?2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬科版】
專題21.6二次函數(shù)的應(yīng)用
姓名：__________________ 班級：______________ 得分：_________________
注意事項：
本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2021春?藍(lán)田縣期中）以固定的初速度v0（米/秒）向上拋一個小球，小球的高度h（米）與小球的運(yùn)動時間t（秒）之間的關(guān)系式是h＝v0t﹣4.9t2，在這個關(guān)系式中，常量為（　?。?br /> A．﹣4.9和v0 B．v0和t C．t D．h
【分析】根據(jù)在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量，即可答題．
【解析】h＝v0t﹣4.9t2中的v0（米/秒）是固定的速度，﹣4.9是定值，
故v0和﹣4.9是常量，t、h是變量，
故選：A．
2．（2020秋?文登區(qū)期末）某商場經(jīng)營一種小商品，已知進(jìn)購時單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是30元時，月銷售量為240件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件商品的售價不能高于40元．當(dāng)月銷售利潤最大時，銷售單價為（　?。?br /> A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【分析】由每件首飾售價不能高于40元，得出x的取值范圍；根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出y關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解析】∵每件首飾售價不能高于40元，
∴0≤x≤10，
依題意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x）
＝﹣10x2+140x+2400
＝﹣10（x﹣7）2+2890，
∴當(dāng)x＝7時，y最大＝2890，
∴每件首飾售價為30+7＝37（元），
故選：C．
3．（2020秋?夏津縣期末）某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子OA，O恰為水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．在過OA的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是y＝﹣x2+2x+3，則下列結(jié)論錯誤的是（　　）

