1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義.
2.掌握向量的幾何表示,會用字母表示向量,用向量表示點(diǎn)的位置.
3.了解平行向量和相等的向量的意義,并會判斷向量間共線(平行)、相等的關(guān)系.
向量,最初被應(yīng)用于物理學(xué).很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.大約公元前350年前,古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓.在本章我們將探究如何用數(shù)學(xué)符號確切地描述向量,進(jìn)一步探究向量的運(yùn)算與應(yīng)用.
問題1 如圖,在圖中分別用向量表示A地至B,C兩地的位移.
1.定義既有 又有 的量稱為向量.2.向量的表示法(1)向量可以用 來表示,其中有向線段的長度表示向量的 ,有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.(2)除了用始點(diǎn)和終點(diǎn)的兩個大寫字母來表示向量外,還可用一個小寫字母來表示向量:在印刷時,通常用加粗的斜體小寫字母如a,b,c等來表示向量;在書寫時,用帶箭頭的小寫字母如 ,等來表示向量.
3.向量的長度向量的大小也稱為向量的模(或長度).4.向量的有關(guān)概念
(1)書寫向量時帶箭頭.(2)向量強(qiáng)調(diào)長度和方向兩個元素.(3)有向線段與向量不是同一概念,有向線段有起點(diǎn)、長度、方向三個要素.(4)解決向量問題特別注意零向量和向量的方向問題.
  下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有A.1個     B.2個     C.3個     D.4個
一個量是不是向量,就是看它是否同時具備向量的兩個要素:大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的,所以是向量;而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒有方向,所以不是向量.
解決向量概念問題一定要緊扣定義,對單位向量與零向量要特別注意方向問題.
   下列結(jié)論中正確的是A.對任一向量a,|-a|>0總是成立的B.模為0的向量的方向是不確定的C.向量就是有向線段D.任意兩個單位向量的方向相同
若向量a為零向量,則|-0|=0,故A錯誤;模為0的向量為零向量,零向量的方向是不確定的,B正確;有向線段是向量的幾何表示,是個圖形,而向量是帶方向的量,不是有向線段,C錯誤;任意兩個單位向量的長度相等,但方向不一定相同,D錯誤.
  在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:
由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.
準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).
   某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向按東北方向走了   米到達(dá)C點(diǎn),到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量 ;
(2)求 的模.
由題意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC= 米,CD=10米,所以BD=10米.
向量平行與直線平行的區(qū)別.
  (1)(多選)下列命題為真命題的是A.兩個向量,當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同時才相等B.若平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個點(diǎn),則其終點(diǎn)在同一個圓上C.在菱形ABCD中,一定有D.a=b,b=c,則a=c
兩個向量相等只要模相等且方向相同即可,而與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān),故A不正確;單位向量的長度為1,當(dāng)所有單位向量的起點(diǎn)在同一點(diǎn)O時,終點(diǎn)都在以O(shè)為圓心,1為半徑的圓上,故B正確;C,D顯然正確.
①與a的長度相等、方向相反的向量有哪些?
②與a共線的向量有哪些?
③請一一列出與a,b,c相等的向量.
尋找共線向量或相等的向量的方法(1)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn),起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.(2)尋找相等的向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向共線.
   (1)給出下列命題:①若|a|=|b|,則a=b或a=-b;②向量的模一定是正數(shù);③起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的幾個向量是相等的向量;④向量 是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)必在同一直線上.其中正確命題的序號是________.
①錯誤,由|a|=|b|僅說明a與b模相等,但不能說明它們方向的關(guān)系;②錯誤,如|0|=0;③正確,對于一個向量只要不改變其大小和方向,是可以任意移動的;④錯誤,共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個向量 必須在同一直線上.
(2)如圖所示,四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形.①找出與向量 共線的向量;
②找出與向量 相等的向量.
1.知識清單: (1)向量的概念的辨析. (2)向量的表示方法. (3)向量的相等與平行.2.方法歸納:定義法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):0的特殊性.共線向量不一定在一條直線上.
1.下列結(jié)論正確的個數(shù)是①溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量;②向量a與b不共線,則a與b都是非零向量;③若|a|

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.1.1 向量的概念

版本: 人教B版 (2019)

年級: 必修 第二冊

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