2022-2023學年福建省永安第九中學高二上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．直線的傾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線斜率即可得出傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為直線的斜率為，所以，故.故選：C.2．如圖，在平行六面體中， AC與BD的交點為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)代入計算化簡即可.【詳解】故選：B.3．直線截圓所得的弦長為（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長．【詳解】圓心為，圓心到已知直線的距離為，所以弦長為．故選：D．4．雙曲線的右頂點到漸近線的距離為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用橢圓方程，求得右頂點坐標，利用漸近線方程公式，得到漸近線，利用點到直線距離公式即得解.【詳解】依題意得雙曲線的右頂點坐標是，一條漸近線方程是，即，因此右頂點到漸近線的距離為，故選：B5．平行六面體（底面是平行四邊形的棱柱）中，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，，由，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運算可解得結(jié)果.【詳解】令，，，則，，， 由，得，即，所以．故選：C.6．已知F是橢圓的右焦點，B為C的上頂點，原點O到直線BF的距離為，則C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意求出直線BF的方程，由原點O到直線BF的距離公式代入即可得出答案.【詳解】因為F是橢圓的右焦點，B為C的上頂點，所以，所以直線BF的方程為：，化為一般式方程為：，所以原點O到直線BF的距離為，所以.故選：D.7．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（    ）A． B． C．5 D．4【答案】A【分析】先求出點A關(guān)于直線的對稱點，點到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】因為點A關(guān)于直線的對稱點，要使從點A到軍營總路程最短，即點到軍營最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A.8．設(shè)F1，F2是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（    ）A．90° B．45° C．60° D．30°【答案】C【分析】根據(jù)題目條件求出雙曲線方程，得到漸近線方程，可得兩條漸近線的夾角.【詳解】設(shè)，，由雙曲線的定義可知，又，，，可得，，即，解得，，可得雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的夾角為.故選：C 二、多選題9．下列命題正確的是（    ）A．當時，直線與直線平行B．當時，直線與直線垂直C．當時，曲線與曲線外切D．當時，直線與直線的交點坐標是【答案】AC【解析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系判斷ABD，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷C，即可得到答案.【詳解】對于A，當時，直線，；直線，， ，，故A正確；對于B，當時，直線，；直線，，，與不垂直，故B錯誤；對于C，當時，曲線，圓心是，；曲線，圓心是，，圓心距，兩圓外切，故C正確；對于D，當時，直線，直線，聯(lián)立，即兩直線交點坐標是，故D錯誤；故選：AC【點睛】結(jié)論點睛：本題主要考查兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系，常用結(jié)論：在斜率存時，（1） （）；（2）（），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.10．設(shè)圓的方程是，其中，，下列說法中正確的是（    ）A．該圓的圓心為 B．該圓過原點C．該圓與x軸相交于兩個不同點 D．該圓的半徑為【答案】BC【分析】根據(jù)圓的標準方程的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由圓的標準方程可知：該圓的圓心坐標為，半徑為，所以選項A、D不正確；因為，所以該圓過原點，因此選項B正確；在圓的方程中，令，有，或，因為，所以該圓與x軸相交于兩個不同點，因此選項C正確，故選：BC11．已知曲線C的方程為，則（    ）A．當時，曲線C是半徑為2的圓B．存在實數(shù)k，使得曲線C的離心率為的雙曲線C．當時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為D．“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件【答案】ACD【分析】根據(jù)曲線C的方程，由圓、橢圓和雙曲線的標準方程，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，曲線C的方程為，當時，曲線C為，曲線C為圓，半徑為2，所以A正確；使得曲線C為離心率為的雙曲線，可得，方程無解，所以B不正確；當時，曲線C為，表示焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，所以C正確；當時，曲線C為橢圓，焦點坐標在x軸上；當，曲線表示焦點坐標在y軸上的橢圓，所以“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”可知“”，反之不成立，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件，所以D正確.故選：ACD12．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則（    ）A．直線BD1⊥平面A1C1DB．三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值C．異面直線AP與A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【分析】在選項A中，推導出，，從而直線平面；在選項B中，由平面，得到到平面的距離為定值，再由△的面積是定值，從而三棱錐的體積為定值；在選項C中，異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與直線的夾角，可求取值范圍；在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解即可．【詳解】對于選項A，正方體中，，，且，平面，平面，平面，，同理，，，且，平面，直線平面，A選項正確；對于選項B，正方體中，平面，平面，平面，點在線段上運動，到平面的距離為定值，又△的面積是定值，三棱錐的體積為定值，B選項正確；對于選項C，， 異面直線與所成角為直線與直線的夾角．易知△為等邊三角形，當為的中點時，；當與點或重合時，直線與直線的夾角為．故異面直線與所成角的取值范圍是，C選項錯誤；對于選項D，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，點豎坐標為，，則，，，，所以，．