2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（       ）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行【答案】C【分析】根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯(cuò)誤；若，則或，的斜率都不存在，B錯(cuò)誤；若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯(cuò)誤．故選：C.2．（2021·吉林油田高級(jí)中學(xué)高二期中）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對(duì)是(       )A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】?jī)芍本€一條斜率為零，一條斜率不存在，此時(shí)它們垂直；或者兩直線斜率均存在且不為零，斜率之積為－1，則它們垂直.據(jù)此即可求解.【詳解】A：a＝0時(shí)，兩直線分別為：，此時(shí)它們垂直；當(dāng)a≠0時(shí)，它們斜率之積為，則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；B：兩直線斜率之積為：，故兩直線垂直；C：兩直線斜率之積為：，故兩直線不垂直；D：兩直線斜率之積為：，故兩條直線不垂直；故選：B.3．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直線，則與（       ）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【分析】由直線的斜率間的關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?/span>的斜率分別為，所以，所以.故選：A.4．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值為（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】直接由兩直線平行公式求解即可.【詳解】由題意得，，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意.故選：D.5．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線：與直線：互相平行，則的值為（       ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由直線的平行關(guān)系可得，解之可得．【詳解】解：若直線：與直線：互相平行，解得故選：A．6．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為(       )A． B．2或 C．2 D．【答案】D【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，兩直線平行則它們斜率相等，據(jù)此求出a的值，再排除使兩直線重合的a的值即可﹒【詳解】直線斜率必存在，故兩直線平行，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，∴．故選：D．7．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知直線與直線，若，則（       ）A．6 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，求解方程得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線，且，所以，解得，故選：A.8．（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）直線的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（        ）A．1個(gè) B．0個(gè) C．0個(gè)或1個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系即可求解【詳解】當(dāng)兩條直線平行時(shí)，無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)兩條直線相交時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；所以直線的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0個(gè)或1個(gè)，故選：C9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l1的斜率為2，直線l2經(jīng)過點(diǎn)，且l1∥l2，則＝（       ）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合直線平行的斜率關(guān)系可求出，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求．【詳解】解：因?yàn)橹本€l1的斜率為2，直線l2經(jīng)過點(diǎn)，且l1∥l2，所以，解得，所以，故選：D．二、多選題10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（       ）A．若，則斜率 B．若斜率，則C．若傾斜角，則D．若，則傾斜角【答案】BCD【分析】利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線的斜率和直線的平行問題的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】A選項(xiàng)，，可能直線與的傾斜角都是，斜率不存在，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，根據(jù)直線的位置關(guān)系，當(dāng)直線的斜率存在，并且相等，則直線平行，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線的傾斜角相等時(shí)，直線平行，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線平行時(shí)，則傾斜角必相等，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知直線，其中，則（       ）A．當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【分析】對(duì)于A，通過兩直線的斜率關(guān)系判斷即可，對(duì)于B，由兩直線平行，列方程求解，對(duì)于C，直接求解定點(diǎn)判斷，對(duì)于D，由直線方程求出直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距判斷【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為，所以當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直，所以A正確，對(duì)于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，故直線l過定點(diǎn)，所以C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題12．