必考點1
銳角三角函數：在直角三角形ABC中，∠C是直角，
1、正弦：把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作
2、余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作
3、正切：把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作
4、余切：把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作
說明：由定義可以看出tanA·ctA＝l（或寫成）
5、銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數
說明：銳角三角函數都不能取負值。
0＜ sinA＜ l； 0＜csA＜；l
6、銳角的正弦和余弦之間的關系任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA＝cs（90°一 A）＝csB；csA＝sin（90°一A）＝sinB
7、銳角的正切和余切之間的關系任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即tanA＝ct（90°一 A）＝ctB；ctA＝tan（90°－A）＝ tanB
說明：式中的90°一A = B 。
8、三角函數值的變化規(guī)律
（1）當角度在0°— 90°間變化時，正弦值（正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）
（2）當角度在0°—90°間變化時，余弦值（余切值）隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）。
9、同角三角函數關系公式
（1）；（2）；（3） tanA＝
10．一些特殊角的三角函數值
【典例1】如圖，矩形的對角線交于點O，已知則下列結論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
選項A，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形內角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
選項A正確；
選項B，在Rt△ABC中，tanα＝，
即BC＝m?tanα，
選項B正確；
選項C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，
選項C錯誤；
選項D，∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，
選項D正確.
故選C．
【點睛】
本題考查了矩形的性質和解直角三角形，能熟記矩形的性質是解此題的關鍵．
【舉一反三】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是( )
A．B．3C．D．2
【答案】D
【解析】
設BC=x，則AB=3x，
由勾股定理得，AC=，
tanB===，
故選D．
考點：1．銳角三角函數的定義；2．勾股定理．
2．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如圖，過作于，則，
AC＝＝5．
．
故選D．
【點睛】
本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數，正確作出輔助線是解題的關鍵．
3．如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若，則次斜坡的水平距離AC為（ ）
A．75mB．50mC．30mD．12m
【答案】A
【解析】
解：因為，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故選A.
【點睛】
本題考查了正切三角函數，熟練掌握是解題的關鍵.
必考點2 解直角三角形及其應用
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。
若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5個元素之間有關系：
（l）；（2）∠A十∠B＝90°；
（3）；；；
所以，只要知道其中的2個元素（至少有一個是邊），就可以求出其余3個未知數。

【典例2】如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A 處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為（ ）
A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米
【答案】D
【解析】
解：過點A作AE⊥BD，交BD于點E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．
∴甲樓高為（36﹣10）米．
故選D．
【點睛】
此題主要考查三角函數的應用，解題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值.
【舉一反三】
1.如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60 n mile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是( )
A． n mileB．60 n mileC．120 n mileD．n mile
【答案】D
【解析】
過C作CD⊥AB于D點，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cs∠ACD=，
∴CD=AC?cs∠ACD=60×．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30．
答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．
故選D．
【點睛】
此題主要考查了解直角三角形的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．
2．如圖，在中，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：過點A作，垂足為D，如圖所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故選：D．
【點睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的長是解題的關鍵．
3．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故選B．
【點睛】
本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．
1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線EF交AC于點D，連接BD，若cs∠BDC＝，則BC的長是（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】D
【解析】
∵∠C＝90°，cs∠BDC＝，
設CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分線EF交AC于點D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故選D.
【點睛】
本題考查直角三角形的性質；熟練掌握直角三角形函數的三角函數值，線段垂直平分線的性質是解題的關鍵.
2．如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長是3米．若梯子與地面的夾角為，則梯子頂端到地面的距離BC為（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【解析】
解：由題意可得：，
故．
故選：A
【點睛】
考核知識點：由正弦求邊.理解正弦定義是關鍵.
