1.會(huì)用坐標(biāo)法、面積法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)算過程.
2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并能靈活應(yīng)用.
在鐵路的附近，有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，易知從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短，將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點(diǎn)P，怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？
問題　如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直線l外一點(diǎn)P(x0，y0)，怎樣求出點(diǎn)P到直線l的距離呢？
點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離為d＝ .
(1)利用公式時(shí)直線的方程必須是一般式；(2)分子含有絕對(duì)值；(3)若直線方程為Ax＋By＋C＝0，則當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解.
已知兩點(diǎn)A(3,2)，B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為
方法一　依題意得，直線mx＋y＋3＝0過線段AB的中點(diǎn)或與直線AB平行.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，且在直線mx＋y＋3＝0上.∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6；
兩點(diǎn)到直線的距離相等，可用幾何法，即直線與兩定點(diǎn)所在直線平行，或直線過以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，此類題型也可用代數(shù)法.
　(多選)已知平面上一點(diǎn)M(5,0)，若直線l上存在點(diǎn)P使PM＝4，則稱該直線為點(diǎn)M的“相關(guān)直線”，下列直線中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線”的是A.y＝x＋1 B.y＝2C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0
選項(xiàng)B中，點(diǎn)M到直線y＝2的距離d＝|0－2|＝20)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于
點(diǎn)到直線距離公式的綜合應(yīng)用
　　(1)已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x＋y－1＝0上運(yùn)動(dòng)，那么OP的最小值為
(2)當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線mx－y＋1－2m＝0的距離最大時(shí)，m的值是_____.
解決有限制條件的點(diǎn)到直線的距離的問題需注意分類討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想，直觀地觀察一些量的變化，從而達(dá)到解決問題的目的.
　　　(1)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O為原點(diǎn)，求OP最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)OP垂直于已知直線，則kOP＝1，∴OP所在的直線方程為y＝x.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2).
(2)求過點(diǎn)P(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程.
由題意知，過點(diǎn)P且與OP垂直的直線到原點(diǎn)O的距離最大，∵kOP＝2，
1.知識(shí)清單： (1) 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程. (2) 點(diǎn)到直線的距離公式d＝ . (3) 公式的應(yīng)用.2.方法歸納：公式法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：設(shè)直線方程忽略斜率是否存在.
1.原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離為
2.(多選)已知點(diǎn)M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實(shí)數(shù)m等于
3.已知點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則MP的最小值是
4.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(－2,3)，且原點(diǎn)到直線l的距離等于2，則直線l的方程為_________________________.
x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－2，符合原點(diǎn)到直線l的距離等于2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
綜上，直線l的方程為x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
1.(多選)直線l過點(diǎn)B(3,3)，若A(1,2)到直線l的距離為2，則直線l的方程可以為A.3x＋4y－21＝0 B.4x＋3y－21＝0C.x＝3 D.y＝3
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝3滿足條件.直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.
綜上，可得直線l的方程為x＝3或3x＋4y－21＝0.
所以直線l的方程為3x＋4y－21＝0.
2.已知直線l1：ax＋y－1＝0與直線l2：x－y＋5＝0互相垂直，則點(diǎn)(1,2)到直線l1的距離為
由已知得， ＝－a， ＝1，又l1⊥l2，∴－a×1＝－1，解得a＝1.此時(shí)直線l1的方程為x＋y－1＝0，
4.點(diǎn)P(2,3)到直線l：ax＋y－2a＝0的距離為d，則d的最大值為A.3 B.4 C.5 D.7
由點(diǎn)到直線的距離公式可得
化簡得|3a＋3|＝|6a＋4|，
6.(多選)與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點(diǎn)(－1，－1)距離為2的直線方程為A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0
設(shè)所求直線方程為4x＋3y＋C＝0.
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.故所求直線方程為4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7.傾斜角為60°，且與原點(diǎn)的距離是5的直線方程為__________________________________.
由直線與原點(diǎn)的距離為5，
8.經(jīng)過兩直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點(diǎn)，且和原點(diǎn)相距為1的直線的條數(shù)為____.
設(shè)所求直線l的方程為x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離
所以λ＝±3，即直線方程為x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原點(diǎn)相距為1的直線的條數(shù)為2.
9.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.
由直線方程的兩點(diǎn)式得直線BC的方程為
設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為d，即為BC邊上的高，
即△ABC的面積為4.
10.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,1)，且與直線x＋y＝0垂直.(1)求直線l的方程；
由題意知直線l的斜率為1，所求直線方程為y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
解得c＝1或c＝5.所以所求直線m的方程為x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為x－y＋c＝0，
A.(1,2) B.(3，－4)C.(2，－1) D.(4，－3)
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，5－3a)，
解得a＝1或2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(2，－1).
12.當(dāng)點(diǎn)P(2,3)到直線l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d最大時(shí)，d與a的值依次為A.3，－3 B.5,2C.5,1 D.7,1
直線l恒過點(diǎn)A(－3,3)，根據(jù)已知條件可知，當(dāng)直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時(shí)，距離最大，最大值為5，此時(shí)a＝1.
13.已知點(diǎn)P(1＋t，1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為 ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為A.(0，－2) B.(2,4)C.(0，－2)或(2,4) D.(1,1)
設(shè)P(x，y)，A(2，－1)，則點(diǎn)P在直線x＋y－3＝0上，
15.已知直線l：y＝2ax＋(a－2)過第一、三、四象限，其中a∈Z，則點(diǎn)A(1，－3)到直線l的距離為______.
所以0

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1.3 兩條直線的平行與垂直

版本： 蘇教版 (2019)

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