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；   ②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)是______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件、斜率與傾斜角的關(guān)系判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?/span>與為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，.①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；②因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；③因?yàn)?/span>，根據(jù)兩直線平行，得到，此命題正確；④因?yàn)閮芍本€的傾斜角，根據(jù)同位角相等，得到，此命題正確；所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．故答案為：．13．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)，則△ABC為__________ 三角形.【答案】直角【分析】根據(jù)直線斜率關(guān)系即得.【詳解】如圖，猜想是直角三角形，由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案為：直角.14．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.【答案】【分析】由兩條直線的位置關(guān)系可得直線的斜率與直線的斜率相等，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，直線的斜率為，所以直線的斜率與直線的斜率相等，即直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，即直線的傾斜角為，故答案為：.15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線平行，則m的值為______．【答案】0或7【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件即可列方程組求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或，故答案為：0或7.16．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)___________．【答案】【分析】根據(jù)兩直線位置關(guān)系直接可得參數(shù)值.【詳解】由，即，又直線與直線互相垂直，故，解得，故答案為：.17．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，點(diǎn)在邊的高所在的直線上，則實(shí)數(shù)______.【答案】3【分析】根據(jù)可知，則，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：又       ，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與直線垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若不同兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3－b,3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．【答案】－1【分析】先求PQ斜率，再根據(jù)其負(fù)倒數(shù)得線段PQ的垂直平分線的斜率.【詳解】 線段PQ的垂直平分線的斜率為－1.【點(diǎn)睛】本題考查利用斜率研究?jī)芍本€位置關(guān)系,考查基本求解能力.19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A（－3，0），B（2，－2），C（5，2），則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)可能是______．（寫出一個(gè)符合題意的坐標(biāo)即可）【答案】（0，4）或（10，0）或（－6，－4）【分析】由平行四邊形得直線位置關(guān)系后列方程組求解【詳解】設(shè)D（x，y），若四邊形ABCD是平行四邊形，則，，所以，即，解得，此時(shí)點(diǎn)D（0，4）．若四邊形ABDC是平行四邊形，則，，所以，即，解得，此時(shí)點(diǎn)D（10，0）．若四邊形ADBC是平行四邊形，則，，所以，即，解得，此時(shí)點(diǎn)D（－6，－4）．故答案為：（0，4）或（10，0）或（－6，－4）20．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線經(jīng)過點(diǎn)和，且與經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【分析】求出直線的斜率，利用兩條直線垂直斜率乘積為的關(guān)系，求出的值即可．【詳解】直線的斜率，其中，由已知可得，解得.故答案為：.21．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)直線l1、l2的斜率分別為k1、k2，傾斜角分別為α、β，若k1k2＝﹣1，則|α﹣β|＝__．【答案】【分析】利用直線的傾斜角和斜率、兩條直線互相垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】如圖，因?yàn)橹本€l1、l2的斜率分別為k1、k2，傾斜角分別為α、β，若k1k2＝﹣1，則直線l1與l2的相互垂直，它們的傾斜角相差，故|α﹣β|，故答案為：．四、解答題22．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）判斷三點(diǎn)是否共線，并說(shuō)明理由．【答案】共線，理由見解析.【分析】根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】這三點(diǎn)共線，理由如下：由直線斜率公式可得：，直線的斜率相同，所以這兩直線平行，但這兩直線都通過同一點(diǎn)，所以這三點(diǎn)共線. 23．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線AB的方程為：，點(diǎn)，在直線AB上求一點(diǎn)D，使得．【答案】【分析】設(shè)，由題可得，即得.【詳解】設(shè)，則，解得，即.24．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（m，4），B（－2，m），C（1，1），D（m＋2，3）四點(diǎn)．(1)若直線AB與直線CD平行，求m的值；(2)求證：無(wú)論m取何值，總有∠ACB＝90°．【答案】(1)m＝0或m＝1(2)證明見解析【分析】（1）由直線的位置關(guān)系列式求解（2）轉(zhuǎn)化為向量垂直，由數(shù)量積運(yùn)算列式證明（1）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，m＝－2，此時(shí)C（1，1），D（0，3），則直線CD的斜率存在，故直線AB與直線CD不平行，故；同理可得，所以直線AB與直線CD的斜率都存在．②直線AB的斜率為，直線CD的斜率為．因?yàn)橹本€AB與直線CD平行，所以，即，整理可得，解得m＝0或m＝1，檢驗(yàn)可知，當(dāng)m＝0或m＝1時(shí)，直線AB與直線CD平行，故m＝0或m＝1．（2），，則，所以無(wú)論m取何值，總有∠ACB＝90°．