3．公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，
∴大正方形的邊長為，小正方形的邊長為5，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】
本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關鍵是正確得出．
4．如圖，AB是垂直于水平面的建筑物．為測量AB的高度，小紅從建筑物底端B點出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達點C，然后沿斜坡CD前進，到達坡頂D點處，．在點D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點處測得建筑物頂端A點的仰角為（點A，B，C，D，E在同一平面內）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度約為（ ）
（參考數據，，）
A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米
【答案】B
【解析】
解：過點E作與點M，延長ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比），米，
∴設，則．
在中，
∵，即，解得，
∴米，米，
∴米，米．
∵，，，
∴四邊形EGBM是矩形，
∴米，米．
在中，
∵，
∴米，
∴米．
故選：B．
【點睛】
本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
5．在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，則csB＝_____．
【答案】
【解析】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
設a＝x，b＝3x，則c＝2x，
∴csB＝．
故答案為．
【點睛】
此題考查的知識點是三角函數，關鍵明確求銳角的三角函數值的方法：利用銳角三角函數的定義，通過設參數的方法求三角函數值，或者利用同角（或余角）的三角函數關系式求三角函數值．
6．如圖，在中，，，，則的長為________．
【答案】
【解析】
過作于點，設，則，因為，所以，則由勾股定理得，因為，所以，則．則．
【點睛】
本題考查勾股定理和正余弦公式的運用，要學會通過作輔助線得到特殊三角形，以便求解.
7．如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tan∠AOD=________.
【答案】2
【解析】
如圖，連接BE，
∵四邊形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根據題意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案為2
【點睛】
此題考查了相似三角形的判定與性質，三角函數的定義．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意轉化思想與數形結合思想的應用．
8．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，則sinB=______．
【答案】
【解析】
如圖所示：
∵∠C=90°，tanA=，
∴設BC=x，則AC=2x，故AB=x，
則sinB=.
故答案為： ．
點睛：此題主要考查了銳角三角函數關系，正確表示各邊長是解題關鍵．
9．如圖，在矩形ABCD中，，，H是AB的中點，將沿CH折疊，點B落在矩形內點P處，連接AP，則__．
【答案】
【解析】
如圖，連接PB，交CH于E，
由折疊可得，CH垂直平分BP，，
又∵H為AB的中點，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵中，，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題考查的是翻折變換的性質和矩形的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．
10．如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉得到，使得點落在上，則的值為_______．
【答案】
【解析】
∵在中，AB=5，BC=12，
∴．
∵繞點逆時針旋轉得到，
∴，，，
∴CD=AC-AD=8．
在中，．
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了旋轉的性質以及解直角三角形，難度較小，求出所求三角函數值的直角三角形的對應邊長度，根據線段比就可解決問題．
11．如圖，一艘船以40nmile /h的速度由西向東航行，航行到A處時，測得燈塔P在船的北偏東30°方向上，繼續(xù)航行2.5h，到達B處，測得燈塔P在船的北偏西60°方向上，此時船到燈塔的距離為______nmile．(結果保留根號)
【答案】50
【解析】
解：根據題意，得：∠PAB=60°，∠PBA=30，AB=2.5×40=100(nmile)，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-60°-30°=90°．
在Rt△PAB中，PB=AB?sin∠PAB=100×=50(nmile)．
故答案為：50．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，通過解直角三角形求出PB的長是解題的關鍵．
12．如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD為_______米（結果保留根號）．
【答案】一4
【解析】
因為∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，
因為AB=8，所以MB=12,
因為∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4.
所以CD=4-4.
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的相關定義以及變形是解題的關鍵.
13．三角板是我們學習數學的好幫手.將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是_____.
【答案】15﹣5.
【解析】
過點B作BM⊥FD于點M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5，
故答案是：15﹣5.
【點睛】
本題考查了解直角三角形，正確添加輔助線，構建直角三角形是解題的關鍵.
14．有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數來調整晾衣桿的高度. 圖2是支撐桿的平面示意圖，AB和CD分別是兩根不同長度的支撐桿，夾角∠BOD=. 若AO=85cm，BO=DO=65cm. 問: 當，較長支撐桿的端點離地面的高度約為_____.(參考數據:，.)
【答案】120.