A．柱子OA的高度為3m
B．噴出的水流距柱子1m處達(dá)到最大高度
C．噴出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半徑至少要3m才能使噴出的水流不至于落在池外
【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)解析式可以判斷各個小題中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解析】∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴當(dāng)x＝0時，y＝3，即OA＝3m，故A選項正確，
當(dāng)x＝1時，y取得最大值，此時y＝4，故B選項正確，C選項錯誤，
當(dāng)y＝0時，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D選項正確，
故選：C．
4．（2021?朝陽區(qū)校級模擬）如圖所示，將一根長2m的鐵絲首尾相接圍成矩形，則矩形的面積與其一邊滿足的函數(shù)關(guān)系是（　?。?br />
A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系
C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系
【分析】設(shè)矩形的一邊長為xm，則另一邊的長為（2÷2﹣x）m，令矩形的面積為ym2，由題意可列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，化簡即可得出答案．
【解析】設(shè)矩形的一邊長為xm，則另一邊的長為（2÷2﹣x）m，令矩形的面積為ym2，由題意得：
y＝x（2÷2﹣x）
＝x（1﹣x）
＝﹣x2+x，
∴矩形的面積與其一邊滿足的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣x2+x，即滿足二次函數(shù)關(guān)系．
故選：C．
5．（2020秋?中山市期末）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論：①小球拋出3秒時達(dá)到最高點；②小球從拋出到落地經(jīng)過的路程是80m；③小球的高度h＝20時，t＝1s或5s．④小球拋出2秒后的高度是35m．其中正確的有（　　）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【分析】由圖象可知，點（0，0），（6，0），（3，40）在拋物線上，頂點為（3，40），設(shè)函數(shù)解析式為h＝a（t﹣3）2+40，用待定系數(shù)法求得解析式，再逐個選項分析或計算即可．
【解析】由圖象可知，點（0，0），（6，0），（3，40）在拋物線上，頂點為（3，40），
設(shè)函數(shù)解析式為h＝a（t﹣3）2+40，
將（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a=-409，
∴h=-409（t﹣3）2+40．
①∵頂點為（3，40），
∴小球拋出3秒時達(dá)到最高點，故①正確；
②小球從拋出到落地經(jīng)過的路程應(yīng)為該小球從上升到落下的長度，故為40×2＝80m，故②正確；
③令h＝20，則20=-409（t﹣3）2+40，
解得t＝3±322，故③錯誤；
④令t＝2，則h=-409（2﹣3）2+40=3209m，故④錯誤．
綜上，正確的有①②．
故選：A．
6．（2020秋?龍華區(qū)期末）如圖，預(yù)防新冠肺炎疫情期間，某校在校門口用塑料膜圍成一個臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)一面靠長為5m的墻，隔離區(qū)分成兩個區(qū)域，中間用塑料膜隔開．已知整個隔離區(qū)塑料膜總長為12m，如果隔離區(qū)出入口的大小不計，并且隔離區(qū)靠墻的面不能超過墻長，小明認(rèn)為：隔離區(qū)的最大面積為12m2；小亮認(rèn)為：隔離區(qū)的面積可能為9m2．則：（　?。?br />
A．小明正確，小亮錯誤 B．小明錯誤，小亮正確
C．兩人均正確 D．兩人均錯誤
【分析】設(shè)隔離區(qū)靠近墻的長度為xm（0＜x≤5），隔離區(qū)的面積為Sm2，根據(jù)矩形的面積公式列出S關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，求得其對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及走不了了的取值范圍可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根據(jù)自變量的取值范圍作出取舍，則可判斷小亮的說法．
【解析】設(shè)隔離區(qū)靠近墻的長度為xm（0＜x≤5），隔離區(qū)的面積為Sm2，由題意得：
S=12-x3×x
=-13x2+4x，
∴對稱軸為x=-42×(-13)=6，
∵0＜x≤5，拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，S隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝5時，S有最大值：
Smax=-13×52+4×5
=-253+20
=353．
∵9＜353＜12，
∴小明錯誤；
令S＝9得：9=-13x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3時，S＝9．
∴隔離區(qū)的面積可能為9m2．
故選：B．
7．（2020秋?南漳縣期末）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1
B．當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大
C．當(dāng)x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)最小值是0
D．當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值是4
【分析】觀察圖象，分別計算出對稱軸、函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，結(jié)合圖象逐個選項分析判斷即可．
【解析】觀察圖象可知，圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=-b2a=1，故A正確；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，
又對稱軸是直線x＝1，
∴當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故B正確；
由圖象可知（﹣1，0）和（3，0）是函數(shù)圖象的最低點，則當(dāng)x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)最小值是0，故C正確；
由圖象可知，當(dāng)x＜﹣1時，函數(shù)值隨x的減小而增大，當(dāng)x＞3時，函數(shù)值隨x的增大而增大，均存在大于頂點坐標(biāo)的函數(shù)值，
故當(dāng)x＝1時的函數(shù)值4并非最大值，故D錯誤．
綜上，只有D錯誤．
故選：D．
8．（2021?蕪湖模擬）小明準(zhǔn)備畫一個二次函數(shù)的圖象，他首先列表（如下表），但在填寫函數(shù)值時，不小心把其中一個蘸上了墨水（表中），那么這個被蘸上了墨水的函數(shù)值是（　?。?br /> x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…

3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
【分析】由圖表可知，x＝0和2時的函數(shù)值相等，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可．
【解析】∵x＝0、x＝2時的函數(shù)值都是3相等，
∴此函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=0+22=1．
∴這個被蘸上了墨水的函數(shù)值是0，
故選：D．
9．（2020秋?思明區(qū)校級期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式滿足y=-65t2+60t，則飛機(jī)著陸至停下來滑行的距離是（　?。?br /> A．25m B．50m C．625m D．750m
【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式求出y的最大值即可得．
【解析】∵y＝60t-65t2=-65（t﹣25）2+750，
∴當(dāng)t＝25時，y取得最大值750，
即飛機(jī)著陸后滑行750米才能停下來，
故選：D．
10．（2021?鐵嶺模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．
①拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點；
②若點M（﹣2，y1）、點N（12，y2）、點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；
③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；
④點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為34+2．
其中正確的判斷有 （　?。?br />
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判斷所得一元二次方程的根的情況便可得判斷正確；
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
③根據(jù)平移的公式求出平移后的解析式便可；
④因BC邊一定，只要其他三邊和最小便可，作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，作C點關(guān)于x軸的對稱點C′，連接B′C′，與x軸、y軸分別交于D、E點，求出B′C′便是其他三邊和的最小值．
【解析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程兩個相等的實數(shù)根，則拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點，故①結(jié)論正確；

