2022年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題提分講練專題：17 反比例函數(shù)綜合題（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題17 反比例函數(shù)綜合題考點分析【例1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側(cè)），BC=2，AB=2，△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱．（1）當(dāng)OB=2時，求點D的坐標(biāo)；（2）若點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求OB的長；（3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點D1的反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象與BA的延長線交于點P．問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點P，A1，D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）點D坐標(biāo)為（5，）；（2）OB=3；（3）k=12．【解析】（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E．∵∠ABC=90°，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，根據(jù)對稱性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，∴∠DCE=60°，∴∠CDE=90°-60°=30°，∴CE=1，DE=，∴OE=OB+BC+CE=5，∴點D坐標(biāo)為（5，）．（2）設(shè)OB=a，則點A的坐標(biāo)（a，2），由題意CE=1．DE=，可得D（3+a，），∵點A、D在同一反比例函數(shù)圖象上，∴2a=（3+a），∴a=3，∴OB=3．（3）存在．理由如下：①如圖2中，當(dāng)∠PA1D=90°時．∵AD∥PA1，∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，∴AA1==4，在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，∴PA=，∴PB=，設(shè)P（m，），則D1（m+7，），∵P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上，∴m=（m+7），解得m=3，∴P（3，），∴k=10．②如圖3中，當(dāng)∠PDA1=90°時．∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，∴△AKP∽△DKA1，∴．∴，∵∠AKD=∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1，∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，∴∠APD=∠ADP=30°，∴AP=AD=2，AA1=6，設(shè)P（m，4），則D1（m+9，），∵P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上，∴4m=（m+9），解得m=3，∴P（3，4），∴k=12．點睛：本題考查反比例函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會了可以參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．【例2】如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作AB∥x軸，截取AB=OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y=的圖象于點P．（1）求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）求△OAP的面積．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=；（2）點B的坐標(biāo)為（9，3）；（3）△OAP的面積=5．【解析】（1）將點A（4，3）代入y=，得：k=12，則反比例函數(shù)解析式為y=；（2）如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，則OC=4、AC=3，∴OA==5，∵AB∥x軸，且AB=OA=5，∴點B的坐標(biāo)為（9，3）；（3）∵點B坐標(biāo)為（9，3），∴OB所在直線解析式為y=x，由可得點P坐標(biāo)為（6，2），（負(fù)值舍去），過點P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點E，則點E坐標(biāo)為（6，3），∴AE=2、PE=1、PD=2，則△OAP的面積=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵. 考點集訓(xùn)1．如圖，直線與雙曲線相交于點A，且，將直線向左平移一個單位后與雙曲線相交于點B，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．（1）求直線的解析式及k的值；（2）連結(jié)、，求的面積．【答案】（1）直線的解析式為，k=1；（2）2.【解析】解：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，將直線向左平移一個單位后得到，∴直線的解析式為，∵直線與雙曲線相交于點A，∴A點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∵，∴，；（2）作軸于E，軸于F，解得或∴，∵，∴．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建方程組確定交點坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．2．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A與點．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若動點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點（不與點A重合），連接，且過點P作y軸的平行線交直線于點C，連接，若的面積為3，求出點P的坐標(biāo)．