【解析】
過O作OE⊥BD，過A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO=DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=×74°=37°，
∴∠FAB=∠BOE=37°，
在Rt△ABF中，AB=85+65=150cm，
∴h=AF=AB?cs∠FAB=150×0.8=120cm，
故答案為：120
【點睛】
此題考查了解直角三角形的應用，弄清題中的數據是解本題的關鍵．
15．為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？
（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結果精確到0.1千米）（參考數據：≈1.41，≈1.73）
【答案】（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米
【解析】
解：（1）過點C作AB的垂線CD，垂足為D，
∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC?sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；
（2）∵cs30°=，BC=80（千米），
∴BD=BC?cs30°=80×（千米），
∵tan45°=，CD=40（千米），
∴AD=（千米），
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米．
【點睛】
本題考查了勾股定理的運用以及解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．
16．如圖為某海域示意圖，其中燈塔D的正東方向有一島嶼C．一艘快艇以每小時20nmile的速度向正東方向航行，到達A處時得燈塔D在東北方向上，繼續(xù)航行0.3h，到達B處時測得燈塔D在北偏東30°方向上，同時測得島嶼C恰好在B處的東北方向上，此時快艇與島嶼C的距離是多少？（結果精確到1nmile．參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【答案】此時快艇與島嶼C的距離是20nmile．
【解析】
解：過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示．
則DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．
∵DC∥EF，
∴四邊形CDEF為平行四邊形．
又∵∠CFE＝90°，
∴?CDEF為矩形，
∴CF＝DE．
根據題意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．
設DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，
∴AE＝＝x（nmile）．
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，
∴BE＝＝x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，
∴CF＝DE＝（9+3）nmile．
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴BC＝≈20（nmile）．
答：此時快艇與島嶼C的距離是20nmile．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用——方向角問題，通過解直角三角形求出BC的長是解題的關鍵．
17．如圖，海中有兩個小島，，某漁船在海中的處測得小島D位于東北方向上，且相距，該漁船自西向東航行一段時間到達點處，此時測得小島恰好在點的正北方向上，且相距，又測得點與小島相距．
(1)求的值；
(2)求小島，之間的距離(計算過程中的數據不取近似值)．
【答案】(1)；(2)小島、相距.
【解析】
(1)如圖，過點作，垂足為，
在中，，，
∴
在中，，
∴；
(2)過點作，垂足為，則四邊形BEDF是矩形，
在中，，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
因此小島、相距.
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用，正確添加輔助線構建直角三角形，靈活運用相應三角形函數是解題的關鍵.
18．如圖，學校教學樓上懸掛一塊長為的標語牌，即．數學活動課上，小明和小紅要測量標語牌的底部點到地面的距離．測角儀支架高，小明在處測得標語牌底部點的仰角為，小紅在處測得標語牌頂部點的仰角為，，依據他們測量的數據能否求出標語牌底部點到地面的距離的長？若能，請計算；若不能，請說明理由（圖中點，，，，，，在同一平面內）
（參考數據：，，
【答案】能，點到地面的距離的長約為．
【解析】
能，
理由如下：延長交于，
則，
，
，
設，則，
，
在中，，則，
，
解得，，
則，
答：點到地面的距離的長約為．
【點睛】
本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
27．天門山索道是世界最長的高山客運索道，位于張家界天門山景區(qū)．在一次檢修維護中，檢修人員從索道A處開始，沿A﹣B﹣C路線對索道進行檢修維護．如圖：已知米，米，AB與水平線的夾角是，BC與水平線的夾角是．求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度是多少米？(結果精確到1米，參考數據：)
【答案】檢修人員上升的垂直高度為943米．
【解析】
如圖，過點B作于點H．
在中，，，
(米)，
(米)，
在中，，，
，
，
檢修人員上升的垂直高度(米)
答：檢修人員上升的垂直高度為943米．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用，添加輔助線，構建直角三角形是解題的關鍵.
19．小明利用剛學過的測量知識來測量學校內一棵古樹的高度。一天下午，他和學習小組的同學帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部B，如圖所示。于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，并在點D處安裝了測量器DC，測得古樹的頂端A的仰角為45°；再在BD的延長線上確定一點G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當移動帶點F時，他剛好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測傾器的高度CD=0.5米。已知點F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求這棵古樹的高度AB。（小平面鏡的大小忽略不計）
【答案】這棵古樹的高AB為18m．
【解析】
如圖，過點C作CH⊥AB于點H，
則CH＝BD，BH＝CD＝0.5，
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°，
由題意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，即，
解得：BD＝17.5，
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，
∴這棵古樹的高AB為18m．
【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質，正確添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵.

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