A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2\r(2),3)
解析：選C ∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2eq \r(2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
2．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(1,2)，則( )
A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b
解析：選B 因?yàn)闄E圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以a2＝4c2.
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到左頂點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D．x2＋eq \f(y2,4)＝1
解析：選A 依題意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
4．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析：選C 依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故選C.
5．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，則橢圓的離心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
解析：選D ∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴|eq \(AP,\s\up7(―→))|＝2|eq \(PB,\s\up7(―→))|.
又∵PO∥BF，∴eq \f(|PA|,|AB|)＝eq \f(|AO|,|AF|)＝eq \f(2,3)，
即eq \f(a,a＋c)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則該橢圓的離心率是________；△ABF2的周長(zhǎng)是________．
解析：由題意得a＝2，c2＝a2－b2＝2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
答案：eq \f(\r(2),2) 8
7．已知長(zhǎng)方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D的橢圓的離心率為________．
解析：如圖，AB＝2c＝4，
∵點(diǎn)C在橢圓上，
∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，
∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值為_________.
解析：由題意，F(xiàn)(－1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則有eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，解得yeq \\al(2,0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))，因?yàn)閑q \(FP,\s\up7(―→))＝(x0＋1, y0)，eq \(OP,\s\up7(―→))＝(x0, y0),
所以eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))＝x0(x0＋1)＋yeq \\al(2,0)
＝x0(x0＋1)＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))＝eq \f(x\\al(2,0),4)＋x0＋3，
此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0＝－2，
因?yàn)椋?≤x0≤2，所以當(dāng)x0＝2時(shí)，eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))取得最大值eq \f(22,4)＋2＋3＝6.
答案：6
9．求經(jīng)過點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：設(shè)所求橢圓方程為eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)．
解：橢圓方程可化為eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1，
由m>0，易知m>eq \f(m,m＋3)，
∴a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3).
∴c＝eq \r(a2－b2)＝ eq \r(\f(m?m＋2?,m＋3)).
由e＝eq \f(\r(3),2)，得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，解得m＝1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1.
∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2).
∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1，
兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，F(xiàn)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，
頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
1．[多選]若橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的離心率為eq \f(4,5)，則k的值可能為( )
A．－21 B．21
C．－eq \f(19,25) D．eq \f(19,25)
解析：選BC 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝9，b2＝4＋k，得c2＝5－k.由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，得k＝－eq \f(19,25)；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝4＋k，b2＝9，得c2＝k－5.
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq \f(4,5)，得k＝21.
2．已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))
解析：選A 在橢圓x2＋my2＝1中，當(dāng)0

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