1.理解向量的數(shù)乘運算及其幾何意義.
2.會利用向量共線判斷三點共線及線線平行.
一根細(xì)繩東西方向擺放，一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運動，如果螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a，那么它向東運動3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？這就是我們今天要學(xué)到的數(shù)乘運算.
問題1　如圖，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).類比數(shù)的乘法，該如何表示運算結(jié)果？它們的長度和方向分別是怎樣的？
顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍.
1.定義：一般地，給定一個實數(shù)λ與任意一個向量a，規(guī)定它們的乘積是 ，記作λa，其中，(1)當(dāng)λ≠0且a≠0時，λa的模為_____.而且λa的方向如下：①當(dāng)λ>0時，與a的方向 ；②當(dāng)λ0
當(dāng)λ0，∴5a與a方向相同，且|5a|＝5|a|.∴3a與5a方向相同，且3a的模是5a的模的 .∴B正確.C中，按照相反向量的定義可以判斷正確.D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b與－(b－a)為相等的向量.∴D不正確.
對于數(shù)乘運算，要認(rèn)識到任意實數(shù)λ與任意向量a的乘積λa仍是向量，要明確兩向量的關(guān)系，應(yīng)從兩方面入手，一是方向，二是大小.
　　　(1)已知m∈R，則下列說法正確的是A.若ma＝0，則必有a＝0B.若m≠0，a≠0，則ma與a方向相同C.m≠0，a≠0，則|ma|＝m|a|D.若m≠0，a≠0，則ma與a共線
當(dāng)m＝0，a≠0時，ma＝0，故A錯，m≠0，a≠0時，ma與a的方向相同或相反，|ma|＝|m|·|a|，故BC錯，只有D正確.
1.一般地，對于實數(shù)λ與μ，以及向量a，b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb.2.向量的線性運算向量的 、 、 以及它們的混合運算，統(tǒng)稱為向量的線性運算.
原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量線性運算的基本方法(1)類比法：向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中同樣適用.(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解.
向量平行、三點共線問題
問題2　如果存在一個實數(shù)λ使b＝λa，那么向量a，b是否平行？
1.向量平行：如果存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則b∥a.
(1)證明向量(所在直線)平行，用b＝λa.(2)證明三點共線，除證明兩向量平行外還需要說明兩向量有公共點.
　　設(shè)a，b是不共線的兩個向量.
∴A，B，C三點共線.
A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D
A.P，A，C三點共線 B.P，A，B三點共線C.P，B，C三點共線 D.以上均不正確
1.知識清單： (1)數(shù)乘向量的定義及幾何意義. (2)數(shù)乘向量的運算律. (3)向量的線性運算. (4)向量平行、三點共線.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)： (1)忽視零向量這一個特殊向量. (2)數(shù)乘向量的方向錯誤導(dǎo)致解題失誤.
A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b
2.對于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－ ，b＝e1－ ；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共線的是A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
對于①，b＝－a，有a∥b；對于②，b＝－2a，有a∥b；對于③，a＝4b，有a∥b；對于④，a與b不共線.
又因為O是AC的中點，所以AC＝2AO，
設(shè)點E為平行四邊形ABCD的邊BC的中點，點F為AB邊的中點(圖略)，
A.λ＋μ＝2 B.λμ＝1C.λμ＝－1 D.λ－μ＝1
即A，B，C三點共線的充要條件為λμ＝1.
A.垂心 　　　　B.內(nèi)心 　　　　C.外心 　　　　D.重心
A.平行四邊形 B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
故四邊形ABCD是等腰梯形.
如圖，取AB的中點E，連接DE，則四邊形DEBC為平行四邊形.
方法一　如圖所示，在?ABCD中，AC交BD于O點，則O平分AC和BD.
∴N為OC的中點，又M為BC的中點，
11.(多選)已知向量a，b是兩個非零向量，在下列條件中，一定能使a，b共線的是A.2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3eB.存在相異實數(shù)λ，μ，使λa＋μb＝0C.xa＋yb＝0(實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)D.已知在梯形ABCD中，
對于A，由已知條件得，10a－b＝0，故滿足條件；對于B，顯然滿足條件；對于C，當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時，a，b不一定共線；對于D，若AB∥CD，則a，b共線，若AD∥BC，則a，b不共線.
12.(多選)已知m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列說法中正確的是A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，則a＝bD.若ma＝na，則m＝n
A和B屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；C中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯誤；D中，若a＝0，則m，n沒有關(guān)系，錯誤.
A.△ABC的內(nèi)部B.邊AC所在的直線上C.邊AB所在的直線上D.邊BC所在的直線上
∴點P一定在邊AC所在的直線上.
不妨設(shè)PQ∥AB，因為G為△OAB的重心，
16.如圖所示，已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，延長CD到點M使DM＝CD，延長BE至點N使BE＝EN，求證：M，A，N三點共線.
因為D為MC的中點，且D為AB的中點，
所以M，A，N三點共線.

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.1.4 數(shù)乘向量

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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