25．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)條件求下列傾斜角、斜率(1)直線l的傾斜角的正弦值是，則直線l的斜率是　　．(2)直線 的傾斜角是　　．(3)已知直線l1的傾斜角，直線l2與l1垂直，試求l1，l2的斜率．【答案】(1)或(2)(3)l1，l2的斜率分別為，【分析】（1）根據(jù)傾斜角的正弦值求出傾斜角，從而由直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系可求出直線的斜率，（2）由方程求出直線的斜率，再由直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系求出傾斜角，（3）由直線l1的傾斜角求出直線l1的斜率，再由直線l2與l1垂直可求出l2的斜率.（1）因?yàn)橹本€l的傾斜角的正弦值是，所以，因?yàn)?/span>所以 或，即tanα或，則直線l的斜率是或．故答案為：或．（2）由直線，得 ，即直線的斜率，則傾斜角為．故答案為：（3）已知直線l1的傾斜角，則直線l1對(duì)應(yīng)的斜率，因?yàn)橹本€l2與l1垂直，所以直線l2的斜率．26．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)常數(shù)，已知直線：，：．(1)若，求的值；(2)若，求與之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由一般式下兩直線垂直的充要條件可得，即可求解；（2）根據(jù)題意，由一般式下兩直線平行的必要條件可求得的值，進(jìn)而由平行線間的距離公式計(jì)算可得答案．（1）根據(jù)題意，直線：，：，若，則，解可得a（2）根據(jù)題意，若，則有，解可得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，兩直線重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線：，：，即，兩直線平行，此時(shí)與之間的距離27．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，．(1)若點(diǎn)滿足，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在軸上，且，求直線的傾斜角．【答案】(1)(2)90°【分析】第（1）問中，若存在，兩直線垂直，則有，兩直線平行，則有,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程即可求解.第（2）問中，根據(jù)，可知，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)列方程即可.（1）設(shè)，由題意得，．因?yàn)?/span>，所以，即．①又，所以，即．②由①②，得，，即．（2）如圖所示：設(shè)，因?yàn)?/span>，所以．又，，所以，即，所以，又，所以軸，故直線的傾斜角為90°． 【能力提升】一、單選題1．（2022·上海市建平中學(xué)高一期末）設(shè)直線（、不同時(shí)為零），（、不同時(shí)為零），則“、相交”是“”的（       ）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】分均不為0和有且只有一個(gè)為0兩種情況討論，分別證得充分性和必要性即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)直線斜率都存在即均不為0時(shí)，若“、相交”，則兩直線的斜率不相等，得，即，當(dāng)直線斜率有一個(gè)不存在即有且只有一個(gè)為0時(shí)，也成立，故充分性成立；反之，均不為0時(shí)，若“”，則，則兩直線的斜率不相等，即、相交，有且只有一個(gè)為0時(shí)，、也相交，故必要性成立；綜上，則“、相交”是“”的充要條件，故選：C.2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則m，n的關(guān)系為（       ）A．mn＝1 B．mn+1＝0 C．m﹣n＝0 D．m﹣n+1＝0【答案】B【分析】將直線的方程變形為一般式方程，由直線平行的判定分析mn的關(guān)系，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線y＝mx﹣2，即mx﹣y﹣2＝0，若直線y＝mx﹣2與直線x+ny＝0平行，則mn﹣(﹣1)＝0，即mn+1＝0.故選：B3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“”是“直線：與直線：互相垂直”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A4．（2022·江蘇·高二）已知直線，，且，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩直線垂直得到，再代入消元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：，則，∴，所以，二次函數(shù)的拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：A．5．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中點(diǎn)為（1，2）， AB的中垂線方程為，即x-2y+3=0．聯(lián)立 解得∴△ABC的外心為（-1，1）．則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法： 先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．二、多選題6．（2022·山東聊城·高二期末）已知直線，，則（       ）A．當(dāng)變化時(shí)，的傾斜角不變 B．當(dāng)變化時(shí)，過定點(diǎn)C．與可能平行 D．與不可能垂直【答案】AB【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對(duì)于A：由直線的斜率為即可判斷；對(duì)于B：由直線恒過定點(diǎn)即可判斷；對(duì)于C：用反證法證明；對(duì)于D：當(dāng)， 與垂直，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)變化時(shí)，直線的斜率為，所以的傾斜角不變.故A正確；對(duì)于B：直線恒過定點(diǎn).故B正確；對(duì)于C：假設(shè)與平行，則，即，這與相矛盾，所以與不可能平行.故C不正確；對(duì)于D：假設(shè)與垂直，則，即，所以與可能垂直.故D不正確.故選：AB7．（2022·重慶·高二期末）下列說(shuō)法中，正確的是（ 　   ）A．直線在軸上的截距是3B．直線的傾斜角為C．三點(diǎn)共線D．直線與垂直【答案】BC【分析】根據(jù)直線方程求得縱截距，傾斜角判斷AB，由斜率關(guān)系判斷C，由直線的位置關(guān)系判斷D，【詳解】A. 直線在軸上的截距是，A錯(cuò)；B. 直線的斜率為，傾斜角為，B正確；C. 由得，，所以三點(diǎn)共線，C正確；D. 直線與的斜率分別為，，乘積為1，不垂直，D錯(cuò)誤．故選：BC．8．（2022·全國(guó)·高二期末）下列說(shuō)法正確的是（       ）A．直線的斜率為B．若直線的傾斜角為α，則C．若兩條直線的斜率之積等于－1，則這兩條直線垂直D．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的方程為【答案】BC【分析】特殊值判斷A；由傾斜角判斷B；由直線垂直的判定判斷C；選項(xiàng)D中注意要加的條件.