A．如果m?α，l∥m，則l∥α
B．如果m?α，n?α，m?β，n?β，則α∥β
C．如果α∥β，l?β，則l∥α
D．如果α∥β，m?α，n?β，則m∥n
2．在正方體EFGH - E1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的是( )
A．平面E1FG1與平面EGH1
B．平面FHG1與平面F1H1G
C．平面F1H1E與平面FHE1
D．平面E1HG1與平面EH1G
3．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
4．[2022·河北承德高一期末]如圖，在棱長為2的正方體ABCD - A1B1C1D1中，E、F分別為棱DD1、CC1的中點．
證明：平面AEC1∥平面BDF.
5.[2022·廣東中山高一期末]在下列條件中，可判定平面α與平面β平行的是( )
A．α，β都平行于直線a
B．α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等
C．l，m是α內(nèi)的兩條直線，且l∥β，m∥β
D．l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
6．如圖，空間圖形A1B1C1 - ABC是三棱臺，在點A1，B1，C1，A，B，C中取3個點確定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，則所取的這3個點可以是( )
A．A，B1，C B．A1，B，C1
C．A，B，C1 D．A，B1，C1
7．如圖，在長方體ABCD - A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則MN＝________AC.
8．如圖，在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別為棱AB，AC上的點，點G為棱AD的中點，且平面EFG∥平面BCD.
求證：BC＝2EF.
9．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求證：N為AC的中點．
10．[2022·湖南衡陽高一期末]如圖：正方體ABCD - A1B1C1D1棱長為2，E，F(xiàn)分別為DD1，BB1的中點．
(1)求證：CF∥平面A1EC1；
(2)過點D做正方體截面使其與平面A1EC1平行，請給以證明并求出該截面的面積．
11.如圖所示，在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.
(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)
12．[2022·福建寧德高一期中]如圖，四棱錐P - ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點．
(1)求證：CE∥平面PAD；
(2)過D點是否存在一個與PA，AB相交，且與平面PBC平行的平面？若存在，指出交點位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
答案：
1．解析：A：當l?α時，才能由m?α，l∥m，得到l∥α，所以本選項命題是假命題；B：只有當直線m與n相交，m∥β，n∥β時才能由m?α，n?α，得到α∥β，所以本選項命題是假命題；C：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知本選項命題是真命題；D：因為α∥β，m?α，n?β，所以直線m，n沒有交點，因此m，n可以平行也可以異面，所以本選項命題是假命題，故選C.
答案：C
2．解析：如圖，正方體EFGH - E1F1G1H1，EE1∥GG1，EE1＝GG1，
所以四邊形EE1G1G是平行四邊形，E1G1∥EG，E1G1?平面EGH1，
EG?平面EGH1，所以E1G1∥平面EGH1，同理G1F∥平面EGH1.
因為E1G1∩G1F＝G1，E1G1，G1F?平面E1FG1，
所以平面E1FG1∥平面EGH1.故選A.
答案：A
3．解析：因為平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG.
同理EH∥FG.
所以四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．
答案：平行四邊形
4．證明：連接EF，因為四邊形CC1D1D為平行四邊形，則CC1∥DD1且CC1＝DD1，
∵E、F分別為DD1、CC1的中點，則CF∥DE且CF＝DE，所以，四邊形CDEF為平行四邊形，則EF∥CD且EF＝CD，因為AB∥CD且AB＝CD，
∴EF∥AB且EF＝AB，故四邊形ABFE為平行四邊形，所以BF∥AE，
∵BF?平面AEC1，AE?平面AEC1，
∴BF∥平面AEC1，同理可證C1F∥DE且C1F＝DE，
所以四邊形C1EDF為平行四邊形，所以C1E∥DF，
∵DF?平面AEC1，C1E?平面AEC1，
∴DF∥平面AEC1，
∵BF∩DF＝F，BF，DF?平面BDF，所以平面AEC1∥平面BDF.
