?專題20 以相似三角形為背景的證明與計算
考點分析
【例1】已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，點E，F(xiàn)在BC下方，連接EF．

（1）如圖1，當BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD時，
求證：①∠CAD＝∠CDF，
②BD＝EF；
（2）如圖2，當BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD時，猜想BD和EF之間的數(shù)量關系？并說明理由．
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）BD＝EF，理由見解析.
【解析】
（1）證明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延長線于H，
則四邊形FECH為矩形，
∴CH＝EF，
在△ACD和△DHF中，
，

，
，
，
，即，
；
（2），
理由如下：作交的延長線于，
則四邊形為矩形，
，
，，
，
，即，GF＝2CD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴BC＝DG，GF＝CE，
∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，
∴四邊形FECG為矩形，
∴CG＝EF，
∴BD＝EF．


【點睛】
此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題關鍵在于作輔助線和掌握各判定定理.

【例2】如圖，中，，DE垂直平分AB，交線段BC于點E（點E與點C不重合），點F為AC上一點，點G為AB上一點（點G與點A不重合），且．

（1）如圖1，當時，線段AG和CF的數(shù)量關系是　 ?。?br /> （2）如圖2，當時，猜想線段AG和CF的數(shù)量關系，并加以證明．
（3）若，，，請直接寫出CF的長．
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）2.5或5
【解析】
解：（1）相等，理由：如圖1，連接AE，
∵DE垂直平分AB，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案為：；
（2），
理由：如圖2，連接AE，
，
，
，
∵DE垂直平分AB，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（3）①當G在DA上時，如圖3，連接AE，
∵DE垂直平分AB，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
過A作于點H，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②當點G在BD上，如圖4，同（1）可得，，
，
，
，
，
綜上所述，CF的長為2.5或5．

【點睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

考點集訓
1．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.
（1）問題發(fā)現(xiàn)
① 當時， ；② 當時，
（2）拓展探究
試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.
（3）問題解決
當△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長.

【答案】（1）①,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），.
【解析】
（1）①當α=0°時，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如圖1，
，
當α=180°時，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如圖2，
，
當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如圖3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
綜上所述，BD的長為或．
2．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，

（1）求證：AC2=AB?AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）見解析（2）見解析（3）．
【解析】
解：（1）證明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB?AD．
（2）證明：∵E為AB的中點
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
3．如圖，，DB平分∠ADC，過點B作交AD于M．連接CM交DB于N．

（1）求證：；（2）若，求MN的長．
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
證明：（1）∵DB平分，
，且，



（2）

，且


，且，
，





且


【點睛】
考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長度是本題的關鍵．
4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．
（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

【答案】（1）△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）t=
【解析】
（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當△BMN∽△BAC時，，∴，解得：t=；
當△BMN∽△BCA時，，∴，解得：t=，
∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或；
（2）過點M作MD⊥CB于點D，由題意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．

考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．解直角三角形；3．動點型；4．分類討論；5．綜合題；6．壓軸題．
5．在中，，，是上一點，連接
（1）如圖1，若，是延長線上一點，與垂直，求證：

（2）過點作，為垂足，連接并延長交于點.
①如圖2，若，求證：

②如圖3，若是的中點，直接寫出的值（用含的式子表示）

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②
【解析】
(1)延長交于點，

∵與垂直，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
(2)①過點作交的延長線于點，

∵，∴與垂直，
由(1)，得，
∵，
∴，即；
②過點C作CD//BP交AB的延長線于點D，延長AM交CD于點H，
∴∠PCH=∠BPQ，
∵，∴⊥，
∴∠BPM=∠CHM=90°，
又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，
∴△BPM≌△CHM，
∴BP=CH，PM=HM，
∴PH=2PM，
∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，
∴△ABM∽△BPM，
∴，
在Rt△PCH中，tan∠PCH=，
∴tan∠BPQ=，
又∵BC=2BM，，
∴tan∠BPQ=.

