第七章隨機變量及其分布7.4　二項分布與超幾何分布課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標練1.甲、乙兩人進行羽毛球比賽,比賽采取五局三勝制,無論哪一方先勝三局比賽都結(jié)束,假定甲每局比賽獲勝的概率均為,則甲以3∶1的比分獲勝的概率為(　　)A. B. C. D.解析當甲以3∶1的比分獲勝時,說明甲乙兩人在前三場比賽中,甲只贏了兩局,乙贏了一局,第四局甲贏,所以甲以3∶1的比分獲勝的概率為P=21-×=3×,故選A.答案A2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,則n與p的值分別為(　　)A.100和0.08 B.20和0.4C.10和0.2 D.10和0.8解析因為X~B(n,p),所以解得n=10,p=0.8.答案D3.已知隨機變量X~B(100,0.2),則D(4X+3)的值為 (　　)A.64 B.256 C.259 D.320解析∵X~B(100,0.2),∴D(X)=100×0.2×0.8=16.D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.答案B4.口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球,每次有放回地摸取一個球,定義數(shù)列{an},an=如果Sn為數(shù)列{an}的前n項和,那么S7=3的概率為 (　　)A. B.C. D.解析由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取紅球,5次摸取白球,而每次摸取紅球的概率為,摸取白球的概率為,則S7=3的概率為,故選B.答案B5.(2020河北高二月考)在10個排球中有6個正品,4個次品.從中抽取4個,則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為(　　)A. B. C. D.解析正品數(shù)比次品數(shù)少,有兩種情況:0個正品、4個次品或1個正品、3個次品,由超幾何分布的概率可知,當0個正品、4個次品時,概率為.當1個正品、3個次品時,概率為.所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為.答案A6.(2019江蘇高二期末)10件產(chǎn)品中有2件次品,從中隨機抽取3件,則恰有1件次品的概率是　　　　. 解析設(shè)事件A為“從中隨機抽取3件,則恰有1件次品”,則P(A)=.答案7.在4次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率為,則在1次試驗中事件A發(fā)生的概率為　　　　　. 解析設(shè)在一次試驗中,事件A發(fā)生的概率為p,由題意知,1-(1-p)4=,所以(1-p)4=,故p=.答案8.某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū),設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的.該市的4位申請人中恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為　　　　　. 解析每位申請人申請房源為一次試驗,這是4次獨立重復(fù)試驗,設(shè)申請A片區(qū)房源為A,則P(A)=,所以恰有2人申請A片區(qū)的概率為.答案9.網(wǎng)上購物逐步走進大學(xué)生活,某大學(xué)學(xué)生宿舍4人積極參加網(wǎng)購,大家約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪家購物,擲出點數(shù)為5或6的人去A網(wǎng)購物,擲出點數(shù)小于5的人去B網(wǎng)購物,且參加者必須從A網(wǎng)和B網(wǎng)選擇一家購物.(1)求這4個人中恰有1人去A網(wǎng)購物的概率;(2)用ξ,η分別表示這4個人中去A網(wǎng)和B網(wǎng)購物的人數(shù),令X=ξη,求隨機變量X的分布列.解依題意,得這4個人中,每個人去A網(wǎng)購物的概率為,去B網(wǎng)購物的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去A網(wǎng)購物”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),則P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).(1)這4個人中恰有1人去A網(wǎng)購物的概率為3=.(2)X的所有可能取值為0,3,4,則P(X=0)=P(A0)+P(A4)=0×4+4×0=,P(X=3)=P(A1)+P(A3)=1×3+3×1=,P(X=4)=P(A2)=22=.所以隨機變量X的分布列為X034P  能力提升練1.種植某種樹苗,成活率為0.9.若種植這種樹苗5棵,則恰好成活4棵的概率約為(　　)A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45解析根據(jù)n次獨立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率公式得到種植這種樹苗5棵,則恰好成活4棵的概率為·0.94(1-0.9)≈0.33,故選A.答案A2.在4次獨立重復(fù)試驗中,隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是(　　)A.[0.4,1] B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1)解析由題意得,·p(1-p)3≤p2(1-p)2,∴4(1-p)≤6p.∵0<p≤1,∴0.4≤p≤1.答案A3.一次測量中出現(xiàn)正誤差和負誤差的概率都是,在5次測量中恰好2次出現(xiàn)正誤差的概率是(　　)A. B. C. D.