?專題18 二次函數(shù)綜合題
考點(diǎn)分析
【例1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式
（2）是否存在點(diǎn)D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)G是線段AB上的動點(diǎn)．連接DF，F(xiàn)G，當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3）或（，）；（3）G（，）．
【解析】
解：（1）在中，令，得，令，得，
，，
將，分別代入拋物線中，得：，解得：，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．
（2）存在．如圖1，過點(diǎn)作于，設(shè)，則，，；
，，，，
和相似，
或
①當(dāng)時，，
，即：
，解得：（舍去），（舍去），，
，
②當(dāng)時，

，
，即：
，解得：（舍，（舍，，
，；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；
（3）如圖3，四邊形是平行四邊形
，
設(shè)，，，，
則：，，
，即：，
，即：
過點(diǎn)作于，則

，即：
，即：
周長
，
當(dāng)時，周長最大值，
，．


【點(diǎn)睛】
此題考查二次函數(shù)綜合題，綜合難度較大，解答關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖形進(jìn)行計(jì)算，再利用待定系數(shù)法求解析式，配合輔助線利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【例2】如圖，已知直線AB經(jīng)過點(diǎn)（0，4），與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是．
(1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．
(3）過線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？

【答案】（1）直線y=x+4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時，MN+3PM的長度的最大值是18．
【解析】
（1）∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2，
,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
將（0，4），（-2，1）代入得
解得
∴y＝x＋4
∵直線與拋物線相交，

解得：x=-2或x=8，
當(dāng)x=8時，y=16，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）；
（2）存在．
∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325
.設(shè)點(diǎn)C(m，0)，
同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，
BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，
①若∠BAC＝90°，則AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；
②若∠ACB＝90°，則AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；
③若∠ABC＝90°，則AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　
（3）設(shè)M(a，a2)，
則MN＝，
又∵點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同，
∴x＋4＝a2，
∴x= ，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
∴MP＝a－，
∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18，
∵－2≤6≤8，
∴當(dāng)a＝6時，取最大值18，
∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時，MN＋3PM的長度的最大值是18





考點(diǎn)集訓(xùn)
1．已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；
(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)；(4)存在，的最小值為．
【解析】
(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，
即：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：，
則頂點(diǎn)；
(2)，，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，
∴AB=2，
∴，
又∵D(2，-1)，
∴AD=BD=，
∴AM=MB=AD=BD，
∴四邊形ADBM為菱形，
又∵，
菱形ADBM為正方形；
(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，
過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，
則，
，故有最大值，此時，
故點(diǎn)；
(4)存在，理由：
如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，
此時，
則最小值，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，
∴OF=，
∴F(-，0)，
利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，
∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，
∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO?tan∠FAQ=，
∴Q(0,)，
利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，
聯(lián)立①②并解得：，
故點(diǎn)，而點(diǎn)，
則，
即的最小值為．

【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應(yīng)用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識，會添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.
2．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；
（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
【解析】
（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，

由對稱性得：D（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式為：y=x，
過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG?AE，
=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m，
=（m-）2+，
∵-＜0，
∴當(dāng)m=時，S有最大值是；
（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
則-m2+4m-3=2-m，
解得：m=或，
∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；
如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
則-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或；
P的坐標(biāo)為（，）或（，）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．
點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C．
（1）求此拋物線和直線的解析式；
（2）設(shè)直線與該拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，在射線上是否存在一點(diǎn)M，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求面積的最大值．

【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或．（3）當(dāng)時，面積的最大值是，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為．
【解析】
解：（1）∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為，
∵直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
（2）∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵軸，
∴，
∴，
①如圖，若點(diǎn)M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則，
設(shè)，則，

∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
②如圖，若點(diǎn)M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則，

設(shè)，則，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
（3）如圖，作軸交直線于點(diǎn)G，

設(shè)，則，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，面積的最大值是，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值問題，以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關(guān)的問題．
4．已知，如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．
（2）在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分（不包含兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由見解析；點(diǎn)或或或．
【解析】
解：（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：…①，
則點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線的表達(dá)式為：；
（2）存在，理由：
二次函數(shù)對稱軸為：，則點(diǎn)，
過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
∵，
則，
解得：或5（舍去5），
故點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，，
①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時，
點(diǎn)向左平移4個單位向下平移16個單位得到，
同理，點(diǎn)向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點(diǎn)，
即：，，而，
解得：或﹣4，
故點(diǎn)或；
②當(dāng)是平行四邊形的對角線時，
由中點(diǎn)公式得：，，而，
解得：，
故點(diǎn)或；
綜上，點(diǎn)或或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
5．如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn),,．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；
（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（請?jiān)趫D2中探索）
【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點(diǎn)；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【解析】
解：根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
則，解得：，
拋物線的表達(dá)式為： ，
函數(shù)的對稱軸為：；
連接交對稱軸于點(diǎn)，此時的值為最小，