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，錯(cuò)誤；B：由題意，，故，正確；C：由直線垂直的判定知：兩條直線的斜率之積等于－1，則兩條直線垂直，正確；D：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,且斜率不低于-1，直線的方程不可寫為，錯(cuò)誤.故選：BC9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)三角形為等腰直角三角形列方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可得，可化為，解得:或，即或．故選：AC三、解答題10．（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）已知，，，四點(diǎn)，若順次連接四點(diǎn)，試判斷圖形的形狀．【答案】直角梯形【分析】計(jì)算四條邊所在直線的斜率，判斷邊之間的位置關(guān)系，即可判斷圖形的形狀 .【詳解】由斜率公式，得，，，,所以，又因?yàn)?/span> ,說(shuō)明與不重合，所以．因?yàn)?/span>，所以與不平行．又因?yàn)?/span>，所以．故四邊形為直角梯形．11．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）分別根據(jù)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷各組中直線AB與CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出，，斜率，再判斷兩直線不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得結(jié)論；（3）由兩直線斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．(1)，，，不共線，因此與平行．(2)，，又兩直線不重合，直線與平行，(3)直線，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；(4),，直線與不平行，12．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）直線和的方程分別是和，其中，不全為0，，也不全為0.(1)當(dāng)時(shí)，直線方程中的系數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？(2)當(dāng)時(shí)，直線方程中的系數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？【答案】(1)且（或）；(2)【分析】（1）由兩直線平行的條件求解；（2）由兩直線垂直的條件求解．(1)兩直線斜率都不存在，則，此時(shí)，，，因此有且，斜率都存在時(shí)，且，因此有且，所以的條件是：且（或）；(2)兩直線一個(gè)斜率不存在，一條斜率為0，如，兩直線斜率都存在，則，所以，所以的條件是．13．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）證明：如果兩條直線斜率的乘積等于，那么它們互相垂直．【分析】設(shè)兩直線斜率分別為，，結(jié)合及傾斜角的范圍、誘導(dǎo)公式即可證明結(jié)論.【詳解】令兩直線斜率分別為，(為對(duì)應(yīng)傾斜角)，由，不妨假設(shè)，則，所以，而，故，即，則兩條直線互相垂直，得證.14．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】或或.【分析】由題意分類討論，根據(jù)直線的斜率即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).【詳解】由題，，所以kAC=2，，kBC=－3，設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），分以下三種情況：①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以，，，得x=7，y=5，即②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，，得x=－1，y=9，即③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，有kBD=kAC，kAD=kBC所以，得x=3，y=－3，即所以D的坐標(biāo)為或或.15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，其中且.試判斷四邊形的形狀.【答案】矩形【分析】可借助斜率驗(yàn)證四邊形對(duì)邊平行，鄰邊垂直，對(duì)角線不垂直即得解【詳解】由斜率公式，得，，，，，.∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形.又，∴.又，∴與不垂直，∴四邊形為矩形.16．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)，，，是否存在點(diǎn)A，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】或【分析】分和兩種情況，利用平行，垂直列方程組求解坐標(biāo)即可【詳解】設(shè)點(diǎn)．若，則，解得，點(diǎn)．若，則，解得，點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系，考查直線交點(diǎn)，注意分類討論的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題17．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）三條直線3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0圍成直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）或或m＝ 【分析】直線2mx-3y+12=0過定點(diǎn)A（0，4），若三條直線能圍成直角三角形，則根據(jù)直線垂直與斜率之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】(1)當(dāng)直線3x＋2y＋6＝0與直線2x－3m2y＋18＝0垂直時(shí)，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1．若m＝1，直線2mx－3y＋12＝0也與直線3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能構(gòu)成三角形，故m＝1應(yīng)舍去．∴m＝－1．(2)當(dāng)直線3x＋2y＋6＝0與直線2mx－3y＋12＝0垂直時(shí)，有6m－6＝0，m＝1(舍)．(3)當(dāng)直線2x－3m2y＋18＝0與直線2mx－3y＋12＝0垂直時(shí)，有4m＋9m2＝0．∴m＝0或m＝ ．經(jīng)檢驗(yàn)，這兩種情形均滿足題意．綜上所述，m＝－1或m＝0或m＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直和斜率之間的關(guān)系的應(yīng)用，要求熟練掌握直線垂直的斜率關(guān)系．   

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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