②∵拋物線的對稱軸為x＝1，
∴點P（2，y3）關(guān)于x＝1的對稱點為P′（0，y3），
∵a＝﹣1＜0，
∴當(dāng)x＜1時，y隨x增大而增大，
又∵﹣2＜0＜12，點M（﹣2，y1）、點N（12，y2）、點P′（0，y3）在該函數(shù)圖象上，
∴y2＞y3＞y1，故②結(jié)論錯誤；

③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，拋物線的解析式為：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③結(jié)論正確；

④當(dāng)m＝1時，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作點B關(guān)于y軸的對稱點B′（﹣1，3），作C點關(guān)于x軸的對稱點C′（2，﹣2），連接B′C′，與x軸、y軸分別交于D、E點，如圖，

則BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根據(jù)兩點之間線段最短，知B′C′最短，而BC的長度一定，
∴此時，四邊形BCDE周長＝B′C′+BC最小，為：B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2，故④結(jié)論正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．
故選：C．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上
11．（2021春?蕭山區(qū)月考）一個球從地面上豎直向上彈起的過程中，距離地面高度h（米）與經(jīng)過的時間t（秒）滿足以下函數(shù)關(guān)系：h＝﹣5t2+15t，則該球從彈起回到地面需要經(jīng)過　3　秒，距離地面的最大高度為　454　米．
【分析】當(dāng)該球從彈起回到地面時h＝0，代入求出時間t即可；對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方找到最大值即距離地面的最大高度．
【解析】當(dāng)該球從彈起回到地面時h＝0，
∴0＝﹣5t2+15t，
解得：t1＝0或t2＝3，
t＝0時小球還未離開地面，
∴t＝3時小球從彈起回到地面；
∵h(yuǎn)＝﹣5t2+15t＝﹣5（t-32）2+454，﹣5＜0，
∴當(dāng)t=32時，h取得最大值454；
故答案為：3，454．
12．（2021?大東區(qū)一模）如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，張大爺利用舊墻和籬笆圍成一個矩形菜園ABCD，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米籬笆，若a＝30米，則矩形菜園ABCD面積的最大值為　1050平方米?。?br />
【分析】設(shè)AB為x米，則BC＝（100﹣2x）米，由含x代數(shù)式表示出菜園面積，再將解析式配方求解．
【解析】設(shè)AB為x米，則BC＝（100﹣2x）米，矩形菜園ABCD面積為y．
由題意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴當(dāng)x＝35時，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050為最大值，
故答案為：1050平方米．
13．（2021春?洪山區(qū)校級月考）飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是y＝60t-65t2，飛機(jī)著陸至停下來共滑行　750m?。?br /> 【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式求出y的最大值即可得．
【解析】∵y＝60t-65t2=-65（t﹣25）2+750，
∴當(dāng)t＝25時，y取得最大值750，
即飛機(jī)著陸后滑行750米才能停下來，
故答案為：750m．
14．（2021?綠園區(qū)一模）如圖，某拋物線型橋拱的最大高度為16米，跨度為40米，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為　y=-125x2+85x?。?br />
【分析】由圖象可知拋物線頂點坐標(biāo)（20，16），經(jīng)過（0，0），（40，0）．利用頂點式即可解決問題．
【解析】由圖象可知拋物線頂點坐標(biāo)（20，16），經(jīng)過（0，0），（40，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣20）2+16，把（0，0）代入得到a=-125，
∴拋物線的解析式為y=-125（x﹣20）2+16，
即y=-125x2+85x，
故答案為：y=-125x2+85x．
15．（2021?寬城區(qū)一模）如圖，雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，一名演員從蹺蹺板右端A處恰好彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線y=-35x2+bx+1的一部分，跳起的演員距點A所在y軸的水平距離為2.5米時身體離地面最高．若人梯到起跳點A的水平距離為4米，則人梯BC的高為　3.4　米．

