1.1      等腰三角形第4課時(shí) 等邊三角形的判定及含30角的直角三角形的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.能用所學(xué)的知識證明等邊三角形的判定定理;2.掌握含有30°角的直角三角形的性質(zhì)及其證明，并能利用這些定理解決一些簡單的問題．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等邊三角形的判定定理.難點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用．教學(xué)過程復(fù)習(xí)回顧等邊三角形有哪些性質(zhì)？1.等邊三角形的三條邊都相等.2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題探究新知一、預(yù)習(xí)新知（閱讀教材P10～P12的內(nèi)容，回答下面問題）1．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形．2．在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．3．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60；②有一個(gè)角等于60的等腰三角形；③一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(　D　)A．①③　 B．②③C．①②　 D．①②③二、合作探究問題1  一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？【互動】老師提問等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系.【總結(jié)】結(jié)合等腰三角形的判定定理，我們可得出等邊三角形的兩個(gè)判定定理：1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形.【互動】你能用學(xué)過的知識來證明這兩個(gè)定理嗎？【探索】已知：如圖，∠A= ∠ B=∠C.求證： △ABC是等邊三角形.證明：∵ ∠A= ∠ B,∴ AC=BC.∵ ∠B=∠C,∴ AB=AC.∴ AB=AC=BC.∴ △ABC是等邊三角形.已知： 如圖，若AB=AC , ∠A= 60.求證： △ABC是等邊三角形.證明：∵ ∠A= 60 ，∴∠B+∠C＝120.∵AB=AC，∴∠B＝∠C＝60.∴∠A= ∠ B=∠C.∴AB=AC=BC.∴△ABC是等邊三角形【互動】若AB=AC , ∠B=60. 你能證明 △ABC是等邊三角形嗎？試試看.問題2  用兩個(gè)含有30角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？【操作】  【互動】拼出的三角形中有等邊三角形嗎？說說你的理由？由此你想到，在直角三角形中, 30角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？【猜想】如圖1，在△ABC中,∠ACB=90，∠A=30，則有BC=AB.圖1                        圖2證明：如圖2，延長BC至點(diǎn)D,使CD=BC,連結(jié)AD，∵ ∠ACB＝90，∠BAC＝30，∴ ∠ACD＝90，∠B=60.∵ AC=AC，∴ △ABC≌△ADC（SAS）.∴ AB＝AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∴ △ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形）.∴ AB=BD.∴ BC＝BD=AB.【總結(jié)】定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．幾何語言：在△ABC中,∵∠ACB=90,∠A=30，∴BC=AB(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).例題講解例1  如圖，在△ABC中，已知AB=AC,∠B=15, CD是腰AB上的高，求證CD=AB.解：在△ABC中，∵AB=AC,∠B=15(已知)，∴∠B=∠ACB=15（等邊對等角），∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15+15=30.∵ CD是AB邊上的高，∴∠ADC=90，∴CD=AC（在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.∴CD=AB．三、新知應(yīng)用例2 已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形．【互動】(引發(fā)學(xué)生思考)證明△ABC是等邊三角形應(yīng)從哪些角度考慮？(邊、角)．結(jié)合已知條件，本題應(yīng)從邊的角度考慮證明△ABC是等邊三角形．【證明】由a2+c2=2ab+2bc-2b2，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，∴ a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，∴ (a－b)2＋(b－c)2＝0，∴ a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，∴ a＝b＝c，∴ △ABC是等邊三角形．例3  如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，CD是斜邊AB上的高，AD＝3 cm，求AB的長度.解：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90，∴∠ACD＝∠B＝30，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm，即AB的長度是12 cm.【總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．課堂小結(jié)1.等邊三角形的判定:有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．2.特殊的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30, 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．布置作業(yè)請完成教材習(xí)題1.4板書設(shè)計(jì)1  等腰三角形第4課時(shí)  等邊三角形的判定及含30角的直角三角形的性質(zhì)1.等邊三角形的兩個(gè)判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形.2.定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30, 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．幾何語言：在△ABC中,∵∠ACB=90,∠A=30，∴BC=AB．例2  已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形．例3  如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，CD是斜邊AB上的高，AD＝3 cm，求AB的長度.

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1 等腰三角形

版本： 北師大版

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