?專題21 以平行四邊形為背景的證明與計算
考點分析
【例1】在中，BE平分交AD于點E．

（1）如圖1，若，，求的面積；
（2）如圖2，過點A作，交DC的延長線于點F，分別交BE，BC于點G，H，且．求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
（1）解：作于O，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵BE平分，
∴，
∴，
∴，
∴的面積；
（2）證明：作交DF的延長線于P，垂足為Q，連接PB、PE，如圖2所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．


【點睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

【例2】在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結(jié)BE．

（感知）如圖①，過點A作AF⊥BE交BC于點F．易證△ABF≌△BCE．（不需要證明）
（探究）如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC于點F，交AD于點G．
（1）求證：BE=FG．
（2）連結(jié)CM，若CM=1，則FG的長為　 ?。?br /> （應(yīng)用）如圖③，取BE的中點M，連結(jié)CM．過點C作CG⊥BE交AD于點G，連結(jié)EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為　 ?。?br /> 【答案】（1）證明見解析；（2）2，9.
【解析】
感知：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如圖②，

過點G作GP⊥BC于P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四邊形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（2）由（1）知，F(xiàn)G=BE，
連接CM，
∵∠BCE=90°，點M是BE的中點，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案為：2．
應(yīng)用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，
故答案為：9．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、判斷出CG=BE是解本題的關(guān)鍵．

考點集訓(xùn)
1．在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．
（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；
（2）如圖2，①求證：BP=BF；
②當(dāng)AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；
③當(dāng)BP=9時，求BE?EF的值．

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②；③108.
【解析】
（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵E是AD中點，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，
∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，
∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF=∠PFB，
∴∠BPF=∠BFP，
∴BP=BF；
②當(dāng)AD=25時，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠CED=∠ABE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
設(shè)AE=x，
∴DE=25﹣x，
∴，
∴x=9或x=16，
∵AE＜DE，
∴AE=9，DE=16，
∴CE=20，BE=15，
由折疊得，BP=PG，
∴BP=BF=PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
設(shè)BP=BF=PG=y，
∴，
∴y=，
∴BP=，
在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；
③如圖，連接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°，
∵BF∥PG，BF=PG=BP，
∴?BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE=∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE?EF=AB?GF=12×9=108．
【點睛】
此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
2．如圖，在正方形中，點是的中點，連接，過點作交于點，交于點．
（1）證明：；
（2）連接，證明：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】
證明：（1）四邊形是正方形，
，
又，
，
，

（2）如圖所示，延長交的延長線于，

是的中點，
，
又，
，
，
即是的中點，
又，
中，．
【點睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
3．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD⊥EF，
設(shè)BE=x，則?DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
點睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵
4．如圖，在四邊形中，，延長到E，使，連接交于點F，點F是的中點．求證：
（1）．
（2）四邊形是平行四邊形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
證明：（1）∵，
∴，
∵點F是的中點，
∴，
在與中，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理.
5．已知，如圖，在ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN.

（1）求證：△AEM≌△CFN；
（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形.
【答案】證明見解析
【解析】
證明：(1） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC ，AD∥BC．
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD．
∴∠EAM=∠FCN．
又∵AE=CF
∴△AEM≌△CFN（ASA）．
（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN
∴AM=CN．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴ABCD
∴BMDN．
∴四邊形BMDN是平行四邊形．
6．已知：在矩形中，是對角線，于點，于點；

（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時，連接.，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形面積的.
【答案】（1）詳見解析；（2）的面積的面積的面積的面積矩形面積的．
【解析】
（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴， ，，
∴，
∵于點，于點，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：的面積的面積的面積的面積矩形面積的．
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的面積矩形的面積，
∵，
∴的面積矩形的面積；
作于，如圖所示：
∵，
∴，
∴的面積矩形的面積，
同理：的面積矩形的面積．

【點睛】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，靈活應(yīng)用矩形的性質(zhì)證全等，熟練掌握直角三角形角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
7．如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點、在菱形的對角線上.

