認(rèn)識一元二次方程  【教學(xué)目標(biāo)】1．知識與技能了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識解決問題。2．過程與方法（1）通過豐富的實例，讓學(xué)生合作探討，老師點評分析，建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一元二次方程的概念。（2）結(jié)合八冊上整式中的有關(guān)概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項等。（3）通過掌握缺一次項的一元二次方程的解法──直接開方法，導(dǎo)入用配方法解一元二次方程，又通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程。（4）通過用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0.3．情感、態(tài)度與價值觀經(jīng)歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，使同學(xué)們體會到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學(xué)們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景，使學(xué)生體會到建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。【教學(xué)重點】1．一元二次方程及其它有關(guān)的概念。2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。3．利用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個問題。【教學(xué)難點】1．一元二次方程配方法解題。2．用公式法解一元二次方程時的討論。3．建立一元二次方程實際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實際問題解的區(qū)別。【教學(xué)關(guān)鍵】1．分析實際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型。2．用配方法解一元二次方程的步驟。3．解一元二次方程公式法的推導(dǎo)。【教學(xué)目標(biāo)】了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目。1．通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義。2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念。3．解決一些概念性的題目。4．態(tài)度、情感、價值觀4．通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動：列方程。問題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個門的寬為_______尺，根據(jù)題意，得________。整理、化簡，得：__________。問題（2）如圖，如果，那么點C叫做線段AB的黃金分割點。如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=________，根據(jù)題意，得：________。整理得：_________。問題（3）有一面積為54M2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？如果假設(shè)剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是________，寬是_____，根據(jù)題意，得：_______。整理，得：________。老師點評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理。二、探索新知學(xué)生活動：請口答下面問題。（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)？（2）按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程。因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）。因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等。解：去括號，得：40-16x-10x+4x2=18移項，得：4x2-26x+22=0其中二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為-26，常數(shù)項為22．例2．（學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練）  將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項。分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式。解：去括號，得：x2+2x+1+x2-4=1移項，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次項2x2，二次項系數(shù)2；一次項2x，一次項系數(shù)2；常數(shù)項-4．三、應(yīng)用拓展例3．求證：關(guān)于x的方程（M2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程。分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明M2-8m+17≠0即可。證明：M2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程。四、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點評）本節(jié)課要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用。【作業(yè)布置】作業(yè)設(shè)計一、選擇題1．在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（  ）。①3x2+7=0  ②ax2+bx+c=0   ③（x-2）（x+5）=x2-1  ④3x2-=0A．1個B．2個C．3個D．4個2．方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）。A．2，3，-6    B．2，-3，18     C．2，-3，6     D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（  ）。A．p=1     B．p>0      C．p≠0      D．p為任意實數(shù)二、填空題1．方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為________，一次項系數(shù)為_________，常數(shù)項為_________。2．一元二次方程的一般形式是__________。3．關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是________。三、綜合提高題1．a滿足什么條件時，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？  2．關(guān)于x的方程（2M2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？3．一塊矩形鐵片，面積為1M2，長比寬多3m，求鐵片的長，小明在做這道題時，是這樣做的：設(shè)鐵片的長為x，列出的方程為x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0.小明列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少，下面是他的探索過程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3  所以，________<x<__________第二步：x3．13．23．33．4x2-3x-1-0.96-0.36  所以，________<x<__________（1）請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通過以上探索，估計出矩形鐵片的整數(shù)部分為_______，十分位為______。 答案：一、1．A  2．B  3．C二、1．3，-2，-4  2．ax+bx+c=0（a≠0）  3．a≠1三、1．化為：ax2+（a-+1）x+1=0，所以，當(dāng)a≠0時是一元二次方程。2．可能，因為當(dāng)，∴當(dāng)m=1時，該方程是一元二次方程。3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3．3，3．4  （2）3，3

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1 認(rèn)識一元二次方程

版本： 北師大版

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