【分析】根據(jù)題意可得拋物線的對稱軸為x＝2.5，可求得b的值，點B的橫坐標(biāo)為4，代入后可得出點B的縱坐標(biāo)，繼而得出人梯高BC的長度．
【解析】∵跳起的演員距點A所在y軸的水平距離為2.5米時身體離地面最高．
∴拋物線的對稱軸為x＝2.5，
∴x=-b2×(-35)=2.5，解得：b＝3，
∴拋物線為y=-35x2+3x+1，
∵人梯到起跳點A的水平距離是4，
∴點B的橫坐標(biāo)為4，
則yB=-35×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案為：3.4．
16．（2021?二道區(qū)校級一模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A、B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為8m，AB＝24m，D，E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，若DE的長為36m，則點E到直線AB的距離為　10m?。?br />
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，DE在x軸上，y軸經(jīng)過最高點C，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣18）（x+18），OH＝k，用含k的式子表示出點A和點C的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式，得方程組，解得a和k的值，則k的值即為所求的答案．
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，DE在x軸上，y軸經(jīng)過最高點C，

設(shè)AB與y軸交于點H，
∵DE＝36m，
∴D（﹣18，0），E（18，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣18）（x+18），
∵AB＝24m，
∴AH＝BH＝12m，
設(shè)OH＝k，則A（﹣12，k），
∵拱橋最高點C到AB的距離為8m，
∴C（0，k+8），
將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得：
k=a(-12-18)(-12+18)k+8=a(0-18)(0+18)，
解得：a=-118k=10，
∴點E到直線AB的距離為10m．
故答案為：10m．
17．（2021?溫州一模）某游樂園有一圓形噴水池（如圖），中心立柱AM上有一噴水頭A，其噴出的水柱距池中心3米處達(dá)到最高，最遠(yuǎn)落點到中心M的距離為9米，距立柱4米處地面上有一射燈C，現(xiàn)將噴水頭A向上移動1.5米至點B（其余條件均不變），若此時水柱最高處D與A，C在同一直線上，則水柱最遠(yuǎn)落點到中心M的距離增加了?。?212-6）　米．

【分析】過點D作DF⊥x軸，交移動前水柱于點E，交x軸與點F，設(shè)當(dāng)x＞0時，拋物線解析式為：y＝a（x﹣3）2+h，然后分別表示出點A和點E的坐標(biāo)，利用圖形相似，求出a和h的值，最后求出x＞0時向上平移后圖象解析式，進(jìn)而得到M的最遠(yuǎn)距離，再減去原來的9米，即為增加的距離．
【解析】如圖，過點D作DF⊥x軸，交移動前水柱于點E，交x軸與點F，

