2022-2023學年福建省莆田華僑中學高二上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的公差為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用，直接計算公差即可.【詳解】等差數(shù)列中，，設公差為d，則，即.故選：C.2．直線經過點和以為端點的線段相交，直線斜率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得直線和的斜率，結合圖象求得正確答案.【詳解】，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，直線l的斜率滿足或所以直線的斜率的取值范圍是.故選：D3．設是等比數(shù)列，且，，則（    ）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題．4．美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，求出直線AB的方程，利用點到直線距離公式進行求解.【詳解】如圖，以鼻尖所在位置為原點O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標系，則，直線，整理為，原點O到直線距離為，故選：B5．已知直線經過點，且與圓相切，則的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線經過點，且與圓相切可知，再使用點斜式即可.【詳解】直線經過點，且與圓相切，則,故直線的方程為，即.故選：A.6．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則取最大值時n的值為（       ）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由，，可得，再結合等差中項分析得，進而得出，由此得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，∵，∴，∴.∵，，∴，∴當取最大值時.故選：D.7．已知圓，，則這兩圓的公共弦長為（    ）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，用垂徑定理求弦長.【詳解】由題意知，，將兩圓的方程相減，得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為.又因為圓的圓心為，半徑，所以圓的圓心到直線的距離.所以這兩圓的公共弦的弦長為.故選：C.8．已知邊長為2的等邊三角形，是平面內一點，且滿足，則三角形面積的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標系，設，寫出的坐標，利用列式得關于的等式，可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫出直線的方程，計算和點距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計算.【詳解】以的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，設，因為，所以，得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當點距離直線距離最大時，面積最大，已知直線的方程為：，，點距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.故選：A9．已知點，那么下面四個結論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意根據(jù)兩個向量平行、垂直的性質，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．【詳解】解：，，，，，，，，對于與，由，則與不平行，故選項A錯誤；由，則與不垂直，故選項B錯誤；對于與，由，則與不平行，故選項C錯誤；由，可得，即，故選項D正確.故選：D． 二、多選題10．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，則（    ）A． B． C．或 D．或【答案】ABD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出首項和公比的方程組，通過解方程組即可求出答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以或，即或，所以解得或，所以選項C錯誤，選項D正確.因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，選項A正確；，選項B正確；故選：ABD.11．已知直線與圓，則下列說法中正確的有（    ）A．當時，直線l與圓P相切B．當時，直線l與圓P的相交弦最長C．直線l與圓P一定相交D．圓心P到直線l的距離的最大值為【答案】ABD【分析】對于A，求出圓心到直線的距離進行判斷，對于B，判斷圓心是否在直線上，對于C，舉例判斷，對于D，由于直線恒過原點，所以當時，圓心P到直線l的距離最大，從而可求出其最大值【詳解】圓的圓心，半徑為1，對于A，當時，直線為，此時圓心到直線的距離等于半徑，所以直線l與圓P相切，所以A正確，對于B，當時，直線為，此時直線恰好過圓心，所以直線l與圓P的相交弦最長為直徑，所以B正確，對于C，若直線為， 則圓心到直線的距離為，此時直線與圓相離，所以C錯誤，對于D，因為恒過原點，所以當時，圓心P到直線l的距離最大，最大值為，所以D正確，故選：ABD12．已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．數(shù)列為單調遞增的等差數(shù)列D．滿足不等式的正整數(shù)n的最小值為63【答案】ABD【分析】由和遞推公式→→，→A選項正確，B選項正確；→→為單調遞增的等差數(shù)列→C選項不正確；→→→D選項正確【詳解】因為，所以，所以，則，解得，，所以，，所以A選項正確，B選項正確；因為，所以，所以，又，所以，所以為單調遞增的等差數(shù)列，則數(shù)列不是單調遞增的等差數(shù)列，所以C選項不正確；，則，，解得，又，所以正整數(shù)n的最小值為63，所以D選項正確．故選：ABD．【點睛】數(shù)列問題，常常需要由遞推公式求出通項公式，方法有累加法，累乘法，構造法等，要根據(jù)數(shù)列特征選擇不同的方法. 三、填空題13．在等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前2021項的和為_______.