（1）求證：；
（2）若為中點，，求菱形的周長。
【答案】（1）證明見解析；（2）8.
【解析】
（1）∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）連接EG，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E為AD中點，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周長=8．
【點睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別作圖是解題的關(guān)鍵．
8．如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長線交邊AB于點M，過點B作BN∥MP交DC于點N．

（1）求證：AD2=DP?PC；
（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點E，F(xiàn)．若=，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形PMBN是菱形，理由見解析；（3）
【解析】
解：（1）過點P作PG⊥AB于點G，

∴易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，
∴AD=PG，DP=AG，GB=PC
∵∠APB=90°，
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，
∴∠APG=∠PBG，
∴△APG∽△PBG，
∴，
∴PG2=AG?GB，
即AD2=DP?PC；
（2）∵DP∥AB，
∴∠DPA=∠PAM，
由題意可知：∠DPA=∠APM，
∴∠PAM=∠APM，
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM，PM=MB，
∴PM=MB，
又易證四邊形PMBN是平行四邊形，
∴四邊形PMBN是菱形；
（3）由于，
可設(shè)DP=k，AD=2k，
由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，
∵PG2=AG?GB，
∴4k2=k?GB，
∴GB=PC=4k，
AB=AG+GB=5k，
∵CP∥AB，
∴△PCF∽△BAF，
∴，
∴，
又易證：△PCE∽△MAE，AM=AB=,
∴
∴，
∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，
∴.
【點睛】
本題考查相似三角形的綜合問題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識．
9．在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG

（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想．
（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.請寫出你的猜想，并加以證明．
【答案】（1）EG=CG;EG⊥CG（2）EG=CG；EG⊥CG，證明見解析.
【解析】
解：（1）EG=CG，EG⊥CG．
（2）EG=CG，EG⊥CG．
證明：延長FE交DC延長線于M，連MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四邊形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由圖（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF為等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG，
∴MG=FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE與△GMC中，
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC.
∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．
【點睛】
此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點，因此難度較大．

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
10．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE，求證：CE＝CF；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD；
（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積．
【答案】（1）、（2）證明見解析（3）108
【解析】
（1）如圖1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF，

由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形．

AE=AB-BE=12-4=8，
設(shè)DF=x，則AD=12-x，
根據(jù)（2）可得：DE=BE+DF=4+x，
在直角△ADE中，AE2+AD2=DE2，則82+（12-x）2=（4+x）2，
解得：x=6．
則DE=4+6=10．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是注意每個題目之間的關(guān)系，正確作出輔助線．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．
(1)當(dāng)∠OAD＝30°時，求點C的坐標(biāo)；
(2)設(shè)AD的中點為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；
(3)當(dāng)點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos∠OAD的值．

【答案】(1)點C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值為8，cos∠OAD＝．
【解析】
(1)如圖1，過點C作CE⊥y軸于點E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴點C的坐標(biāo)為(2，3+2)；
(2)∵M為AD的中點，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四邊形OMCD＝，
∴S△ODM＝，
∴S△OAD＝9，
設(shè)OA＝x、OD＝y(tǒng)，則x2+y2＝36，xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y(tǒng)，
將x＝y(tǒng)代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3(負(fù)值舍去)，
∴OA＝3；
(3)OC的最大值為8，
如圖2，M為AD的中點，

∴OM＝3，CM＝＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
當(dāng)O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，
連接OC，則此時OC與AD的交點為M，過點O作ON⊥AD，垂足為N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴，即，
解得MN＝，ON＝，
∴AN＝AM﹣MN＝，
在Rt△OAN中，OA＝，
∴cos∠OAD＝．
【點睛】
本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．
12．如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB

（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=　 　度．
【答案】 （1）詳見解析
（2）詳見解析
（3）58
【解析】
解：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS）．
（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP．
∵PE=PB，∴∠CBP=∠E．∴∠CDP=∠E．

∵∠1=∠2（對頂角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE．
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC．
∴∠DPE=∠ABC．
（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，

∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC=58°，
故答案為：58．


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