∵AM⊥x軸，
∴AM∥DF，
∴△ACM∽△DCF，
∴CMCF=AMDF，
其中CM＝4，CF＝CM+MF＝4+3＝7，
設(shè)當(dāng)x＞0時，拋物線解析式為：y＝a（x﹣3）2+h，
當(dāng)x＝0時，y＝9a+h，
∴點A的坐標(biāo)為（0，9a+h），
∴AM＝9a+h
當(dāng)x＝3時，y＝h，
∴點E（3，h），
∴EF＝h，DF＝h+1.5，
∴47=9a+hh+1.5
∴21a+h＝2 ①，
又最遠(yuǎn)落點到中心M的距離為9米，
∴x＝9時，y＝0，
即36a+h＝0 ②，
聯(lián)立①和②，可得：a=-215，h=245，
∴當(dāng)x＞0時，拋物線解析式為：y=-215（x﹣3）2+245，
將拋物線向上平移1.5m，
∴當(dāng)x＞0時，新的拋物線解析式y(tǒng)'=-215（x﹣3）2+6.3，
此時當(dāng)y＝0時，x＝3+3212（已舍棄負(fù)值），
則水柱水柱最遠(yuǎn)落點到中心M的距離增加了（3212-6）米，
故答案為：（3212-6）．
18．（2021春?福田區(qū)校級月考）已知某商品每箱盈利13元．現(xiàn)每天可售出50箱，如果每箱商品每漲價1元，日銷售量就減少2箱．則每箱漲價　6　元時，每天的總利潤達(dá)到最大．
【分析】直接利用每箱利潤×銷量＝總利潤，進(jìn)而得出關(guān)系式求出答案．
【解析】設(shè)每箱漲價x元，總利潤為y，根據(jù)題意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱漲價6元時，每天的總利潤達(dá)到最大．
故答案為：6．
三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2021?長沙模擬）疫情期間，按照防疫要求，學(xué)生在進(jìn)校時必須排隊接受體溫檢測．某校統(tǒng)計了學(xué)生早晨到校情況，發(fā)現(xiàn)從7：00開始，在校門口的學(xué)生人數(shù)y（單位：人）隨時間x（單位：分鐘）的變化情況的圖象是二次函數(shù)的一部分，如圖所示．
（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；
（2）從7：00開始，需要多少分鐘校門口的學(xué)生才能全部進(jìn)校？
（3）現(xiàn)學(xué)校通過調(diào)整校門口的入校通道，提高體溫檢測效率．經(jīng)過調(diào)整，現(xiàn)在每分鐘可以多通過2人，請問所有學(xué)生能夠在7點30分完成進(jìn)校嗎？請說明理由．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）令y＝0，得：-12x2+16x+34＝0，解方程并作出取舍即可；
（3）設(shè)第x分鐘時的排隊等待人數(shù)為w人，則w＝y(tǒng)﹣2x，從而可得w關(guān)于x的二次函數(shù)，計算當(dāng)x＝30時的w值，則可得答案．
【解析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c，
根據(jù)題意得：16a+4b+c=90c=34-b2a=16，
解得：a=-12b=16c=34，
∴y=-12x2+16x+34；
（2）令y＝0，得：-12x2+16x+34＝0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝34．；
∴從7：00開始，需要34分鐘校門口的學(xué)生才能全部進(jìn)校；
（3）設(shè)第x分鐘時的排隊等待人數(shù)為w人，
由題意得：w＝y(tǒng)﹣2x
=-12x2+14x+34，
當(dāng)x＝30時，w＝4＞0．
∴7點30分時所有學(xué)生不能全部完成進(jìn)校．
20．（2021?東西湖區(qū)模擬）某公司決定投資燃油汽車與新能源汽車，該公司信息部的市場調(diào)研結(jié)果如下：
方案A：若單獨投資燃油汽車時，則所獲利潤w1（千萬元）與投資金額x （千萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系例w1＝kx，并且當(dāng)投資2千萬元時，可獲利潤0.8千萬元；
方案B：若單獨投資新能源汽車時，則所獲利潤w2（千萬元）與投資金額x（千萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：w2＝ax2+bx，并且當(dāng)投資1千萬元時，可獲利潤1.4千萬元；當(dāng)投資3千萬元時，可獲利潤3千萬元．
（1）請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）如果該公司對燃油汽車與新能源汽車這兩種產(chǎn)品投資金額相同，且獲得總利潤為5千萬元，求此時該公司對這兩種汽車的投資金額各是多少千萬元？
（3）如果公司對燃油汽車投資x千萬元，對新能源汽車的投資金額是燃油汽車的兩倍，投資所獲總利潤的利潤率不低于60%，且獲得總利潤為不低于4千萬元，直接寫出x的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)獲得總利潤為5千萬元可列方程，解方程即可；
（3）設(shè)該公司對燃油汽車投資x千萬元，對新能源汽車投資2x千萬元，先表示出此時w2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)投資所獲總利潤的利潤率不低于60%，且獲得總利潤為不低于4千萬元，分別列出不等式，求解即可．
【解析】（1）由題意可得，當(dāng)x＝2時，w1＝0.8，代入w1＝kx得，
0.8＝2k，
解得k＝0.4，
∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為w1＝0.4x．
當(dāng)x＝1時，w2＝1.4；當(dāng)x＝3時，w2＝3，代入w2＝ax2+bx，
得：a+b=1.49a+3b=3，
∴a=-0.2b=1.6，
∴二次函數(shù)表達(dá)式為w2＝﹣0.2x2+1.6x；
（2）根據(jù)題意得：w1+w2＝5，
∴0.4x+（﹣0.2x2+1.6x）＝5，
∴﹣0.2x2+2x﹣5＝0，
解得：x1＝x2＝5．
∴該公司對這兩種汽車的投資金額均為5千萬元；
（3）設(shè)該公司對燃油汽車投資x千萬元，對新能源汽車投資2x千萬元，
則w2＝﹣0.2（2x）2+1.6×2x＝﹣0.8x2+3.2x，
根據(jù)題意得：w1+w2≥3x×60%，
∴0.4x+（﹣0.8x2+3.2x）≥3x×60%，
∴﹣0.8x2+3.6x≥1.8x，
∴0≤x≤2.25；
∵獲得總利潤為不低于4千萬元，
∴﹣0.8x2+3.6x﹣4≥0，
∴2≤x≤2.5．
綜上所述，x的取值范圍是2≤x≤2.5．
21．（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，寬為20m，若水位上升3m，水面就會達(dá)到警戒線CD，這時水面寬為10m．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；
（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時就能到達(dá)拱橋的拱頂？