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質和求和公式，得到，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列中，，所以，故答案為：.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)的前項和公式的應用，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質和求和公式是解答的關鍵，著重考查推理能力和計算能力，屬于基礎題.14．若直線經過直線和的交點，則___________.【答案】【分析】求解出直線，的交點坐標，再代入直線即可求解.【詳解】由題意，直線，，交于一點，所以，得，所以直線過點，得，求解得.故答案為：15．過圓外一點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B.若△PAB為等邊三角形，則過D(2，1)的直線l被P點軌跡所截得的最短弦長為________.【答案】【分析】先根據(jù)∠APC＝30°，可得P點軌跡方程為圓，再數(shù)形結合可知當l與CD垂直時，l被圓所截得的弦長最短，結合垂徑定理計算即可【詳解】由題意知，連接PC，因為△PAB為等邊三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P點軌跡的方程為.因為，所以點D(2，1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內部.連接CD，結合圖形可知，當l與CD垂直時，l被圓所截得的弦長最短，最短弦長為故答案為： 四、雙空題16．已知數(shù)列的前項和，則___________，的最大值為___________.【答案】          【分析】根據(jù)與的關系得到，再計算的值即可，分類討論和時的情況，從而得到的最大值.【詳解】當時，，當時，，檢驗時，，所以，則.當時，.當時，，故的最大值為.故答案為：， 五、解答題17．已知等差數(shù)列滿足，前項和．（1）求的通項公式；（2）設等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項公式．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列關于和的方程組，解方程求得和的值，即可求解；（2）等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式列方程組，解方程求得和的值，即可求解；【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得：，所以；（2）等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得或，所以或，所以數(shù)列的通項公式為：或.18．在中，已知，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由直線方程的兩點式可得；（2）先求直線方程，再求到的距離，最后用面積公式計算即可.【詳解】（1），，邊所在的直線方程為，即；（2）設到的距離為，則，，方程為：即：..19．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿足_____.（從①②成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選兩個補充到題干中的橫線位置，并根據(jù)你的選擇解決問題）（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）選擇①②、①③、②③條件組合,； （2）【分析】（1）先將①②③條件簡化，再根據(jù)選擇①②、①③、②③條件組合運算即可；（2），利用分組求和法計算即可.【詳解】（1）①由，得，即；②由，，成等比數(shù)列，得，，即﹔③由，得，即； 選擇①②、①③、②③條件組合，均得、，即﹔ （2）由（I）得， 則，即【點晴】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合計算問題，涉及到基本量的計算，分組求和法求數(shù)列的和，考查學生的數(shù)學運算能力，屬于容易題.20．在平面直角坐標系中，光線過點，經軸反射后與圓：有交點(1)當反射后光線經過圓心，求光線的方程；(2)當反射后光線與圓相切，求光線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出點關于軸對稱的點為，由光線的折射性質，反射光線經過圓心，由，代入可求出光線的斜率，即可求出光線的方程；（2）設反射光線方程為，由反射后光線與圓相切可求出，即可求出光線的方程.【詳解】（1）點關于軸對稱的點為，由光線的折射性質，反射光線經過圓心，所以，易知，所以，所以光線的方程為.（2）設經過的直線方程為由于折射光線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即,化簡得：,解得或,所光線的方程為或.21．在平面直角坐標系中，已知圓過點,且圓心在直線上；圓：．(1)求圓的標準方程，并判斷圓與圓的位置關系；(2)直線上是否存在點，使得過點分別作圓與圓的切線，切點分別為（不重合），滿足，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)，相外切(2)存在， 【分析】（1）、先確定兩圓圓心和半徑，再計算圓心距與半徑和進行比較即得結果；（2）、設直線上存在點滿足題意，設出點坐標，由及其與切線長和半徑之間的關系得到，再利用距離公式解得，經檢驗即得答案．【詳解】（1）圓過點,圓的圓心在直線上，圓心在直線上，，，，設,半徑為，圓的標準方程為， 圓：．,又∵,且圓與圓相外切．（2），直線的方程為，設直線上存在點滿足題意，,,,,,,,,,，或，或當時，點為圓與圓的公切點，不符合題意;當時，滿足.綜上所述，存在點，滿足.22．已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設數(shù)列滿足：，，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由，利用數(shù)列通項與前n項和的關系求得；再由求解；（2）由，利用錯位相減法求得， 由，利用累加法得到，從而求得，然后由恒成立求解.【詳解】（1）當時，，∴，當時，由得，即，∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，∵，∴.由條件得，，∴，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，∴.（2），設數(shù)列的前項和為，則，∴，∴，，∴，由得，累加得，即，∴，∴，令，則，∴，∴，∴. 

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