【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）點P的坐標(biāo)為或或．【解析】解：（1）將代入一次函數(shù)中得：∴將代入反比例函數(shù)中得：∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖：設(shè)點P的坐標(biāo)為，則∴，點O到直線的距離為m∴的面積解得：或或1或2∵點P不與點A重合，且∴又∵∴或1或2∴點P的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù).3．已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)．（1）如圖1，若，且函數(shù)、的圖象都經(jīng)過點．①求，的值；②直接寫出當(dāng)時的范圍；（2）如圖2，過點作軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點．①若，直線與函數(shù)的圖象相交點．當(dāng)點、、中的一點到另外兩點的距離相等時，求的值；②過點作軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點．當(dāng)的值取不大于1的任意實數(shù)時，點、間的距離與點、間的距離之和始終是一個定值．求此時的值及定值．【答案】（1）①，；②；（2）①或4；②，．【解析】（1）①將點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：，將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得：；②由圖象可以看出時，；（2）①當(dāng)時，點、、的坐標(biāo)分別為、、，則，，，則或或，即：或或，即：或0或2或4，當(dāng)時，與題意不符，點不能在的下方，即也不存在，，故不成立，故或4；②點的橫坐標(biāo)為：，當(dāng)點在點左側(cè)時，，的值取不大于1的任意數(shù)時，始終是一個定值，當(dāng)時，此時，從而．當(dāng)點在點右側(cè)時，同理，當(dāng)，時，（不合題意舍去）故，．【點睛】本題為反比例函數(shù)綜合運用題，涉及到一次函數(shù)、函數(shù)定值的求法，關(guān)鍵是通過確定點的坐標(biāo)，求出對應(yīng)線段的長度，進(jìn)而求解．4．如圖①，O為坐標(biāo)原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A，與BC交于點F，（1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式；（2）若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點C的坐標(biāo)；（3）在（2）中的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO，是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=（x＞0）（2）OA=；C（5，）（3）P1（，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．【解析】（1）過點A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB=，OA=10，∴AH=8，OH=6，∴A點坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得：8=，可得：k=48，∴反比例函數(shù)解析式：y=（x＞0）；（2）設(shè)OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a，∴S△AOH=?aa=a2，∵S△AOF=12，∴S平行四邊形AOBC=24，∵F為BC的中點，∴S△OBF=6，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=a，BM=a，∴S△BMF=BM?FM=a?a=a2，∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，∵點A，F都在y=的圖象上，∴S△AOH=k，∴a2=6+a2，∴a=，∴OA=，∴AH=，OH=2，∵S平行四邊形AOBC=OB?AH=24，∴OB=AC=3，∴C（5，）；（3）存在三種情況：當(dāng)∠APO=90°時，在OA的兩側(cè)各有一點P，分別為：P1（，），P2（﹣，）當(dāng)∠PAO=90°時， P3（，）當(dāng)∠POA=90°時，P4（﹣，）．5．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)(且)的圖象在第一象限交于點、，且該一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、．已知，．(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；(2)若點為一次函數(shù)圖象上的動點，求長度的最小值．【答案】(1)的值為4或-1；；(2).【解析】解：(1)將點代入，得，，解得，，，∴的值為4或-1；反比例函數(shù)解析式為：；(2)∵軸，軸，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，將，代入，得：，解得，，，∴，設(shè)直線與軸交點為，當(dāng)時，；當(dāng)時，∴，，則，∴為等腰直角三角形，∴，則當(dāng)垂直于時，由垂線段最短可知，有最小值，此時．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是能夠熟練運用反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．6．如圖1，點、點在直線上，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點．（1）求和的值；（2）將線段向右平移個單位長度（），得到對應(yīng)線段，連接、．①如圖2，當(dāng)時，過作軸于點，交反比例函數(shù)圖象于點，求的值；②在線段運動過程中，連接，若是以為腰的等腰三形，求所有滿足條件的的值．【答案】（1），；（2）①；②是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5．【解析】（1）∵點在直線上，∴，∴，∴直線的解析式為，將點代入直線的解析式中，得，∴，∴，將在反比例函數(shù)解析式（）中，得；（2）①由（1）知，，，∴反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時，∴將線段向右平移3個單位長度，得到對應(yīng)線段，∴，即：，∵軸于點，交反比例函數(shù)的圖象于點，∴，∴，，∴；②如圖，∵將線段向右平移個單位長度（），得到對應(yīng)線段，∴，，∵，，∴，，∵是以腰的等腰三形，∴Ⅰ、當(dāng)時，∴，∴點在線段的垂直平分線上，∴，Ⅱ、當(dāng)時，∵，，∴，∴，∴，即：是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5．