解析由獨立重復(fù)試驗的定義知,在5次測量中恰好2次出現(xiàn)正誤差的概率P=.答案A4.設(shè)隨機變量X~B(2,p),隨機變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,則P(Y≥1)=　　　　. 解析∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=.又Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.答案5.(2020濰坊高三月考)有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)=　　　　　. 解析根據(jù)題意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.答案6.位于坐標原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動:質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向為向上或向右,并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是　　　　　　　. 解析由于質(zhì)點每次移動一個單位,移動的方向為向上或向右,移動五次后位于點(2,3),所以質(zhì)點P必須向右移動兩次,向上移動三次,故其概率為3·2=5=5=.答案7.(2020廣西高三模擬)甲、乙兩人參加某種選拔測試,在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙能答對其中的8道題,規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出4道題進行測試,只有選中的4個題目均答對才能入選.(1)求甲恰有2個題目答對的概率;(2)求乙答對的題目數(shù)X的分布列;(3)試比較甲、乙兩人平均答對的題目數(shù)的大小,并說明理由.解(1)∵甲在備選的10道題中,答對其中每道題的概率都是,∴選中的4個題目甲恰有2個題目答對的概率P=.(2)由題意知乙答對的題目數(shù)X的可能取值為2,3,4,則P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故X的分布列為X234P (3)乙平均答對的題目數(shù)E(X)=2×+3×+4×.∵甲答對題目數(shù)Y~B4,,∴甲平均答對的題目數(shù)E(Y)=4×.∵E(X)=E(Y),∴甲平均答對的題目數(shù)等于乙平均答對的題目數(shù).8.甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響,每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標的概率.(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率.(3)假設(shè)每人連續(xù)2次未擊中目標,則終止其射擊.問:乙恰好射擊5次后,被終止射擊的概率是多少?解(1)記“甲連續(xù)射擊4次,至少有1次未擊中目標”為事件A1,則事件A1的對立事件為“甲連續(xù)射擊4次,全部擊中目標”.由題意知,射擊4次相當于做4次獨立重復(fù)試驗.故P()=4=.所以P(A1)=1-P()=1-.所以甲連續(xù)射擊4次,至少有1次未擊中目標的概率為.(2)記“甲射擊4次,恰好有2次擊中目標”為事件A2,“乙射擊4次,恰好有3次擊中目標”為事件B2,則P(A2)=×2×1-2=,P(B2)=×3×1-1=.由于甲、乙射擊相互獨立,故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=.所以兩人各射擊4次,甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率為.(3)記“乙恰好射擊5次后,被終止射擊”為事件A3,“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i=1,2,3,4,5),則A3=D5D4D1∪D2),且P(Di)=.由于各事件相互獨立,故P(A3)=P(D5)P(D4)·P()P(D1∪D2)=×1-=.所以乙恰好射擊5次后,被終止射擊的概率為.素養(yǎng)培優(yōu)練(2020福建高三模擬)一款小游戲的規(guī)則如下:每輪游戲要進行三次,每次游戲都需要從裝有大小相同的2個紅球、3個白球的袋中隨機摸出2個球,若摸出的“兩個都是紅球”出現(xiàn)3次獲得200分,若摸出“兩個都是紅球”出現(xiàn)1次或2次獲得20分,若摸出“兩個都是紅球”出現(xiàn)0次則扣除10分(即獲得-10分).(1)設(shè)每輪游戲中出現(xiàn)“摸出兩個都是紅球”的次數(shù)為X,求X的分布列;(2)玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn),若干輪游戲后,與最初的分數(shù)相比,分數(shù)沒有增加反而減少了,請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析解釋上述現(xiàn)象.解(1)每次游戲,出現(xiàn)“兩個都是紅球”的概率為P=.X可能的取值為0,1,2,3,則P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列為X0123P (2)設(shè)每輪游戲得分為Y.由(1)知,Y的分布列為X-1020200P E(Y)=-10×+20×+200×=-1.69.這表明,獲得分數(shù)Y的均值為負.因此,多次游戲之后大多數(shù)人的分數(shù)減少了.

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7.4 二項分布與超幾何分布

版本： 人教A版 (2019)

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