第07講拋物線中等腰三角形的存在性問題專題探究-【專題突破】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點及章節(jié)分類精品講義(浙教版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第7講拋物線中等腰三角形的存在性問題專題探究考點一 “兩定一動”型等腰三角形存在性問題【知識點睛】? 如圖，已知定點A、O，在x軸上找點P，使△OAP為等腰三角形則P1、P2、P3、P4即為符合題意的點P解決策略：（有時也可用兩點間距離公式求值）即：①當(dāng)OA=OP時，以O(shè)點為圓心，OA長為半徑畫圓，與目標(biāo)直線x軸的交點即為所求點②當(dāng)OA=AP時，以A點為圓心，OA長為半徑畫圓，與目標(biāo)直線x軸的交點即為所求點 ③當(dāng)AP=OP時，線段OA的中垂線與目標(biāo)直線x軸的交點即為所求點【類題訓(xùn)練】1．（2019秋?云夢縣期末）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段BC所在直線的解析式；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 2．（2021秋?南昌期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），交y軸于C（0，2）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上是否存在點N，使△NAC的面積最大，若存在，求出這個最大值及此時點N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）若點M在x軸上，是否存在點M，使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 3．（2020?佛山模擬）如圖①，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點D的坐標(biāo)為（1，0），點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，求四邊形BDCP面積的最大值；（3）如圖②，動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運(yùn)動，到達(dá)點B時停止運(yùn)動，且不與點O、B重合．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，交線段BC于點Q，連接OQ，是否存在t值，使得△BOQ為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由． 4．（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點A，B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點D的坐標(biāo)；（2）如圖，連接BD，若點E在線段BD上運(yùn)動（不與B，D重合），過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時，△BFE與△DEC的面積之和最小；（3）若將拋物線L1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點的對稱點分別記作M，N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點P，使得以B，M，P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點二 “一定兩動”型等腰三角形存在性問題【知識點睛】? 如圖，P、Q分別為AB、CB上一動點，當(dāng)△BPQ是等腰三角形時，有以下幾種情況： ①BP=BQ ②BQ=PQ ③BP=PQ 解決策略：即BQ=PQ可轉(zhuǎn)化為: ;BP=PQ可轉(zhuǎn)化為:☆特別地：當(dāng)題目給出的數(shù)據(jù)還好時，也可選擇用代數(shù)法來分類討論等腰三角形步驟如下：①根據(jù)點的坐標(biāo)，表示出三邊的平方 ②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到兩兩相等的的三個方程 ③分別解出這三個方程，再依據(jù)結(jié)果判斷是否存在【類題訓(xùn)練】1．（2021?陜西模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對稱軸為直線x＝1，且該拋物線與y軸負(fù)半軸交于C點，與x軸交于A，B兩點，其中B點的坐標(biāo)為（3，0），且OB＝OC．（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側(cè)），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ是以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 2．（2021秋?鉛山縣期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（1，0），C（0，5）兩點，與x軸的另一交點為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點M為直線BC下方拋物線上一動點，MN⊥x軸交BC于點N．①當(dāng)線段MN的長度最大時，求此時點M的坐標(biāo)及線段MN的長度；②如圖2，連接BM，當(dāng)△BMN是等腰三角形時，求此時點M的坐標(biāo)． 3．（2021秋?大連期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a，b是常數(shù)，a＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝1．（1）填空：b＝　　（用含a的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)﹣1≤x≤0時，拋物線上的點到x軸的最大距離為5，求a的值；（3）若點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點E的坐標(biāo)為（x，0）（其中x≥0），點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【課后綜合練習(xí)】1．（2022春?北碚區(qū)校級期末）如圖，已知點（0，）在拋物線C1：y＝x2+bx+c上，且該拋物線與x軸正半軸有且只有一個交點A，與y軸交于點B，點O為坐標(biāo)原點．（1）求拋物線C1的解析式；（2）拋物線C1沿射線BA的方向平移個單位得到拋物線C2，如圖2，拋物線C2與x軸交于C，D兩點，與y軸交于點E，點M在拋物線C2上，且在線段ED的下方，作MN∥y軸交線段DE于點N，連接ON，記△EMD的面積為S1，△EON的面積為S2，求S1+2S2的最大值；（3）如圖3，在（2）的條件下，拋物線C2的對稱軸與x軸交于點F，連接EF，點P在拋物線C2上且在對稱軸的右側(cè)，滿足∠PEC＝∠EFO．①直接寫出P點坐標(biāo)；②是否在拋物線C2的對稱軸上存在點H，使得△PDH為等腰三角形，若存在，請直接寫出H點的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．