3.1.2 分段函數(shù)（第二課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)】1．知識(shí)與技能（1）掌握分段函數(shù)的定義（2）會(huì)求分段函數(shù)的解析式，會(huì)求分段函數(shù)的定義域和函數(shù)值（3）會(huì)運(yùn)用分段函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題2．過程與方法（1）初步掌握解決分段函數(shù)問題的基本方法。（2）通過教師引導(dǎo)，學(xué)生討論，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)、分析和解決問題的能力。3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀    培養(yǎng)理解和掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想方法；培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成探究式學(xué)習(xí)、自主式學(xué)習(xí)、合作式學(xué)習(xí)等優(yōu)秀的學(xué)習(xí)品質(zhì)。 【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】（1）重點(diǎn)：分段函數(shù)的概念；運(yùn)用分段函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題（2）難點(diǎn)：建立實(shí)際問題的分段函數(shù)關(guān)系【教學(xué)方法】  講、議結(jié)合，通過實(shí)際例子引出分段函數(shù)的定義，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣。通過學(xué)生的主動(dòng)參與，加深學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)尋找解決分段函數(shù)基本問題的基本方法。【課時(shí)安排】    1課時(shí)【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)函數(shù)的定義及表示方法1、函數(shù)的定義2、函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖像法二、基礎(chǔ)知識(shí)分段函數(shù)：如果函數(shù)在定義域的不同的范圍內(nèi)，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)為分段函數(shù).思考：分段函數(shù)對(duì)于自變量的不同取值對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，那么分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)還是幾個(gè)函數(shù)？（注意:分段函數(shù)在整個(gè)定義域上仍然是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù),只不過這個(gè)函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)有不同的對(duì)應(yīng)法則,需要用相應(yīng)的解析式來表示.）三、基礎(chǔ)自測 1.函數(shù)的定義域?yàn)?/span>（   ）A.             B.C.                   D.[解析]:由函數(shù)解析式得，解得，且.故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，選A.2.若，則（   ）A.                          B.C.                          D.[解析]:∵，∴，又，∴，選C.3.函數(shù)的圖象是（   ）[解析]:因?yàn)?/span>，所以B選項(xiàng)正確.4.（2020?江蘇徐州高一期中測試）已知函數(shù)，則的值為      .[解析]:∵，∴，∴. 【題型探究】題型一   分段函數(shù)的求值問題例1 已知函數(shù).（1）求；（2）若，求的值.[分析]:分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值或已知函數(shù)值列方程求字母的值.[解析]:（1），，；（2）當(dāng)時(shí)，，可得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得，符合題意；綜上可知，.[歸納提升]：求分段函數(shù)函數(shù)值的方法（1）先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.（2）然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.  【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】①已知，則的值是（   ）A.                               B.C.                               D.[解析]: .故選A.題型二   分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2 已知函數(shù).（1）用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）寫出函數(shù)的值域.[分析]: 先根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象.[解析]:（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以；（2）函數(shù)的圖象如圖所示：（3）由（2）知，在上的值域?yàn)?/span>.[歸納提升]：1.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟（1）定類型：根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點(diǎn)，先確定函數(shù)的類型.（2）設(shè)函數(shù)式：設(shè)出函數(shù)的解析式.（3）列方程（組）：根據(jù)圖象中的已知點(diǎn)，列出方程或方程組，求出該段內(nèi)的解析式.（4）下結(jié)論：最后用“”表示出各段的解析式，注意自變量的取值范圍.2.作分段函數(shù)圖象的注意點(diǎn)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，定義域分界點(diǎn)處的函數(shù)取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開或連接，特別注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】② 已知函數(shù).（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）若，求的值.[解析]:（1）函數(shù)圖象如圖所示：（2）由和函數(shù)圖象綜合判斷可知，當(dāng)時(shí)，得，      解得；當(dāng)時(shí)，得，解得或（舍去）.綜上可知的值為或.    題型三   分段函數(shù)的應(yīng)用問題例3  如圖，在邊長為的正方形的邊上有一點(diǎn)，沿折線由點(diǎn)（起點(diǎn)）向點(diǎn)（終點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式：（2）畫出的圖象；（3）若的面積不小于，求的取值范圍.[分析]:（1）點(diǎn)位置不同的形狀一樣嗎？（2）注意該函數(shù)的定義域.[解析]:（1）；（2）的圖象如圖所示：（3）即，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴的取值范圍是.[歸納提升]：利用分段函數(shù)求解實(shí)際應(yīng)用題的策略 （1）首要條件：把文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言． （2）解題關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)姆侄魏瘮?shù)模型． （3）思想方法：解題過程中運(yùn)用分類討論的思想方法．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】③某市有兩家羽毛球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同，俱樂部每塊場地每小時(shí)收費(fèi)元；俱樂部按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中小時(shí)以內(nèi)（含小時(shí)）每塊場地收費(fèi)元，超過小時(shí)的部分，每塊場地每小時(shí)元，某企業(yè)準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家俱樂部中的一家租用一塊場地開展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于小時(shí)，也不超過小時(shí)．（1）設(shè)在俱樂部租一塊場地開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為元，在俱樂部租一塊場地開展活動(dòng)小時(shí)的收費(fèi)為元，試求與的解析式；（2）問該企業(yè)選擇哪家俱樂部比較合算，為什么？[解析]:（1）由題，；（2）時(shí)，，解得：，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，選家俱樂部合算．當(dāng)時(shí)，兩家俱樂部一樣合算，當(dāng)時(shí)，選家俱樂部合算．【誤區(qū)警示】分段函數(shù)概念的理解錯(cuò)誤例4 求函數(shù)的定義域．[錯(cuò)解]:∵時(shí)，，時(shí)，， ∴當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>．[錯(cuò)因分析]:錯(cuò)解的原因是對(duì)分段函數(shù)概念不理解，認(rèn)為分段函數(shù)                    是兩個(gè)函數(shù)．[正解]：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，即，∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．     【學(xué)科素養(yǎng)】建模應(yīng)用能力 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程．主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題. 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式．?dāng)?shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力．在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題；能夠針對(duì)問題建立數(shù)學(xué)模型；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型；能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)．例5  某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為元，每生產(chǎn)一件新樣式單車需要增加投入元．根據(jù)初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數(shù)，其中，是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：件)，利潤＝總收益－總成本．（1）試將自行車廠的利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時(shí)自行車廠的利潤最大？最大利潤是多少？[分析]總成本＝固定成本＋可變成本，本題中，固定成本為元，可變成本為元．[解析]:（1）依題設(shè)，總成本為，則；（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則. 綜上可知，當(dāng)月產(chǎn)量件時(shí)，自行車廠的利潤最大，最大利潤是為元．[歸納提升]：求分段函數(shù)的最值，應(yīng)分別計(jì)算各段函數(shù)的最值，然后再比較它們的大小，確定最后的最值．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1 函數(shù)的概念及其表示

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