以，記的前項和為，則 21．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見解析(2)存在，的最小值為0 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點可求，從而可得整數(shù)的最小值.【詳解】（1）因為，所以，①當(dāng)時，由，解得；②當(dāng)時，由，解得；③當(dāng)時，由，解得；④當(dāng)時，由，解得；⑤當(dāng)時，由，解得，綜上所述，當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為；時，的增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，所以，而，因為均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個零點，且且時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為，所以，所以，而整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解，故，故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時，如果導(dǎo)數(shù)的零點不易求得，則可以虛設(shè)零點，利用零點滿足的關(guān)系式化簡最值，從而得到最值的范圍或符號.22．已知函數(shù)．(1)證明：當(dāng)時，；(2)若有最大值，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)，得到，將證明轉(zhuǎn)化為證明，然后求出函數(shù)的最大值即可證明；（2）分類討論，和三種情況下的最大值，然后求的范圍即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)時，，欲證，只需證，∵，只需證，即證：，令，則，故知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，即，得證．（2）．令，則，故知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，的圖象如下所示：①若，則恒成立，則在上單調(diào)遞減，無最大值；②若，則在上有兩個零點，設(shè)為，且．顯然，故當(dāng)時，，故，函數(shù)此時單調(diào)遞減．同理可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，故有最大值等價于，故有，化簡得，解得，又，且在上單調(diào)遞減，故，故；③若，當(dāng)時，，沒有最大值，所以顯然無最大值，綜上，．【點睛】分析函數(shù)在區(qū)間上的最值情況：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有最值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，且極大值大于或等于兩端函數(shù)值的極限，則極大值為最大值，否則無最大值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，且極小值小于或等于兩端函數(shù)值的極限，則極小值為最小值，否則無最小值. 

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