3.1.1　函數(shù)及其表示方法
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探究點(diǎn)一　分段函數(shù)求值和解不等式問(wèn)題探究點(diǎn)二　分段函數(shù)的圖像及應(yīng)用探究點(diǎn)三　分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
通過(guò)具體實(shí)例,理解分段函數(shù)的概念,會(huì)描繪出分段函數(shù)的大致圖像,能正確地求出分段函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值.
如果一個(gè)函數(shù),在其定義域內(nèi),對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的　 　　　,則稱其為分段函數(shù).?
【診斷分析】 分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,那么分段函數(shù)是由幾個(gè)不同的函數(shù)構(gòu)成的嗎?
解:不是.分段函數(shù)的定義域只有一個(gè),只不過(guò)在定義域的不同區(qū)間上對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,所以分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù).
對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),y=[x]通常稱為取整函數(shù).
值域只有一個(gè)元素的函數(shù),通常稱為常數(shù)函數(shù).常數(shù)函數(shù)中所有自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都相等.
探究點(diǎn)一　分段函數(shù)求值和解不等式問(wèn)題
變式 (1)本例條件不變,若f(a)=3,求實(shí)數(shù)a的值.(2)本例條件不變,若f(x)>2x,求x的取值范圍.
[素養(yǎng)小結(jié)](1)分段函數(shù)求值的方法:①先確定要求的值屬于哪一段區(qū)間;②然后代入該段的解析式求值,直到求出值為止,當(dāng)出現(xiàn)f[f(x0)]的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值,可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值,但應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍,也可先判斷每一段上的函數(shù)值的取值范圍,確定解析式后再求解.
例2 [2021·北京陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中] 給定函數(shù)f(x)=4-x2,g(x)=3x,x∈R.(1)畫出函數(shù)f(x),g(x)的大致圖像;(2)?x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的較小者,記為m(x)=min{f(x),g(x)},請(qǐng)分別用圖像法和解析法表示函數(shù)m(x).
探究點(diǎn)二　分段函數(shù)的圖像及應(yīng)用
變式 (1)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖3-1-11所示,求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)把函數(shù)y=|2x+3|-1寫成分段函數(shù)的形式,求出定義域和值域并作出函數(shù)的圖像.
[素養(yǎng)小結(jié)]分段函數(shù)圖像的畫法:(1)對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù),要作出其圖像,首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào),將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后分段作出函數(shù)圖像;(2)作分段函數(shù)的圖像時(shí),分別作出各段的圖像,在作每一段圖像時(shí),先不管定義域的限制,作出其圖像,再保留定義域內(nèi)的一段圖像即可,作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí),保證不重不漏.
探究點(diǎn)三　分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
例3 國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法:不超過(guò)800元的不納稅;超過(guò)800元而不超過(guò)4000元的按超過(guò)800元部分的14%納稅;超過(guò)4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書(shū)共納稅420元,則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)( 　 )A.2800元　B.3000元C.3800元　D.3750元
變式 某市“招手即停”公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定:(1)5 km以內(nèi)(含5 km),票價(jià)2元;(2)5 km以上,每增加5 km,票價(jià)增加1元(不足5 km的按5 km計(jì)算).如果某條線路的總路程為20 km,請(qǐng)根據(jù)題意寫出票價(jià)與路程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖像.
[素養(yǎng)小結(jié)]分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用:(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算方式時(shí),往往需要用分段函數(shù)模型來(lái)表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,而分段函數(shù)的圖像也需要分段畫;(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn),即明確自變量的取值區(qū)間,對(duì)每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討論,從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式.
[解析] 由題意得f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,故選C.
[解析] 由題知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]∪(1,2)∪[2,+∞),即[0,+∞).
關(guān)于分段函數(shù)(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).(2)研究分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí),應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則,尤其是在作分段函數(shù)的圖像時(shí),可將各段的圖像分別畫出來(lái),從而得到整個(gè)函數(shù)的圖像.(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,其值域是各段值域的并集,寫定義域時(shí),區(qū)間端點(diǎn)應(yīng)不重不漏.(4)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),自變量的取值屬于哪一段,就用哪一段的解析式求解.
(-∞,0)∪(0,+∞)
[解析] (1)定義域?yàn)楦鞫蔚牟⒓?即(-∞,0)∪(0,+∞).因?yàn)閤>0,所以x2>0,由于值域?yàn)楦鞫蔚牟⒓?所以函數(shù)的值域?yàn)閧-2}∪(0,+∞).
{-2}∪(0,+∞)
(2)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為　　 .?

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版本： 人教B版 (2019)

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