【分析】（1）以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意可得點B、D的橫坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，然后可進(jìn)行求解；
（2）由（1）可得CD距拱頂?shù)木嚯x，然后根據(jù)題意可直接進(jìn)行列式求解．
【解析】（1）以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，點D的坐標(biāo)為D（5，m），則B（10，m﹣3），
由拋物線經(jīng)過點D和點B，可得：25a=m100a=m-3，
解得：a=-125m=-1，
∴拋物線的解析式為y=-125x2；
（2）由（1）可得CD距拱頂?shù)木嚯x為1m，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，到達(dá)拱頂?shù)臅r間為10.2=5（小時）．
∴從警戒線開始，再持續(xù)5小時就能到達(dá)拱橋的拱頂．
22．（2021?武漢模擬）某板栗經(jīng)銷商在銷售板栗時，經(jīng)市場調(diào)查：板栗若售價為10元/千克，日銷售量為34千克，若售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克．現(xiàn)設(shè)板栗售價為x元/千克（x≥10且為正整數(shù)）．
（1）若某日銷售量為24千克，直接寫出該日板栗的單價；
（2）若政府將銷售價格定為不超過15元/千克，設(shè)每日銷售額為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求w的最大值和最小值；
（3）若政府每日給板栗經(jīng)銷商補(bǔ)貼a元后（a為正整數(shù)），發(fā)現(xiàn)只有4種不同的單價使日收入不少于395元且不超過400元，請直接寫出a的值．（日收入＝銷售額+政府補(bǔ)貼）
【分析】（1）根據(jù)售價每提高1元/千克，日銷售量就減少2千克，且某日銷售量為24千克，列方程求解即可；
（2）根據(jù)題意，利用每日銷售額等于銷售量乘以銷售單價，列出函數(shù)關(guān)系式，并將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由題意得：395≤﹣2x2+54x+a≤400，由二次函數(shù)的對稱性及只有4種不同的單價使日收入不少于395元且不超過400元，可知x的取值為12，13，14，15，計算可得a的值．
【解析】（1）根據(jù)題意得：34﹣2（x﹣10）＝24，
解得x＝15，
∴該日板栗的單價為15元/千克；
（2）根據(jù)題意得：
w＝x[34﹣2（x﹣10）]
＝﹣2x2+54x
＝﹣2(x-272)2+7292，
由題意得：10≤x≤15，且x為正整數(shù)，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝13或14時，w有最大值，最大值為364元．
當(dāng)x＝10時，w有最小值，最小值為：﹣2(10-272)2+7292=340（元）．
∴w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為w＝﹣2x2+54x，w的最大值為364元，w的最小值為340元；
（3）由題意得：395≤﹣2x2+54x+a≤400，
∵只有4種不同的單價使日收入不少于395元，4為偶數(shù)，
∴由二次函數(shù)的對稱性可知，x的取值為12，13，14，15，
當(dāng)x＝12或15時，﹣2x2+54x＝360；當(dāng)x＝13或14時，﹣2x2+54x＝364，
∵補(bǔ)貼a元后日收入不少于395元且不超過400元，360+35＝395，364+36＝400，
∴a的值為35或36．
23．（2021?金堂縣模擬）如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11m）圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，并且預(yù)留兩個各1m的門，設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．
（1）請用含x的代數(shù)式表示BC并求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若4＜x＜7，則S的最大值是多少？請說明理由．