5．解析：對于A，當α∩β＝l，l∥a，a?α且a?β時，滿足α，β都平行于直線a，不能推出α∥β，A不能；對于B，當α∩β＝b，且在α內(nèi)直線b一側(cè)有兩點，另一側(cè)一個點，三點到β的距離相等時，不能推出α∥β，B不能；對于C，當l與m平行時，不能推出α∥β，C不能；對于D，因l∥α，l∥β，則存在過直線l的平面γ∩α＝l1，γ∩β＝l2，于是得l1∥l∥l2，l1?β，l2?β，則l1∥β，因m∥α，m∥β，則存在過直線m的平面δ∩α＝m1，δ∩β＝m2，于是得m1∥m∥m2，m1?β，m2?β，則m1∥β，又l，m是兩條異面直線，則l1，m1是平面α內(nèi)的兩條相交直線，所以α∥β，D能．故選D.
答案：D
6．解析：由空間圖形A1B1C1 - ABC是三棱臺，可得平面ABC∥平面A1B1C1，
當平面ABC1為平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m時，又平面α∩平面ABC＝AB，
所以由面面平行的性質(zhì)定理可知m∥AB，所以選項C符合要求．故選C.
答案：C
7．解析：∵平面MNE∥平面ACB1,
平面ABB1A1∩平面MNE＝ME，平面ABB1A1∩平面ACB1＝AB1，
平面CBB1C1∩平面MNE＝NE，平面CBB1C1∩平面ACB1＝CB1，
∴ME∥AB1，NE∥CB1.
∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC.
∴MN∥AC，MN＝ eq \f(1,2) AC.
答案： eq \f(1,2)
8．證明：因為平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG＝EG，
平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，
又G為AD的中點，故E為AB的中點，
同理可得，F(xiàn)為AC的中點，
所以BC＝2EF.
9．證明：∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四邊形ANC1M為平行四邊形，
∴AN＝C1M＝ eq \f(1,2) A1C1＝ eq \f(1,2) AC，∴N為AC的中點．
10．解析：(1)證明：取CC1中點M，連接ME，MB1，
由MC綊FB1，可得四邊形MCFB1為平行四邊形，則FC∥MB1，
由ME綊A1B1，可得四邊形MEA1B1為平行四邊形，則A1E∥MB1，
則A1E∥FC，又A1E?平面A1EC1，F(xiàn)C?平面A1EC1，則FC∥平面A1EC1；
(2)取AA1，CC1中點G，H，連接DG，GB1，B1H，HD，
因為四邊形ADHF為平行四邊形，所以AF∥DH.
因為四邊形AFB1G為平行四邊形，所以GB1∥AF，所以GB1 ∥DH.
所以GDHB1即為過點D的長方體截面，
∵DG∥A1E，A1E?平面A1EC1，DG?平面A1EC1，∴DG∥平面A1EC1.
∵DH∥ C1E，C1E?平面A1EC1，DH?平面A1EC1，∴DH∥平面A1EC1.
又∵DH∩DG＝D，∴平面DHB1G∥平面A1EC1.
SGDHB1＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(2) ×2 eq \r(3) ＝2 eq \r(6) .
11．解析：取B1C1中點Q，連接QN，QF，連接FH，如圖，由已知得QN，F(xiàn)H與CC1，BB1都平行且相等，因此FH與QN平行且相等，從而FQNH是平行四邊形，F(xiàn)Q∥HN，
H，N分別是CD，CB中點，則HN∥BD，HN?平面B1BDD1，BD?平面B1BDD1，
所以HN∥平面B1BDD1，同理NQ∥平面B1BDD1，
而HN∩NQ＝N，HN，NQ?平面FQNH，
所以平面FQNH∥平面BB1D1D，
因此只要M∈FH，就有MN∥平面B1BDD1.
答案：點M在線段FH上(答案不唯一)
12．解析：(1)證明：如圖，取PA的中點F，連接EF，DF，
因為E為PB的中點，所以EF∥AB，EF＝ eq \f(1,2) AB，
又AB∥CD，AB＝2CD，
所以EF∥CD，EF＝CD，因此四邊形CDFE為平行四邊形，
所以CE∥DF，又DF?平面PAD，CE?平面PAD，
因此CE∥平面PAD.
(2)存在，交點為PA的中點F和AB的中點H，
連接FH，DH，下面證明平面PBC∥平面DFH.
由(1)得CE∥DF，又DF?平面DFH，CE?平面DFH，
因此CE∥平面DFH，
因為F為PA的中點，H為AB的中點，所以FH∥PB，
又FH?平面DFH，PB?平面DFH，因此PB∥平面DFH，
又PB∩CE＝E，PB，CE?平面PBC，因此平面PBC∥平面DFH.

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8.5 空間直線、平面的平行

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