章末檢測試卷(三)(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．雙曲線3x2－y2＝9的焦距為(　　)A.  B．2  C．2  D．4答案　D解析　方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.2．設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，上頂點(diǎn)為B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，則該橢圓的方程為(　　)A.＋＝1   B.＋y2＝1C.＋y2＝1   D.＋y2＝1答案　A解析　因?yàn)?/span>|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝.所以橢圓的方程為＋＝1.3．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　)A.  B.  C．1  D.答案　B解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，到雙曲線x2－＝1的漸近線x－y＝0的距離為＝，故選B.4．已知F1，F2為橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2作橢圓的弦AB，若△AF1B的周長為16，橢圓的離心率為，則橢圓的方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1答案　D解析　由橢圓的定義知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，所以a＝4，又e＝＝，所以c＝2，所以b2＝42－(2)2＝4，所以橢圓的方程為＋＝1.5．已知雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，則·等于(　　)A．－12  B．－2  C．0  D．4答案　C解析　由漸近線方程為y＝x，知雙曲線是等軸雙曲線，所以雙曲線方程是x2－y2＝2，于是兩焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取點(diǎn)P(，1)，則＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.6.如圖，已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PF⊥x軸，OP∥AB(O為原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　因?yàn)?/span>PF⊥x軸，所以P.又OP∥AB，所以＝，即b＝c.于是b2＝c2，即a2＝2c2.所以e＝＝.7．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k等于(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以0<k<1，所以x1x2＝4，①根據(jù)拋物線的定義得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.因?yàn)?/span>|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，所以B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.8.如圖所示，F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為(　　)A．2  B.  C.  D.答案　C解析　∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由雙曲線的定義得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴e＝.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，則(　　)A．當(dāng)mn>0時(shí)，方程表示橢圓B．當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線C．當(dāng)m＝0時(shí)，方程表示兩條直線D．方程表示的曲線不可能為拋物線答案　BD解析　A項(xiàng)，取m＝n＝1，此時(shí)表示圓，錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的雙曲線，正確；C項(xiàng)，當(dāng)m＝0，n＝0時(shí)，方程不成立，錯(cuò)誤；D項(xiàng)，方程表示的曲線不含有一次項(xiàng)，故不可能為拋物線，正確．10．對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是(　　)A．開口向上，準(zhǔn)線方程為y＝－B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為(1,0)D．開口向右，準(zhǔn)線方程為y＝－1答案　AB解析　拋物線可化為x2＝y，故開口向上，焦點(diǎn)為.準(zhǔn)線方程為y＝－.11．已知直線y＝kx＋1與雙曲線x2－＝1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8，則實(shí)數(shù)k的值為(　　)A．±  B．±  C．±  D．±答案　BD解析　由直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，得k≠±2.將y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，則Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.12．設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，P是C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A.＋＝2B．離心率e＝C．△PF1F2面積的最大值為D．以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－＝0相切答案　AD解析　對于A選項(xiàng)，由橢圓的定義可知＋＝2a＝2，所以A選項(xiàng)正確．對于B選項(xiàng)，依題意a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B選項(xiàng)不正確．對于C選項(xiàng)，＝2c＝2，當(dāng)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積取得最大值為·2c·b＝c·b＝1，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對于D選項(xiàng)，線段F1F2為直徑的圓的圓心為，半徑為c＝1，圓心到直線x＋y－＝0的距離為＝1，也即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－＝0相切，所以D選項(xiàng)正確．綜上所述，正確的為AD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．以雙曲線－＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為________．答案　＋＝1解析　雙曲線的焦點(diǎn)為(±4,0)，頂點(diǎn)為(±2,0)，故橢圓的焦點(diǎn)為(±2,0)，頂點(diǎn)為(±4,0)，所以橢圓方程為＋＝1.14．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x＝y2的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為________，漸近線方程為__________．(本題第一空3分，第二空2分)答案　5x2－y2＝1　y＝±2x解析　拋物線x＝y2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則得a2＋b2＝1，又e＝＝，易求得a2＝，b2＝，所以該雙曲線的方程為5x2－y2＝1，漸近線方程為y＝±2x.15．過點(diǎn)E的直線與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，F是拋物線的焦點(diǎn)，若A為線段EB的中點(diǎn)，且|AF|＝3，則p＝________.答案　4解析　設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，|AF|＝x1＋，又|AF|＝3，所以x1＝3－，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得所以x2＝6－，y2＝2y1，所以y＝4y，2p＝4y＝4×2px1＝4×2p，結(jié)合p>0可得p＝4.16．如圖所示，已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點(diǎn)A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為________．答案　8解析　由題意知拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線l為x＝－2，∴K(－2,0)，設(shè)A(x0，y0)(y0＞0)，∵過點(diǎn)A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面積為|KF|·|y0|＝×4×4＝8.四、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分) 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求橢圓C的方程．解　設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，得a＝且e＝＝，所以a＝，c＝，從而b2＝a2－c2＝1，因此所求橢圓的方程為＋y2＝1.18．(12分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為，過點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓的方程；(2)若|MN|＝，求直線MN的方程．解　(1)由題意有＋＝1，e＝＝，a2－b2＝c2，解得a＝，b＝，c＝，所以橢圓方程為＋＝1.(2)由直線MN過點(diǎn)B且與橢圓有兩交點(diǎn)，可設(shè)直線MN方程為y＝k(x－3)，代入橢圓方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k2<1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，|MN|＝＝＝＝，解得k＝±，滿足k2<1，所求直線方程為y＝±(x－3)．19．(12分)已知橢圓＋＝1及直線l：y＝x＋m.(1)當(dāng)直線l與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值．解　(1)由消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ≥0，解得－3≤m≤3.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－3，3]．(2)設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，故|AB|＝·＝·＝·，當(dāng)m＝0時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為.20．(12分)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．(1)解　由拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)，得p＝.所以拋物線C的方程為y2＝x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－.(2)證明　由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.則x1＋x2＝，x1x2＝.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)．直線ON的方程為y＝x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?/span>y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以y1＋＝2x1，即y1－x1＝x1－，即|AM|＝|BA|，故A為線段BM的中點(diǎn)．21．(12分)已知F1，F2分別為橢圓＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面積為，求b的值．解　 (1)|PF1|·|PF2|≤2＝100(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號)，∴|PF1|·|PF2|的最大值為100.(2)＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，∴|PF1|·|PF2|＝.①由題意知∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，∴b＝8.22．(12分) 已知拋物線C：y2＝4x，A，B，其中m>0，過B的直線l交拋物線C于M，N.(1)當(dāng)m＝5，且直線l垂直于x軸時(shí)，求證：△AMN為直角三角形；(2)若＝＋，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，求實(shí)數(shù)m，使得AM⊥AN.(1)證明　由題意l：x＝5，代入y2＝4x中，解得y＝±2，不妨取M(5,2)，N(5，－2)，則＝(4,2－2)，＝(4，－2－2)，所以·＝(4,2－2)·(4，－2－2)＝16－(20－4)＝0，所以AM⊥AN，即△AMN為直角三角形得證．(2)解　由題意可得四邊形OAPB為平行四邊形，則kBP＝kOA＝2，設(shè)直線l：y＝2(x－m)，M，N，聯(lián)立得y2－2y－4m＝0，由題意，判別式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，因?yàn)?/span>AM⊥AN則·＝0，又＝，＝，即＋(y1－2)(y2－2)＝0，化簡，得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，代入解得m＝6.故m＝6時(shí)，有AM⊥AN.

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