1.掌握直線的一般式方程.
2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線.
3.會進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化.
前面我們學(xué)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方程，經(jīng)過化簡后可以發(fā)現(xiàn)它們都是二元一次方程.現(xiàn)在請同學(xué)們思考一下，在平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線是否都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示呢？
問題1　任何一條直線的方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程嗎？
提示　當(dāng)直線與x軸不垂直時，直線的斜率存在，于是經(jīng)過點(diǎn)P1(x1，y1)，斜率為k的直線的方程為y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是關(guān)于x，y的二元一次方程.當(dāng)直線與x軸垂直時，直線的斜率不存在，于是經(jīng)過點(diǎn)P1(x1，y1)的直線的方程為x＝x1，即x＋0×y－x1＝0.此方程也可看作是關(guān)于x，y的二元一次方程.因此，平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線的方程都可以用關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)來表示.
問題2　關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)都表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線嗎？
因此，在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)都表示一條直線.
方程 (A，B不全為0)叫作直線的 .
(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程.(2)當(dāng)A≠0，B＝0時，直線與x軸垂直，即直線與y軸平行或重合.(3)當(dāng)A＝0，B≠0時，直線與y軸垂直，即直線與x軸平行或重合.
根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是 ，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3)；
(2)經(jīng)過A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；
(3)在x軸、y軸上的截距分別為－3，－1；
(4)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸.
求直線一般式方程的策略在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式.
　 (1)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式.
(2)在y軸上的截距為－6，且傾斜角為45°的直線的一般式方程為______________.
設(shè)直線的斜截式方程為y＝kx＋b(k≠0)，則由題意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0.
直線的一般式方程化為其他形式的方程
　　 (1)已知直線Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，則直線不經(jīng)過A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
(2)設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值：①l在x軸上的截距是－3；
延伸探究對于本例(2)中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，求m的值.
含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不全為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距.令y＝0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式.(3)解分式方程要注意驗(yàn)根.
　　　 (1)直線x－y－1＝0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為
(2)若a，b，c都大于0，則直線ax＋by＋c＝0的圖象大致是圖中的
　　 已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；
如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.
(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.
解得a＝－7，這時直線方程的一般式為7x＋y－2＝0.
延伸探究　1.本例中若直線在y軸上的截距為2，求a的值，這時直線的一般式方程是什么？
2.本例中將方程改為“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直線不經(jīng)過第二象限，則a的取值范圍又是什么？
(1)當(dāng)a－1＝0，即a＝1時，直線為x＝3，該直線不經(jīng)過第二象限，滿足要求.
已知含參直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟
　　　 直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；
①當(dāng)a＝－1時，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當(dāng)a≠－1時，令x＝0，則y＝a－2，
∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1].
(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
1.知識清單： (1)直線方程的一般式方程. (2)直線五種形式方程的互化 . (3)直線一般式方程的應(yīng)用.2.方法歸納：分類討論法、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：忽視直線斜率不存在的情況；忽視兩直線重合的情況.
A.30° B.60°C.150° D.120°
2.直線l：(2a－3)x－ay＋2＝0不過第二象限，則a的取值范圍為A.(－∞，0] B.[0,3)C.[3，＋∞) D.(－∞，0]∪(3，＋∞)
3.已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，則該直線過定點(diǎn)________.
直線l：kx－y＋1＋2k＝0，即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，∴當(dāng)x＋2＝0，－y＋1＝0時過定點(diǎn)，∴x＝－2，y＝1，∴該直線過定點(diǎn)(－2,1).
4.若直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角是45°，則實(shí)數(shù)m的值是____.
1.過點(diǎn)(2,1)，斜率k＝－2的直線方程為A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0
根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2.如果ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件A.bc＝0 B.a≠0C.bc＝0且a≠0 D.a≠0且b＝c＝0
y軸方程表示為x＝0，所以a，b，c滿足的條件為b＝c＝0，a≠0.
3.直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是
將l1與l2的方程化為l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.A中，由l1的圖象可知，a0，兩者矛盾，故B錯誤；C中，由l1的圖象可知，a>0，b>0，由l2的圖象可知，a>0，b>0，故C正確；D中，由l1的圖象可知，a>0，b0，b>0，兩者矛盾，故D錯誤.
4.直線ax＋by＋c＝0經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足A.ab>0，bc>0 B.ab>0，bc

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1.3 兩條直線的平行與垂直

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

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