【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求直線和反比例函數(shù)的解析式；（2）已知點是反比例函數(shù)圖象上的一個動點，求點到直線距離最短時的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）將點，點，代入，∴，∴；∵過點作軸，∵線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，∴≌（），∴，，∴，∴，∴；（2）設(shè)與平行的直線，聯(lián)立，∴，當(dāng)時，，此時點到直線距離最短；∴；【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，當(dāng)直線與反比例函數(shù)有一個交點時，點到直線的距離最短是解題的關(guān)鍵．8．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點坐標(biāo)為，交于點．（1）如圖（1），雙曲線過點，直接寫出點的坐標(biāo)和雙曲線的解析式；（2）如圖（2），雙曲線與分別交于點，點關(guān)于的對稱點在軸上．求證，并求點的坐標(biāo)；（3）如圖（3），將矩形向右平移個單位長度，使過點的雙曲線與交于點．當(dāng)為等腰三角形時，求的值．【答案】（1），；（2）證明見解析，；（3）滿足條件的的值為3或12．【解析】解：（1）如圖1中，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴， ∵雙曲線過點，∴．∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）如圖2中，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴直線的解析式為，∵關(guān)于對稱，∴，∵，∴直線的解析式為，∴．（3）如圖3中，①當(dāng)時，∵，在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴．②當(dāng)時，點與點重合，∵，在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴．綜上所述，滿足條件的的值為3或12．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了中點坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點的坐標(biāo)為，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點為軸上一動點，當(dāng)的值最小時，求出點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）∵是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵軸，∴，∴，∵∴，即把點代入的得，∴反比例函數(shù)的解析式為：．答：反比例函數(shù)的解析式為：．（2）過點作垂足為，∵，，∴，∴，∴，則點關(guān)于軸的對稱點，直線與軸的交點就是所求點，此時最小，設(shè)直線AB1的關(guān)系式為，將 ,，代入得，解得：，，∴直線的關(guān)系式為，當(dāng)時，，∴點答：點的坐標(biāo)為．【點睛】此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式與對稱性.10．如圖，已如平行四邊形中，點為坐標(biāo)頂點，點，函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求的值及直線的函數(shù)表達(dá)式：（2）求四邊形的周長．【答案】（1）k=2，直線OB解析式為；（2）四邊形的周長為．【解析】 (1)依題意有：點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，∴，又軸，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，∴，∴，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)作于點，∵，∴，在平行四邊形中，，，∴四邊形的周長為：，即四邊形的周長為．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象相交于點，其中，點在軸的正半軸上，點的坐標(biāo)為，過點作軸于點．（1）已知一次函數(shù)的圖象過點，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點是線段上的一點，滿足，過點作軸于點，連結(jié)，記的面積為，設(shè)，. ①用表示（不需要寫出的取值范圍）；②當(dāng)取最小值時，求的值．【答案】（1）;（2）;②．【解析】解：（1）將點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，故一次函數(shù)表達(dá)式為：，（2）①過點作，則，則，∵，則，則點，設(shè)：，則，在中，，同理，則，則點，，②∵，∴有最小值，當(dāng)時，取得最小值，而點，故：．【點睛】本題為反比例函數(shù)綜合運用題，涉及到等腰三角形性質(zhì)、解直角三角形、一次函數(shù)等知識，其中（2）①，確定點的坐標(biāo)，是本題解題的關(guān)鍵．12．(1)閱讀理解如圖，點，在反比例函數(shù)的圖象上，連接，取線段的中點．分別過點，，作軸的垂線，垂足為，，，交反比例函數(shù)的圖象于點．點，，的橫坐標(biāo)分別為，，．小紅通過觀察反比例函數(shù)的圖象，并運用幾何知識得出結(jié)論：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一個關(guān)于，，之間數(shù)量關(guān)系的命題：若，則______．(2)證明命題小東認(rèn)為：可以通過“若，則”的思路證明上述命題．小晴認(rèn)為：可以通過“若，，且，則”的思路證明上述命題．請你選擇一種方法證明(1)中的命題．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)∵,,,,,∴. (2)∵,∵，∴,∴,∴.【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．

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