【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.
6．如圖，在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B,
（1）求證：AC?CD=CP?BP；
（2）若AB=10，BC=12，當PD∥AB時，求BP的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB?CD=CP?BP．
∵AB=AC，
∴AC?CD=CP?BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴．
∵AB=10，BC=12，
∴，
∴BP=．
“點睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，把證明AC?CD=CP?BP轉(zhuǎn)化為證明AB?CD=CP?BP是解決第（1）小題的關鍵，證到∠BAP=∠C進而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關鍵．

7．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．
（1）求證：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠EAC=90°時，求PB的長；

【答案】（1）證明見解析；（2）PB的長為或．
【解析】
解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．
（2）解：①當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，
∴CE==．
同（1）可證△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=．
②當點E在BA延長線上時，BE=3．

∵∠EAC=90°，
∴CE==．
同（1）可證△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=．
綜上所述，PB的長為或．
【點睛】
本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關鍵．
8．如圖①，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點E，AB=AC=BD，點M為BC中點，N為線段AM上的點，且MB=MN.

（1）求證：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，連結(jié)DN，當四邊形DNBC為平行四邊形時，求線段BC的長；
（3）如圖②，若點F為AB的中點，連結(jié)FN、FM，求證：△MFN∽△BDC．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.
【解析】
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M為BC的中點，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN為等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）設BM=CM=MN=a，
∵四邊形DNBC是平行四邊形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=±（負值舍去），
∴BC=2a=；
（3）∵F是AB的中點，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵，
∴，
∴△MFN∽△BDC．
點睛：本題主要考查相似形的綜合問題，解題的關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．
9．在，，．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
（1）觀察猜想
如圖1，當時，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是　 　．
（2）類比探究
如圖2，當時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．
（3）解決問題
當時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．

【答案】（1）1，（2）45°（3），
【解析】
解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．

，
，
，，
，
，，
，
，
，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是，
故答案為1，．
（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．

，
，
，
，
，，
，
，
直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為．
（3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四點共圓，
，，
，
，設，則，，
c．
如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：，設，則，，

，
．
【點睛】
本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
10．如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）求證：AD＝BC；
（2）求證：△AGD∽△EGF；
（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【解析】
（1）∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB．同理GD=GC．
在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC．
（2）∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC．
在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC．
∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF．
（3）如圖，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH．
由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．
∴∠AGB=∠AHB=90°，
∴∠AGE=∠AGB=45°，
∴
又△AGD∽△EGF，
∴


11．如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．
（1）猜想PM與PN的數(shù)量關系及位置關系，請直接寫出結(jié)論；
（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關系，并加以證明．

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見解析；（2）理由見解析；（3）PM=kPN；理由見解析
【解析】
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點， ∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE．
∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN．
考點：相似形綜合題．
12．（提出問題）
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
（類比探究）
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
（拓展延伸）
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】見解析
【解析】
解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN．
∴△ABC∽△AMN．∴．
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.
∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應點P′），當AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E

（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當，BP′=時，求線段AB的長．
【解析】
（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′，
∴∠CBP=∠ABP；
（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵，
∴設CP=3k，PE=2k，
則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，
∵∠BPC=∠EPP′，
∴∠CBP=∠EP′P，
又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴，
即，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
考點：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．

14．如圖1，在中，，，點M是AB的中點，連接MC，點P是線段BC延長線上一點，且，連接MP交AC于點H．將射線MP繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長線于點D．
（1）找出與相等的角，并說明理由．
（2）如圖2，，求的值．
（3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長．

【答案】（1）；理由見解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）．
理由如下：∵，，
∴．
∴．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，．
∴；
（2）如圖，過點C作交MP于點G．
∴，．
∵，點M是AB的中點，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∵，
∴．
在與中，

∴．
∴．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
設，則，．
在中，．
∴．
∴；
（3）如圖，由（2）知．則．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
由（2）知，，則．
∴，．
∵，．
∴．
∴．
∴，即．
解得，（舍去）．
∴．

【點睛】
考查了幾何變換綜合題．解題的關鍵是掌握全等三角形的判定（ASA）與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題過程中，注意方程思想在求相關線段長度時的靈活運用．

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