設(shè)BC的解析式為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：
解得：
直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時，，
故點(diǎn)；
存在，理由：
四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，
則 ，
點(diǎn)在第四象限，故：則，
將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：
，
解得：或，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中，求線段和的最小值，采取用的是點(diǎn)的對稱性求解，這也是此類題目的一般解法．
6．如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），
∴，解得．
∴拋物線的解析式為．
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4），
∴，解得．
∴直線AC的解析式為．
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似．理由如下：
由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：
①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM為直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM為等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．
7．如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）在拋物線C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點(diǎn)，連接MO，MC，M運(yùn)動到什么位置時，△MOC面積最大？并求出最大面積．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段AC′的長度；（3）S△MOC最大值為．
【解析】
（1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點(diǎn)B（2，0），
∵C1、C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a＝﹣1，
則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得：
0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x；
（2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x＝0或3，
故點(diǎn)C（3，3），
作點(diǎn)C關(guān)于C1對稱軸的對稱點(diǎn)C′（﹣1，3），
連接AC′交函數(shù)C2的對稱軸與點(diǎn)P，

此時PA+PC的值最小為：線段AC′的長度；
（3）直線OC的表達(dá)式為：y＝x，
過點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+4x），則點(diǎn)H（x，x），
則S△MOCMH×xC（﹣x2+4x﹣x）x2，
∵0，故x，
S△MOC最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．
8．若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、，且過點(diǎn).
（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且,求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上（下方）是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)到軸的距離；若不存在，請說明理由.

【答案】（l） ；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)到軸的距離為 .
【解析】
（l）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，∴，
又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，
∴
解，得
所以，拋物線表達(dá)式為
（2）連接，設(shè)點(diǎn).
則


由題意得
∴或（舍）
∴
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，因直線過點(diǎn)、
，
∴
解，得
所以的表達(dá)式為
設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為，作軸交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，，.
又軸
∴
又∵
∴
∴
∴.
在中

解得：
所以點(diǎn)到軸的距離為
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問題，難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識點(diǎn),應(yīng)當(dāng)熟練地掌握.
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn)，求面積的最大值；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.
【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.
【解析】
（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，
過點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，

設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴當(dāng)m=時，△ADE的面積取得最大值為．
（3）y=的對稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：
當(dāng)PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）；
當(dāng)PA=AE時，=，解得：n=，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；
當(dāng)PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．
綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時解決此題的關(guān)鍵．
10．如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B在該圖象上，交其對稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，連接、．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點(diǎn)B在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，請解答下列問題：
①連接，當(dāng)時，請判斷的形狀，并求出此時點(diǎn)B的坐標(biāo)．
②求證：．

【答案】（1）二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時點(diǎn)B坐標(biāo)為；②見解析
【解析】
解：（1）∵二次函數(shù)頂點(diǎn)為
∴設(shè)頂點(diǎn)式
∵二次函數(shù)圖象過點(diǎn)
∴，解得：
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為
（2）設(shè)
∴直線解析式為：
∵交對稱軸l于點(diǎn)M
∴當(dāng)時，
∴
∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱
∴，
∴，即
①∵
∴
∴
解得：
∴
∴，
∴，，B
∴，
∴是等腰直角三角形，此時點(diǎn)B坐標(biāo)為．
②證明：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D

∵、
設(shè)直線解析式為
∴ 解得：
∴直線：
當(dāng)時，，解得：
∴
∵，軸
∴垂直平分
∴
∴
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，再由題意得到等式進(jìn)行計(jì)算.
11．綜合與探究
如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC，
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值；
(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)；(2)3；(3).
【解析】
(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)，
∴，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)作直線DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2，
由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，
由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值為3；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，
以BD為邊時，有3種情況，
∵D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±，
當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時，如點(diǎn)N2，
此時，解得：(舍)，
∴，∴；
當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時，如點(diǎn)N3，N4，
此時，解得：
∴，，
∴，；
以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.

【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
12．如圖，拋物線過點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時，求的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【解析】
解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，
，
∴B的坐標(biāo)為，
將，代入，

解得，，
∴拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，
，
∴當(dāng)時，有最大值為2，
此時，
作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，與對稱軸交于點(diǎn)P．

，此時最小，
∵，
∴，
，
即的最小值為；
（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，

∵拋物線的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圓的圓心為H，

∴
設(shè)，
則，
或
∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時，求面積的最大值．
(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時，其最大值為；(3)點(diǎn)或．
【解析】
解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：…①；
(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，

將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：
直線PD的表達(dá)式為：，則，
，
∵，故有最大值，當(dāng)時，其最大值為；
(3)∵，∴，
∵，故與相似時，分為兩種情況：
①當(dāng)時，
，，，
過點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H，

，解得：，
則，則，
則直線OQ的表達(dá)式為：…②，
聯(lián)立①②并解得：(舍去負(fù)值)，
故點(diǎn)
②時，
，
則直線OQ的表達(dá)式為：…③，
聯(lián)立①③并解得：，
故點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
14．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個動點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當(dāng)t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）點(diǎn)P（4，6）．
【解析】
（1）∵拋物線過點(diǎn)B（6，0）、C（﹣2，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），
將點(diǎn)A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AG⊥PM于點(diǎn)G，

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
則直線AB解析式為y=﹣x+6，
設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
則N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN?AG+PN?BM
=PN?（AG+BM）
=PN?OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴當(dāng)t=3時，△PAB的面積有最大值；
（3）△PDE為等腰直角三角形，
則PE=PD，
點(diǎn)P（m，-m2+2m+6），
函數(shù)的對稱軸為：x=2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：4-m，
則PE=|2m-4|，
即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，
解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，6）或（5-，3-5）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.


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