2022年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題提分講練專題：19 以三角形為背景的證明與計(jì)算（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題19 以三角形為背景的證明與計(jì)算
考點(diǎn)分析
【例1】如圖，已知等邊，于，，為線段上一點(diǎn)，且，連接，BF，于，連接．

（1）求證：；
（2）試說(shuō)明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），，理由詳見(jiàn)解析．
【解析】
（1）∵是等邊三角形，
，，
∵，，
∴，，
∵，
，
，
，且，，
，

，
（2），.理由如下：
連接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
是等邊三角形，
∵，
，且，
，.

【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練運(yùn)用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵．

【例2】小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

（一）猜測(cè)探究
在中，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．
（1）如圖1，若是線段上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系是　　，與的數(shù)量關(guān)系是　　；
（2）如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上點(diǎn)，若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn)，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（二）拓展應(yīng)用
如圖3，在中，，，，是上的任意點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到線段，連接．求線段長(zhǎng)度的最小值．
【答案】（一）（1）結(jié)論：，．理由見(jiàn)解析；（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由見(jiàn)解析；（二）的最小值為．
【解析】
（一）（1）結(jié)論：，．
理由：如圖1中，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴．
故答案為，．
（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．

理由：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴．
（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．

∵，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，∵，
∴，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

考點(diǎn)集訓(xùn)
1．如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接．

（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）
【解析】
（1）證明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）當(dāng)AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
解：（1）∵，
∴.
∵是邊上的中線，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtRt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．
（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于，線段CE1的長(zhǎng)等于；（直接填寫(xiě)結(jié)果）

（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ；

（3）求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）見(jiàn)解析；（3）1 +
【解析】
解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），
∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°，
;
（2）證明：當(dāng)α=135°時(shí)，如下圖：

由旋轉(zhuǎn)可知∠D1AB=E1AC=135°
又AB=AC，AD1=AE1，
∴△D1AB ≌ △E1AC
∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA
設(shè)直線BD1與AC交于點(diǎn)F，有∠BFA=∠CFP
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，

∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，
此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則，
故∠ABP=30°，
則，
故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變換，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性質(zhì)
4．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合）,點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）成立（3）△DEF為等邊三角形
【解析】
解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA=900．
∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．
∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．
又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE="AE+AD=" BD+CE．
（2）成立．證明如下：
∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）△DEF為等邊三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．
∴△DEF為等邊三角形．
（1）因?yàn)镈E=DA+AE，故由AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE．
（2）成立，仍然通過(guò)證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=600，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據(jù)∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等邊三角形．
5．（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．
解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷．
，，之間的等量關(guān)系________；
（2）問(wèn)題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）；（2），理由詳見(jiàn)解析.
【解析】
解：（1）.
理由如下：如圖①，∵是的平分線，∴
∵，∴，∴，∴.
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案為：.
（2）.
理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).

∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分線，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
6．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，BE=CF，點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上，AD=AC，
（1）求證：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，則∠ADC=　　°．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）75．
【解析】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案為75．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.
7．如圖，中，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn)
(1)求證：；
(2)若，，求的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)78°.
【解析】
(1)

(2)

【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，比較簡(jiǎn)單，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵
8．如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點(diǎn)0；
求證：（1）
（2）

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.
【解析】
(1)∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在
，
∴ ；
(2)由(1) ，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC.
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
9．如圖，中，，，．

（1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
（1）如圖直線即為所求．

（2）∵垂直平分線段，∴，
設(shè)，在中，
∵，∴，
解得，∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
10．（問(wèn)題提出）
如圖①，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF
試證明：AB=DB+AF
（類比探究）
（1）如圖②，如果點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由
（2）如果點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由．

【答案】證明見(jiàn)解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【解析】
（1）證明：DE=CE=CF，△BCE
由旋轉(zhuǎn)60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF．
類比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋轉(zhuǎn)60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋轉(zhuǎn)知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE， EB=AF，
∴BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．

（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如圖③，
，
ED=EC=CF，
∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF；
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，

∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是：
AF=AB+BD．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變化，等邊三角形，三角形全等，
11．如圖，在中，.
⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連結(jié)AP，求證：；
⑵以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，若，求的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠B=36°.
【解析】
（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根據(jù)題意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
設(shè)∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【點(diǎn)睛】
本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).
12．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫(huà)了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是__________；位置關(guān)系是__________．
（2）類比思考：
如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）深入研究：
如圖③，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究．向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．

【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案見(jiàn)解析
【解析】
（1）連接BE，CD相交于H，如圖1，

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵點(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn)，
∴MG∥CD且MG=CD，
同理：NG∥BE且NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
（2）連接CD，BE，相交于H，如圖2，

同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）連接EB，DC并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H，如圖3.

同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
∴△GMN是等腰直角三角形.
點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確作出輔助線用類比的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．
13．（提出問(wèn)題）
（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
（類比探究）
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（拓展延伸）
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN．
∴△ABC∽△AMN．∴．
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.
∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．
14．如圖，是具有公共邊AB的兩個(gè)直角三角形，其中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°．
(1)如圖1，若延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，使AE=BD，連接CD，CE．
①求證：CD=CE，CD⊥CE；
②求證：AD+BD=CD；
(2)若△ABC與△ABD位置如圖2所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD，BD，CD的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；(2)AD-BD=CD.
【解析】
(1)證明：①在四邊形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠EAC+∠DAC=180°，
∴∠DBC=∠EAC，
∵BD=AE，BC=AC，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA=90°，
∴∠ACE+∠DCA=90°，
∴∠DCE=90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD=CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∵DE=AD+AE，AE=BD，
∴DE=AD+BD，
∴AD+BD=CD；
(2)解：AD-BD=CD；
理由：如圖2，在AD上截取AE=BD，連接CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠CBD=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD，
∵∠CAE=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠CBD=∠CAE，∵BD=AE，BC=AC，
∴△CBD≌△CAE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠BCE=90°，
即∠DCE=90°，
∴DE===CD，
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=CD．

【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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