【分析】（1）可先用籬笆的長表示出BC的長，然后根據(jù)矩形的面積＝長×寬，得出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先求出對稱軸，在求出x的取值范圍，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出面積的最大值．
【解析】（1）由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
則S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，
∴x≥5，
∴S＝﹣3x2+26x（x≥5）；
（2））解不等式組x≥54＜x＜7，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x-133）2+1693，
∵﹣3＜0，
∴x＞133時，S隨x的增大而減小，
∴x＝5時，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
24．（2021?洪山區(qū)模擬）某公司經(jīng)營楊梅業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價格向農(nóng)戶收購楊梅后，分揀成A、B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售；B類楊梅深加工后再銷售A類楊梅的包裝成本為1萬元/噸，根據(jù)市場調(diào)查，它的平均銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x≥2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖；B類楊梅深加工總費(fèi)用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是s＝12+3t，平均銷售價格為9萬元/噸．
（1）直接寫出A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）第一次，該公司收購了20噸楊梅，其中A類楊梅有x噸，經(jīng)營這批楊梅所獲得的總利潤為w萬元，求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）第二次，該公司準(zhǔn)備投入132萬元資金，請設(shè)計一種經(jīng)營方案，使公司獲得最大利潤，并求出最大利潤．

【分析】（1）分段求解：①當(dāng)2≤x＜8時，設(shè)直線AB解析式為：y＝kx+b，用待定系數(shù)法求解；②當(dāng)x≥8時，y＝6；
（2）設(shè)銷售A類楊梅x噸，則銷售B類楊梅（20﹣x）噸．根據(jù)利潤等于銷售總收入減去經(jīng)營總成本，分段求解：①當(dāng)2≤x＜8時，②當(dāng)x≥8時，分別求得wA與wB并求和即可；
（3）設(shè)該公司用132萬元共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為（m﹣x）噸，則購買費(fèi)用為3m萬元，A類楊梅加工成本為x萬元，B類楊梅加工成本為[12+3（m﹣x）]萬元，用含m的式子表示出x，根據(jù)利潤等于銷售總收入減去經(jīng)營總成本，分段求解：①當(dāng)2≤x＜8時，②當(dāng)x≥8時，分別求得wA與wB并求和，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大利潤，從而問題得解．
【解析】（1）①當(dāng)2≤x＜8時，設(shè)直線AB解析式為：y＝kx+b，
將A（2，12）、B（8，6）代入得：
2k+b=128k+b=6，
解得k=-1b=14，
∴y＝﹣x+14（2≤x＜8）；
②當(dāng)x≥8時，y＝6．
∴A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+14(2≤x＜8)6(x≥8)；
（2）設(shè)銷售A類楊梅x噸，則銷售B類楊梅（20﹣x）噸．
當(dāng)2≤x＜8時，
wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，
∴w＝wA+wB﹣3×20
＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x2+7x+48；
當(dāng)x≥8時，
wA＝6x﹣x＝5x；
wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x，
∴w＝wA+wB﹣3×20
＝（5x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x+48．
∴w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：w=-x2+7x+48(2≤x＜8)-x+48(x≥8)；
（3）設(shè)該公司用132萬元共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為（m﹣x）噸，則購買費(fèi)用為3m萬元，A類楊梅加工成本為x萬元，B類楊梅加工成本為[12+3（m﹣x）]萬元，
∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，
化簡得：x＝3m﹣60．
①當(dāng)2≤x＜8時，
wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12，
∴w＝wA+wB﹣3×m
＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x2+7x+3m﹣12．
將3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64，
∴當(dāng)x＝4時，有最大毛利潤64萬元，
此時m=643，m﹣x=523；
②當(dāng)x≥8時，wA＝6x﹣x＝5x；
wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12，
∴w＝wA+wB﹣3×m
＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x+3m﹣12．
將3m＝x+60代入得：w＝48，
∴當(dāng)x＞8時，有最大毛利潤48萬元．
綜上所述，購買楊梅共643噸，其中A類楊梅4噸，B類523噸，公司能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤為64萬元．

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