由選項A正確：可知是平面的一個法向量，直線與平面所成角的正弦值為：，當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D選項正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知橢圓的短半軸長為2，離心率為，則橢圓的長軸長是__________．【答案】8【分析】由已知可求得，再根據(jù)離心率和的關(guān)系，即可求出，進而求得長軸長.【詳解】因為橢圓的短半軸長為2，所以，由離心率為可得，由 解得，所以橢圓的長軸長是8.故答案為：814．若實數(shù)滿足，則的取值范圍為_____________．【答案】【分析】由數(shù)形結(jié)合，為圓心的圓，則為圓上的點到原點的距離，則，即可求【詳解】為圓心的圓，則為圓上的點到原點的距離，如圖所示，則，，故答案為：15．雙曲線的左、右焦點分別是，直線與曲線C交于A，B兩點，，且，則雙曲線C的離心率是___________．【答案】【分析】根據(jù)對稱性可知，設(shè)，則，再根據(jù)余弦定理可用表示出，然后由雙曲線的定義即可求出．【詳解】如圖所示：根據(jù)雙曲線和直線的對稱性可知，，設(shè)，則，在中，，解得，所以由雙曲線定義可得，即，所以．故答案為：．16．如圖所示，三棱錐的側(cè)棱長都相等，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點，為直線上的動點，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值為_________.【答案】【分析】由題設(shè)可得構(gòu)建為原點的空間直角坐標系，根據(jù)已知標注相關(guān)點的坐標，設(shè)，，，可得的坐標，進而求面與面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示得到關(guān)于的表達式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求其最大值.【詳解】底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，則≌，∴，設(shè)，則，∵為的中點，則，∴，即，以為原點，如圖建立空間直角坐標系，則、、、，設(shè)，，，則，而，，∴、、，∴，∴、、、，設(shè)面的一個法向量，則，即，令，則，設(shè)面的一個法向量 ，則，即，令，則，面與面所成銳二面角的平面角為，則，當時 ，即的最大值為.故答案為：. 四、解答題17．已知空間三點，設(shè)，．(1)設(shè)，求；(2)若與互相垂直，求．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）寫出，，再寫出，計算其模即可.（2）寫出，，垂直則其點乘為0，得到方程解出即可.【詳解】（1），,，故；（2），，因為與互相垂直,則， 即，化簡得，解得或.18．已知以點為圓心的圓與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)過點的作圓C的切線，求切線方程．【答案】(1)；(2)和． 【分析】（1）由點到直線距離公式得圓半徑后可得圓方程；（2）分類討論，檢驗斜率不存在的直線是否為切線，斜率存在時設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，圓半徑不，所以圓方程為；（2）易知過點斜率不存在的直線是圓的切線，再設(shè)斜率存在的切線方程為，即，，解得，直線方程為，即．所以切線方程是和．19．如圖在直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，D為中點．(1)求證：平面．(2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析．(2) 【分析】（1）連接交于，證明，即可得線面平行；（2）首先到平面的距離等于到平面的距離，由且體積法可求得點面距．【詳解】（1）連接交于，如圖，則是中點，又是中點，所以，平面，平面，所以平面；（2）由與平面，交于點，是中點知，到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，由平面，平面得，所以，，，，又，所以，，，由得，，所以到平面的距離為．20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，PA=PB=AB=2，E為AD中點．(1)證明：AC⊥PE；(2)若AC=2，F點在線段AD上，當直線PF與平面PCD所成角的正弦值為，求AF的長．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）構(gòu)造輔助線證明線面垂直得到線線垂直.（2）建立空間直角坐標系利用向量方法表示線面角即可求得AF的長【詳解】（1）證明：取中點M，連接，又因為，所以，因為平面平面，平面平面．所以平面，又平面，所以，在中，因為M，E分別是中點，所以，由底面為菱形知，，所以．因為，所以平面，又平面，所以．（2）解：∵，∴為正三角形，即，由（1）知平面，∴以M為原點，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)面的法向量，由 ，即 取，依題意設(shè)，，則，設(shè)直線與平面所成角為，，解得或2（舍去）， ∴．21．已知雙曲線C的焦點在y軸，對稱中心O為坐標原點，焦距為，且過(1)求C的方程(2)若斜率為2的直線l與C交于P，Q兩點，且，求|PQ|．【答案】(1);(2). 【分析】（1）根據(jù)雙曲線上的點，結(jié)合雙曲線的定義可求得，從而可得雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理可求得參數(shù)，再根據(jù)弦長公式即可求得|PQ|.【詳解】（1）由已知，可設(shè)焦點坐標為，根據(jù)雙曲線的定義可知：，即，解得：，又，解得，故雙曲線的方程為：.（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程組可得：，，解得，則，∴，∵，∴，解得，因此.22．已知雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足．(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)設(shè)過F2且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段OF2上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．【答案】(1)(2)存在滿足條件的點D，證明見解析 【分析】（1）由已知可得，軌跡是橢圓，待定系數(shù)法求出方程.（2）假設(shè)存在一點，設(shè)l的方程代入橢圓方程，運用韋達定理，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，可得，運用數(shù)量積為0求得范圍，即可判斷存在性．【詳解】（1）雙曲線的方程可化為，則，，由橢圓的定義可得P點的軌跡E是以、為焦點，長軸為4的橢圓，由，可得，可得所求軌跡E的方程為；（2）線段上假設(shè)存在一點，使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形．設(shè)l的方程為，則，代入橢圓方程消去可得，設(shè)，則，∴，∵以為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴，由，的方向向量為，，即，由，可得，即．故存在滿足條件的點D． 

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